| 10 |
Espaço
de representação.
...Tínhamos
visto que um cilindro era uma superfície desenvolvível. Pegue
agora uma folha de papel. É uma superfície plana, euclidiana. Suas
geodésicas são retas. Trace algumas retas nessa
folha, depois amasse-a.
...Se
você pudesse enrijecer essa superfície plana amassada, perceberia
que essa operação não modificou de modo algum a distribuição
de suas geodésicas, que você poderia traçar novamente com sua
fita adesiva. Você simplesmente brincou com o modo de representação
desse plano em seu espaço de imersão tridimensional.
Uma maneira menos
complicada de proceder consiste em transformar uma chapa
em...chapa ondulada:
Geodésicas
: inalteradas.
...Os
objetos geométricos existem independentemente da maneira
como os representamos, independentemente de seu espaço
de representação.
...Somos
supostamente habitantes de uma "hipersuperfície quadridimensional":
o espaço-tempo. A Relatividade Geral consiste em
tentar construir sua geometria, como solução de uma
equação de campo, e depois "ler" essa geometria,
analisando as geodésicas da hipersuperfície. É evidente
que já não se trata então de espaço de representação. Para
isso seria preciso dispor de uma visão em cinco dimensões, que não
possuímos.
...Na
prática, usamos coordenadas que são as do espaço
euclidiano, de projeção. Imaginemos que busquemos uma solução geométrica
própria para descrever o espaço-tempo na vizinhança de um corpo massivo
e no interior deste. Vamos supor que o sistema
possui simetria esférica. Além disso, suporemos
que esse sistema é estacionário (ou quase estacionário).
...Usaremos
então coordenadas esféricas (r ,
q , j) . Em duas dimensões, teremos apenas duas e nossa simetria
será circular. Usaremos então o sistema de coordenadas
polares do plano:
...Esse
modelo do corpo rombudo é uma imagem didática 2d de uma
solução estacionária que existe efetivamente em Relatividade Geral
e que foi inventada pelo austríaco Schwarzschild,
em 1917, como solução particular da "equação de Einstein"
:
S = c T
já apresentada acima. Essa solução é
inteligente e sutil. No plano do cálculo, não é simples de construir.
Essa precisão para tentar dissipar um mito: o de um Einstein,
gênio isolado no mundo de seu tempo, povoado de ignorantes.
...A
partir dessa solução mostra-se então que existem, em torno de uma massa
possuindo a simetria esférica, geodésicas
planas, situadas em planos, e sabe-se calcular sua forma
: r = f (q). Essas trajetórias (ou pelo menos sua
projeção em nosso espaço mental de representação, euclidiano) são
"quase Keplerianas" e as leis de Kepler aparecem então como
uma aproximação, quando a massa que cria essa geometria
(na visão newtoniana, essa "força") permanece moderada, isto
é, quando a curvatura local, nessa massa, permanece fraca.
...Essa
solução é um dos pivôs da Relatividade Geral
e, embora isso não possa ser evocado por simples
imagens didáticas como as que oferecemos ao leitor, é ela que
permite prever e calcular, por exemplo, o avanço do periélio
de Mercúrio. Einstein serviu-se dessa solução para explicar esse efeito,
já conhecido, e colheu ao mesmo tempo todos os louros
do que se passou a chamar "a teoria de Einstein". Por que
Schwarzschild não explorou ele mesmo sua descoberta? Porque
fez questão absoluta de se engajar e partir para as trincheiras,
onde foi gaseado e morreu pouco depois.
...Aliás,
não se tem muita certeza de que essa célebre
equação de Einstein seja realmente dele. Aparentemente ela lhe teria sido
sugerida pelo grande matemático Hilbert. Einstein
também não acolheu com entusiasmo a descoberta posterior
do russo Friedmann, que descobriu, ele, a solução não estacionária
da equação de campo que permite descrever a evolução
do universo. O mesmo se deu, em 1921, com os trabalhos do jovem matemático
Kaluza, cujos trabalhos, redescobertos, constituem agora o ponto
de partida da teoria das supercordas. Essas coisas são cientificamente
de pouco interesse e não diminuem em nada o valor de Einstein,
mas mostram que o espírito esportivo não anda necessariamente junto com o valor
científico de um indivíduo.
Na solução desenvolvida
por Schwarzschild, tecnicamente, o espaço está em duas partes. No interior
do astro, a densidade de matéria r é
suposta constante. O tensor energia-matéria T,
que dela depende, é igualmente não nulo. No exterior,
r e
T são nulos.
...Essa
geometria composta é, portanto, solução de duas equações
diferentes, com ou sem segundo membro. A densidade de matéria
apresenta uma descontinuidade na superfície do astro (é
também o caso para o par solução de Schwarzschild "interior"
e solução de Schwarzschild "exterior". Nesse caso o astro é
uma esfera de densidade constante e esta cai brutalmente
a zero na superfície do astro). Mas a continuidade
das geodésicas pode, no entanto, ser assegurada,
por meio de condições matemáticas cuja imagem foi
dada acima (junção tronco de cone-calota esférica).
...Quando
a massa se torna importante e os efeitos de curvatura pronunciados, as
trajetórias se afastam então mais nitidamente do modelo kepleriano,
por exemplo na vizinhança de uma estrela de nêutrons. A seguir,
o avanço do periélio em torno de tal astro (em torno do sol
a elipse trajetória de Mercúrio avança 0,15 grau por século).
...A
fórmula e o programa que permitem calcular essas trajetórias não
têm, aliás, nada de complicado. Nós os daremos um dia neste site,
para os curiosos.
...Neste
momento estamos colocando alguns marcos geométricos com vistas a
discussões posteriores, ao mesmo tempo que lembramos que os modelos indicados
têm apenas caráter indicativo. .
Sumário
artigo Sumário
Ciência Página
Inicial
Página anterior Página
seguinte
Número de consultas a esta página desde 1° de julho de 2004
: