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Curvaturas conjugadas.
...Como apreender a ideia de curvatura local, positiva ou negativa, num espaço a três dimensões. Tomemos uma esfera. Cravemos um prego em algum lugar. Amarremos nele um barbante de comprimento L e fixemos na outra extremidade um lápis. Poderemos então traçar um círculo, que será um paralelo. Efetuemos a mesma operação com um plano e uma sela de cavalo.
...Sobre um plano o perímetro é 2 p L e a superfície do disco p L2.
...Sobre a esfera o perímetro e a área da calota são menores. Sobre uma sela de cavalo o perímetro e a área delimitada por essa curva fechada são maiores. Exemplo: se tomarmos uma esfera de raio R e um comprimento L igual ao quarto do perímetro equatorial, ou seja p R/2:
...A área do disco é 3,875 vezes maior que a área da calota esférica. Seu perímetro é 1,57 vez maior que o equador.
...Efetuando medições análogas sobre uma superfície pode-se saber se a curvatura local é positiva ou negativa. Situação análoga em 3d. Toma-se então um ponto, um barbante de raio L e traça-se... uma esfera. Se a área dessa esfera for menor que a área euclidiana 4 p L2 concluiremos que a curvatura local é positiva Se essa área for menor que a área euclidiana 4 p L2 concluiremos que a curvatura local é negativa. Mesma conclusão para o volume. Contentemo-nos com essas ideias qualitativas. Em três e quatro dimensões pode-se definir um comprimento R, dito curvatura escalar, que se calcula a partir de um tensor de curvatura.
...No modelo cosmológico que apresentamos, decide-se conjugar duas folhas de universo tais que os valores das curvaturas escalares locais em pontos conjugados sejam inversos:
R* = - R
...É a maneira puramente geométrica de encarar as coisas. É então fácil dar dela uma imagem didática 2d, ressalvadas as reservas de praxe quanto ao alcance real de tais representações. É o desenho da figura a seguir:
Em cima, um posicone embotado. A curvatura local é nula sobre o tronco de cone e positiva na calota esférica.
Embaixo um "negacone embotado". A curvatura é nula sobre o tronco de negacone e negativa na sela de cavalo.
...Projetou-se o objeto e as geodésicas sobre dois planos-espaços de representação euclidianos. O primeiro é o de um observador fisicamente situado na folha F, que poderá assim ver o objeto massivo, mas não a partícula-testemunha que caminha na folha F*.
...A invisibilidade de um objeto situado numa folha por um observador situado na outra é de natureza puramente geométrica. Supõe-se que os fótons seguem geodésicas (particulares) de cada folha. Fótons j caminham na folha F (nossa folha de universo) e fótons j*, que se poderá chamar "fótons fantasma" (ghost photons) caminham na folha F*, a "folha fantasma" (ghost universe). O fato de as duas folhas formarem um conjunto disjunto, não-conexo impede a todo fóton de uma folha passar para a outra.
...O "funcionamento" de tal sistema geométrico é menos complicado do que parece.
...A folha F tem sua geometria, que é inteiramente descrita por uma "métrica" g, a partir da qual se constrói seu sistema de geodésicas. A partir dessa métrica g pode-se construir um tensor geométrico S e identificá-lo a um tensor T, que seja "fonte do campo", origem dessa curvatura, escrevendo a equação de Einstein:
S = c T
A geometria da segunda folha, tal que sua curvatura escalar seja inversa, corresponde a uma métrica g*, a partir da qual se pode construir um tensor geométrico S*. A inversão de curvatura decorre simplesmente de:
S* = - S =- c T
...O que não significará absolutamente que g* = - g. As equações são não-lineares. A métrica g* engendra ela também geodésicas.
...Consideremos uma geodésica da folha F e façamos figurar a curva correspondente aos pontos conjugados, na outra folha. Não é uma geodésica desta.
Inversamente:
...Nesse estágio, onde estamos? Dotamos o universo (suposto ser a folha F, nosso próprio espaço-tempo) de um irmão gêmeo. A matéria presente em nosso universo (o tensor T) determina sua geometria, mas determina igualmente a do gêmeo. Supomos que nosso universo contém unicamente massas positivas e, mais geralmente, partículas possuindo energias positivas. Não encaramos a presença possível de massas negativas em nossa folha de espaço-tempo. O tensor T é portanto ou positivo, onde há energia-matéria, ou nulo onde reina um vácuo rarefeito. A curvatura local de F é portanto ou nula, ou positiva, mas não pode ser negativa.
...Ao contrário a curvatura da folha F* (falaremos então de curvatura induzida) é ou nula, ou negativa.
...Se existem partículas nessa folha, supomos que elas seguem também geodésicas desta. Ora o que constatamos olhando a figura acima? O objeto acinzentado, essa massa presente em nosso universo, na folha F, comporta-se como um objeto repulsivo (ver a curvatura da trajetória-geodésica) na folha F*.
...Construímos uma solução matemática exata correspondente a esse par de "métricas conjugadas" (g, g*). [Ver no site: papel Geometrical Physics B], . A solução g é idêntica ao que chamamos as métricas de Schwarzschild exterior (no exterior do astro) e interior (no próprio astro). Propomos chamar a segunda métrica "Anti-Schwarzschild". [Ver no site: Geometrical Physics A, 7, o papel 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. ]
Com "matéria fantasma".
Nessa ótica de geometrias conjugadas, pode-se inverter a situação e supor que uma massa (positiva) se encontre presente em algum lugar na folha F*. Ela aí cria então uma curvatura positiva e a imagem didática 2d dessa geometria corresponde ao cone embotado, a uma solução de Schwarzschild, mas na folha F*.
...Mesma observação para a maneira como os observadores de diferentes folhas percebem o efeito dessa massa sobre uma partícula-testemunha que caminha em seu universo.
...O exame do esquema acima nos permite extrair as leis de interação entre a matéria e a matéria fantasma (ghost-matter), localizada no segundo universo o ghost universe.
-
Duas partículas de matéria se atraem
-
Duas partículas de matéria-fantasma se atraem.
-
Matéria e matéria fantasma se repelem.
...Vê-se que é diferente do esquema sugerido por Souriau, segundo o qual as partículas da segunda espécie, não somente repeliam as que constituem nossa matéria, mas se repeliam entre si.
...A segunda geometria corresponde à presença de massas positivas m*, na folha F*. Poder-se-á aí definir uma densidade de matéria matéria r* > 0 (ou mais precisamente de ghost energy-matter, já que a segunda folha, o ghost universe, contém também "radiação fantasma", ghost photons e ghost neutrinos). A energia das ghost particles é positiva, assim como a pressão p*.
...A partir dessas grandezas pode-se construir um tensor de energia-matéria fantasma T* (o tensor energia matéria mais geral é um pouco mais que isso, mas essa descrição esquemática basta "para as necessidades usuais").
A equação de campo que dá a geometria na folha F* é:
S* = c T*
A que dá a geometria de F* é:
S = -c T*
...São as duas equações de há pouco, invertidas. Na folha F a geometria é induzida, no sentido em que é criada por matéria M* situada em F* e portanto invisível desde a folha F.
...Pode-se agora encarar que as duas folhas sejam povoadas cada uma por sua própria matéria, de densidades r e r*.
As métricas conjugadas se deduzem então do sistema de equações:
S = c (T - T*)
S* =c (T* - T)
que dá bem as curvaturas invertidas:
R* = - R
Um tal universo pode portanto apresentar, em suas folhas, uma curvatura qualquer, positiva, negativa ou nula.
Se a curvatura é localmente positiva na folha F é que:
T > T*
ou:
r > r
*
ela é então negativa na região adjacente, conjugada, da folha F*.
Se a curvatura é localmente negativa na folha F é que:
T < T*
ou:
r < r
*
ela é então positiva na região adjacente, conjugada, da folha F*.
Se a curvatura é nula numa região da folha F, ela é igualmente nula na folha F*, o que significará ou que:
T = T* = 0
(as duas regiões são vazias)
ou que:
T = T* (
r = r
*)
Newton e anti-Newton.
A lei de Newton se deduz da equação de Einstein supondo:
-
Que a curvatura local é fraca
-
Que as velocidades são fracas diante da velocidade da luz
-
Que o sistema é "quase-estacionário" (cosmologicamente falando).
...Ela se deduz da mesma maneira do sistema de equações de campo acopladas apresentado acima. Ver:
J.P.Petit and P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 1 : The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [ver no site: Geometrical Physics A , 4 , 1998, seção 4. ]
Tem-se portanto a dinâmica a seguir:
-
Duas partículas de matéria m1 e m2 se atraem segundo a lei de Newton.
-
Duas partículas de ghost matter, de "matéria-fantasma" m*1 e m*2 se atraem segundo a lei de Newton.
-
Duas partículas m e m*, pertencentes a folhas diferentes se repelem segundo "anti-Newton".
A propósito dos testes da Relatividade Geral.
...O modelo não está em contradição com estes. Com efeito, como a matéria e a ghost matter se repelem, onde há uma concentração de matéria (por exemplo nossa galáxia), na porção adjacente, conjugada do ghost universe, reina um vácuo rarefeito: a matéria aí fez a limpeza repelindo as massas fantasmas para longe.
Na vizinhança do sol o tensor T* (ghost matter) é portanto desprezível diante de T (matéria) e a equação de campo se torna:
S @
c T
ou seja a equação de Einstein, que se apresenta então como uma forma aproximada de uma equação "gemelar".
Conclusão desta parte geometria.
**...**Tudo está agora em seu lugar para tentar explorar uma ideia nova, a de um universo em interação permanente com um universo fantasma, cuja existência só se revelaria a nós através da ação sobre o campo de gravitação.
...No papel: "J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [Ver no site: Geometrical Physics B, 1-3 ], 1998.", a estrutura gemelar é abordada diferentemente: através da teoria dos grupos (grupo gemelar). Ver-se-á em particular que a dualidade matéria antimatéria existe nas duas folhas. No ghost universe existe ghost matter e anti-ghost matter.
...Conhecemos a aproximação newtoniana. Podemos portanto fazer simulações numéricas. Podemos também tentar construir soluções analíticas. Deveremos também, para sermos completos, produzir um modelo de evolução cosmológica, que chamaremos Twin Bang, já que afeta os dois universos. .
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