f111

Possíveis problemas
colocados por uma escolha de coordenadas.

...Vamos
evocar os riscos incorridos ao aplicar um sistema de
coordenadas sobre uma solução geométrica, expressando
essa solução nesse sistema de coordenadas particular:
ainda é preciso que este seja adequado. Quando olhamos para a solução
acima, supondo que essa geometria seja solução de uma
equação de campo, o recurso a um sistema de coordenadas
(r , q) pressupunha que a topologia era
"localmente esférica", em duas dimensões, é claro. Ou seja,
no interior de qualquer círculo "centrado nesse centro
geométrico hipotético, podia-se sempre inscrever
um círculo menor, até que esse círculo se tornasse um ponto. Matematicamente
dir-se-ia que todo círculo de raio r delimita uma "célula contrátil".

...Em
3d, localmente, o universo seria "em bonecas russas". No interior
de uma esfera podia-se sempre inscrever uma esfera de área
menor. Em 3d, trata-se de uma topologia localmente esférica.

Poderá ser
de outra forma?

Sim, se a topologia
da superfície for "localmente tórica". Em 2d isso dá isto:

...Observação:
o objeto da figura acima é uma superfície 2d no sentido em que são necessários
dois parâmetros para nela localizar a posição de um ponto. Nesse
sentido, uma curva é uma "superfície a uma dimensão". Quando falar
do círculo, o geômetra empregará a expressão "esfera
S1", ou seja, "esfera a uma só dimensão": é
preciso apenas um único parâmetro, a abcissa, para localizar um ponto
sobre uma curva, objeto unidimensional. A esfera S2, a esfera
"ordinária", e o círculo, a esfera S1, têm algo em comum:
são objetos "fechados" (conceito então emprestado à
topologia).

...Esse
número de quantidades que serve para definir a posição de um
ponto num espaço é precisamente a definição da
dimensão desse espaço. Assim, considerar-se-á o espaço-
tempo (x,y,z,t) como uma hipersuperfície a quatro dimensões, porque é
preciso quatro quantidades para nele definir um ponto, dito "acontecimento".

Fim desta observação
sobre o conceito de dimensão.

...É
preciso ter bem uma coisa em mente. O geômetra que constrói
uma solução particular de uma equação de campo é cego,
não pode ver o objeto geométrico que obtém.
Só o pode explorar, através das suas geodésicas,
descrevendo estas num sistema de coordenadas
particular. As coordenadas polares de há pouco
correspondiam à interseção da superfície por uma família de cilindros
coaxiais:

e por uma família de
planos que passam pelo eixo comum destes.

Em 3d tratar-se-ia
da interseção do espaço por uma família de esferas concêntricas.

...Mas
o que acontece se cortarmos a superfície que apresenta esta espécie de
ponte tubular por uma família de cilindros concêntricos? Enquanto os cilindros
cortarem a superfície, tudo bem. Mas quando o seu perímetro
se tornar inferior ao do "círculo de garganta", essas secções tornam-se
... curvas imaginárias. Seja p o perímetro do círculo de
garganta. Associe-mo-lo a um comprimento Rg tal que p = 2 p
Rg .

...É
claro que todo cilindro da família tal que r < Rg não
corta a superfície. Quando o geômetra se interessar
pelo aspeto das geodésicas da superfície para r <
Rg, encontrará objetos geométricos imaginários.

...Quando
se procura a interseção de dois pontos com uma reta, correspondendo por
exemplo a x = xo, encontram-se dois valores reais, para y, quando
a reta efetivamente corta o círculo. Caso contrário, esses valores são imaginários
puros.

...Se
um homem, que explora uma superfície na escuridão, sem poder
perceber a sua forma, que ignora que a topologia desta é
localmente tórica, poderá ficar extremamente desconcertado.
A superfície pode ser localizada com a ajuda de duas famílias
de curvas:

...Cada
curva é definida por um parâmetro. Um ponto M, na interseção
dessas duas curvas, é bem definido por duas quantidades (a,b),
os dois valores das curvas que passam por M.

...A
primeira é constituída por círculos que não são
geodésicas da superfície (exceto o círculo de garganta), a segunda
por geodésicas, de aspeto hiperbólico, ortogonais a
esses círculos. As curvas hiperbólicas evocam trajetórias mergulhantes,
que permitem passar de uma folha a outra folha.
Pode-se evidentemente ter a mesma situação para um espaço 3d,
localmente hipertórico. Os círculos serão substituídos por uma família
de esferas, entre as quais se encontrará uma esfera de garganta,
de área mínima. As linhas que constituem as trajetórias ortogonais a
essa família de esferas constituem trajetórias mergulhantes que permitem
passar por esse túnel hipertórico e reaparecer
noutra folha (ou camada) 3d.

...Esta
observação não é gratuita. Teremos ocasião de a ela voltar quando puser
o modelo do buraco negro em exame. Com efeito, nesse modelo,
quando se penetra "no interior da esfera
horizonte", a massa de uma partícula torna-se... imaginária pura (isso e bem
outras coisas ainda). Fica-se então no direito de se perguntar se ainda se está
na hipersuperfície espaço-tempo. A escolha particular de coordenadas

(t , r , q
, j)

que implica uma topologia
localmente hiperesférica (existência de uma coordenada
radial r, capaz de tomar valores inferiores ao raio da
esfera horizonte, da esfera de Schwarzschild) seria pertinente?

Um astrofísico conhecido
escrevia, há alguns anos:

• Sabemos agora
  muito mais sobre o interior dos buracos negros.

Mas os buracos negros,
se existem, têm um interior, ou correspondem eles a
uma topologia localmente hipertórica?

...Vê-se
tudo o que pode induzir uma escolha de sistema de coordenadas.
A solução geométrica existe. Possui geodésicas.
Mas só sabemos "ler" tudo isto projetando no nosso espaço mental
de representação: um espaço-tempo euclidiano, que nem sequer
é relativista. Escolher um sistema de coordenadas é escolher
um sistema de leitura, um sistema de projeção.
...Tal como as personagens de Platão, só podemos
observar sombras num "ecrã euclidiano". Ainda é preciso escolher
a boa objetiva do "sistema de projeção".

...

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