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O contexto geométrico.
...Uma esfera é um espaço de dimensão 2. São necessários dois parâmetros para localizar um ponto nela. É um espaço que tem uma topologia (para mais detalhes sobre o significado da palavra topologia, ver minha história em quadrinhos O Topologicon, Ed. Belin). Uma esfera não tem a mesma topologia, a mesma "forma" que um toro. A esfera possui geodésicas. Pode-se nela inscrever um trajeto ligando dois pontos M1 e M2 e medir o comprimento s percorrido. Esse comprimento é independente das coordenadas escolhidas para localizar os pontos, assim como as curvas geodésicas que povoam a superfície.
...Liguemos o centro dessa esfera a todos os seus pontos. Obtemos uma infinidade de semirretas. Estas podem ser localizadas com o mesmo sistema de localização que os pontos, por exemplo dois ângulos q e j.
Acima, nossa esfera.
Fez-se um buraco para mostrar o conjunto dos raios vetores.
Retiremos agora a esfera e conservemos apenas os raios vetores.
...Truncaram-se essas semirretas, mas na verdade elas são infinitas. Cada uma só é definida pela dádiva de dois parâmetros, por exemplo dois ângulos. A estrutura métrica desapareceu. Mais geodésicas, mais comprimentos. O que resta?
- Toda semirreta tem uma vizinhança. Pode-se selecionar semirretas vizinhas para encerrar esta numa espécie de cone. No interior desse cone pode-se fazer figurar um mais estreito, que contém a semirreta. É o caso dos círculos concêntricos ou das bonecas russas, mas com feixes de semirretas. Mas não se trata de traçar geodésicas sobre esses cones. Cada uma de suas geratrizes é simplesmente um conjunto de dois parâmetros, por exemplo dois ângulos.
- Distingue-se uma ideia intuitiva de diferenciabilidade. Não há descontinuidade nessa "textura".
Tomemos uma superfície plana, com geodésicas, comprimento etc...
...Qualquer que seja o sistema de coordenadas que eu escolha, terei sempre de localizar a posição dos meus pontos com dois números reais (x,y), (r,q) etc...
Esses números reais são tomados em R2, isto é, no conjunto dos pares de números reais, como (3,8705 , - 17,56). Todo par de pontos tomado nesse espaço dos pares de números reais tem uma vizinhança. É "contínuo".
Esses objetos "pré-métricos" são chamados variedades (os matemáticos têm o dom para escolher palavras que não têm nenhum poder evocativo para o homem da rua).
...Nesse estágio pode-se, portanto, saltar esse passo que consiste em considerar um conjunto de n reais (espaço de n dimensões), sem lhe associar automaticamente a ideia de comprimento ou de geodésicas.
...É um pouco como se considerássemos uma superfície cujos pontos tivessem como única restrição manter o contato com seus vizinhos. Ela seria infinitamente elástica e deformável. Por convenção, se representamos uma superfície pelo seu contorno (seja sua borda, seja seu contorno aparente, evocaremos esse conceito "móvel" de variedade simplesmente removendo o contorno:
...Essa imagem evoca aliás a sombra do objeto. E uma sombra não tem consistência nem forma. Sua geometria depende do objeto sobre o qual ela se projeta.
Pode-se também representar a variedade (em inglês manifold), sem sua métrica, como uma família de retas.
...Aí, colocaram-se retas que parecem paralelas. Seria preciso que essas retas fossem... de qualquer maneira, conservando suas relações de proximidade, de vizinhança.
...Finalmente, uma boa imagem de uma variedade V2 é um pacote de espaguetes que primeiro se cozinha, depois se pode dobrar e torcer em todos os sentidos, mas sem modificar a ordem das massas umas em relação às outras.
Seja como for, pode-se efetuar sobre uma variedade uma operação de recobrimento de duas folhas, que se munem de métricas, sugerida pela imagem a seguir:
Aqui duas folhas 2d dotadas de métricas idênticas (euclidianas). Mas pode-se igualmente fazer:
...Chamaremos M e M* de pontos conjugados. O fato de dizer que os dois espaços conjugados são construídos como o recobrimento de duas folhas de uma variedade significa simplesmente que existe uma correspondência ponto a ponto entre as duas folhas F e F*, mas, por exemplo, as distâncias entre pares de pontos homólogos (M1,M2) , (M*1, M*2) podem ser diferentes. A única restrição é finalmente que as vizinhanças de pontos se correspondam igualmente e que a toda região não singular de uma folha corresponda uma região igualmente não singular.
...Reencontra-se o pacote de macarrões flexíveis de há pouco. A estrutura de "variedade-esqueleto " só está aí para construir a aplicação injetiva entre os dois objetos geométricos. O desenho acima destina-se a fazer explodir completamente questões como "como as folhas F e F* estão dispostas uma em relação à outra? Se F é um universo, onde está F*?". Essas folhas são simplesmente conjugadas, com uma correspondência ponto por ponto e esses pontos conjugados podem ser descritos pelas mesmas coordenadas.
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