O nouă axiomatică a grupurilor

O o nouă axiomatică a grupurilor **

--- **

...Souriau locuiește într-un apartament în vechiul Aix. Ușa care dă spre stradă este splendoare. În intrare este parcat un vehicul destul de ciudat: o șezută, de epocă, care aparține proprietăroaici, o domnișoară, arheologă, cred eu. Șezută este lângă perete. Mai rămâne să găsești doi purtători, să încerci cei doi pereți de lemn în inele și să te așezi pentru a face o plimbare. Deschiderile sunt vitrate: geamurile laterale pot fi coborâte, nu cu o manivelă, ci prin mișcarea unor curele de piele, așa cum era în vagoanele de tren din copilăria mea.

...Ce totul e visător. Mă conștientizez că niciodată nu am făcut o șezută. Sunt convins, în aceste timpuri de șomaj, că oamenii ar putea trăi făcând o primă linie regulată de șezută în vechiul Aix. Ar fi suficient să construiești un vehicul care să imite șezută din trecut. Nu trebuie să fie prea dificil. Apoi, să obții două haine brodate, două pălării și înainte. Traseu: Cours Mirabeau. Ar fi suficient. Mai târziu, ar fi suficient să visăm, să avem un pic de imaginație.

...Jean-Marie trăiește singur cu pisica lui, Pioum, în apartamentul lui mare, plin de aur, de lemn. Pioum este minunat. Totuși, nu am prea multă atracție față de pisici. Dar aceasta este extrem de ospitalieră și afectuoasă.
Lucrăm de obicei în bucătărie, un etaj mai sus. O mică cameră, sub acoperiș, ale cărei dimensiuni mici se contrastează cu mărimea imensă a camerelor de jos. În fiecare caz, Jean-Marie încearcă să-mi facă să beau băutura lui preferată: Fernet-Branca, bazat pe artichoc, pe care o găsesc pur și simplu excrement, dar pe care o consideră cu toate virtuțile.
...Când face o plimbare prin oraș, își ia GPS-ul, care nu-l părăsește niciodată. Este într-adevăr fascinant să fii ghidat de sateliți aflată la patruzeci de mii de kilometri de strada unde te plimbi. Pentru o mai bună recepție, Souriau are tendința de a merge pe axa străzii, privind fix ecranul cu cristale lichide. Efectiv, pare, dar totuși relativ periculos.

...Cred că ne-am amuzat bine, amândoi. Într-o seară de decembrie, am trecut să-l vizitez, și a avut loc următoarea conversație.

• Voi vorbi despre grupuri. Te mai amintești de axiome?

• Da, sunt șase. Sunt:

1 - Există elemente a, b, c... aparținând unui mulțime E

2 - Există o operație internă, notată o ("cerc"), care permite combinarea a două elemente dintr-o mulțime.

a aparține mulțimii E

b aparține mulțimii E

a o b aparține mulțimii E

3 - Această operație este asociativă:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Există un element neutru e astfel încât:

a o **e **= e o a = a

5 - Fiecare element a din mulțime are un invers, notat a-1, astfel încât:

a-1 o a = a o = e

Asta face cinci?

• În final, cinci, patru, sau unu. Nu există o regulă absolută în ceea ce privește numerotarea axiomei. Am putea foarte bine grupa axiomele 1 și 2 într-un singur:

• Există elemente a, b, c, etc., aparținând unei mulțimi E, dotată cu o lege de compoziție internă care satisface:

a aparține mulțimii E

b aparține mulțimii E

a o b aparține mulțimii E

este echivalent.

• Bine, cinci, patru, nu contează. Unde vrei să ajungi?

• Voi face să dispară ceea ce ai numit axiomele 4 și 5, definind elementul neutru și inversul, înlocuindu-le cu axioma sandvișului. În total, axiomele sunt:

1 - Există elemente a, b, c... aparținând unei mulțimi E

2 - Există o operație internă, notată o ("cerc"), care permite combinarea a două elemente dintr-o mulțime.

a aparține mulțimii E

b aparține mulțimii E

a o b aparține mulțimii E

3 - Această operație este asociativă:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Fie trei elemente a, b, c, aparținând mulțimii E.

Fie ecuația:

a o y o b = c

Aceasta are o soluție unică.

Asta este ceea ce numesc axioma sandvișului, unde "șuncă" y este prins între elementele a și b, c fiind entitatea sandviș. Axioma înseamnă:

Întotdeauna poți scoate șunca dintr-un sandviș.
*

și spun că aceste axiome definesc grupurile, sunt echivalente cu cele anterioare.

• Această soluție unică y este element al mulțimii E, deoarece operația este internă și asociativă.

• Desigur, e clar.

• Dar e mai bine să o spunem. Nu știu cum vei face pentru a recupera cele două axiome referitoare la elementul neutru și existența inversului, dar înțeleg cel puțin ce te-a dus la această idee.

• M-am gândit "la ce folosește?"

• Exact. La ce folosește să ai un element neutru? În mod direct, asta înseamnă "dacă am o mulțime E și un element neutru, pot compune toate elementele acestei mulțimi cu acesta și voi obține același lucru". Mă face o frumoasă șuncă. La fel, la ce folosește inversul în sine? Când facem calcule pe grupuri, pe un anumit lucru, ne descurcăm întotdeauna, cu înmulțiri la dreapta sau la stânga cu elemente sau cu inversul lor pentru a face apărea a o a-1 sau a-1 o a, pe care le înlocuim cu e, apoi b o e sau e o b pe care le înlocuim cu b. Axioma ta a sandvișului este "funcțională".

• Dacă vrei. Trecem la teoremele care decurg din axioma sandvișului. Prima este:

I - Există un element neutru care, compus cu el însuși, dă el însuși:

e = e o e

II - Acest element neutru este unic.

Demonstrație :

Pornim de la axioma sandvișului. Ecuația

a o y o b = c

are o soluție y unică.

Asta este valabil și dacă b = c = a, deci

a o y o a = a

are o soluție unică. Înmulțim la dreapta cu y:

a o y o a o y = a o y

Numim a o y = e

...Este un element al mulțimii, deoarece a și y aparțin mulțimii și operația este internă. Deci există un element al mulțimii astfel încât:

e o e = e

...Teorema I este demonstrată. Trecem la unicitate, la teorema II. Dacă nu ar fi unicitatea, ar exista un alt element al mulțimii, să-l numim f, care ar obține:

f o f = f

Avem:

e o e = e

Înmulțim la dreapta cu f:

e o e o f = e o f

Reînmulțim la dreapta cu e:

e o e o f o e = e o f o e

Folosim asociativitatea:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Acestea sunt două sandvișuri. Să le numim:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Conform axiomei sandvișului, putem "extrage șunca", adică calcula expresiile ( e o f ) și **f **care vor fi egale, deoarece p = q. Deci:

( e o f ) = f

...Reîncepem pornind de la propoziția atribuită celui de-al doilea element f:

f o f = f

...Înmulțim la dreapta cu e, de două ori la stânga:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Folosim asociativitatea:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Folosind a doua dată axioma sandvișului, deducem că:

e o f = e

deci:

e = f

Teorema III: Dacă iau acest element e "identic cu pătratul său", conduce la faptul că

a o e = a

Demonstrație :

Utilizăm întotdeauna axioma sandvișului. Pornim de la definiția lui **e **:

e o e = e

înmulțim la dreapta succesiv cu a și cu e:

e o e o a o e = e o **a **o e

Folosim asociativitatea.

e o ( e o a ) o e = e o **a **o e

Deci:

e o a = a

Pornind de la:

e o e = e

și înmulțind la stânga succesiv cu a și e:

e o **a **o e o e = e o **a **o e

și folosind asociativitatea.

e o ( **a **o e ) o e = e o **a **o e

de unde:

**a **o e = a

Teorema III este demonstrată.

Trecem la teorema IV

(existența unui invers, notat a-1).

Enunț: fie un element din mulțime. Există un element și numai unul, soluția ecuației:

a o y o a = a

Îl notăm cu acest element a-1 și îl numim inversul lui a. Acest element satisface proprietățile:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Demonstrație.

Existența și unicitatea acestui element este o simplă consecință a axiomei sandvișului, atunci când se formulează astfel:

Când felii de pâine sunt identice între ele și identice cu sandvișul, atunci șunca este inversul felii de pâine (sau al sandvișului).

a o y o a = a

Putem juca asociativitatea în două moduri:

(** a** o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Dar știm că:

e o a = a

a o **e **= a

Deci soluția **y **satisface:

a o y = e

y o a = e

Demonstrăm că această soluție este unică. Dacă nu ar fi, am avea o altă soluție

a o z = e

z o a = e

Înmulțim prima ecuație cu y la stânga.

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

dar y o a = e deci:

z = y

Numim această soluție a-1 , soluția ecuației unice:

a o a-1 o a = a

Astfel noul set de axiome conduce la aceleași proprietăți care, în mod clasic, definesc grupurile.

Deci putem defini grupurile cu acest nou set de axiome :

Definiția unui grup.

1 - Există elemente a, b, c... aparținând unei mulțimi E

2 - Există o operație internă, notată o ("cerc"), care permite combinarea a două elemente dintr-o mulțime.

a aparține mulțimii E

b aparține mulțimii E

a o b aparține mulțimii E

3 - Această operație este asociativă:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Fie trei elemente a, b, c, aparținând mulțimii E.

Fie ecuația:

a o y o b = c

Aceasta are o soluție unică.

Dacă elementele mulțimii E, împreună cu operația lor de compoziție internă, satisfac aceste patru axiome, spun că formează un grup.

Teoremă: Elementul neutru este inversul său propriu. Această nouă definiție a elementului neutru, prin intermediul unei singure ecuații, generează o altă formă de demonstrație a acestei proprietăți.

e o e = e

Aceasta este definiția elementului special e. Dar axioma sandvișului face ca această ecuație să se identifice cu proprietatea (nu mai definiția) inversului.

Alta teoremă: inversul inversului este egal cu elementul însuși:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a este inversul lui a-1. Din aceasta rezultă proprietatea.

Demonstrăm că:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

Calculăm:

a o b o b-1 o a-1 și b-1 o a-1 o a o b o

Demonstrăm că aceste două cantități sunt egale cu e.

a o (b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

La fel pentru cealaltă expresie.

• Aceasta este o abordare diferită a conceptului de grup.

• Ontologia grupurilor.

• Dacă vrei.

• Dar ceva mi se spune că acest lucru se va dovedi fecund.

• Acum, uitați-vă totul, chiar și axioma sandvișului. Considerați o mulțime E înzestrată cu o operație de compoziție internă o asociativă. Presupunem că în această mulțime există un element care, compus cu toate celelalte, joacă rolul de element neutru:

a o e = e o a = a - Este unic?

• Dacă există, este neapărat unic, se poate demonstra.

• Ah, da, e adevărat.

• Voi spune că doi elemente a și b sunt legați printr-o relație de reciprocitate dacă

a o b = b o a = e

Dacă vă dați a, b este inversul său. Spun că dacă limităm mulțimea la submulțimea elementelor care au un invers, această submulțime formează un grup. Aceasta este o modalitate de a construi grupuri. Altfel spus, selectăm din mulțime, elementele care satisfac această proprietate și spun că aceasta este suficientă pentru a afirma că această submulțime formează un grup.

Trebuie demonstrat că această proprietate este internă.

• Ce vrei să spui?

• Fie doi elemente a și a' care satisfac proprietatea, adică:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a are un invers b

a' are un invers b'. Aceștia sunt în submulțimea în cauză. Trebuie demonstrat că a o a' are, de asemenea, un invers.

Eliminăm aceste "cercuri", care sunt greu.

a'h' = e

înmulțim la stânga cu a și la dreapta cu b:

a a'b'b = a e b = a b = e

Deci:

(a a' ) (b'b ) = e

Revenim la:

b a = e

înmulțim la stânga cu b' și la dreapta cu a':

** b**'b a a'= b'** e a**'** = b**'a'** = e**

( b'b)(** a** a'** **) = e

Deci elementul obținut prin compunerea a și a', care au inverse, are, de asemenea, un invers.

• Mai rămâne să demonstrăm că această submulțime formează într-adevăr un grup.

• Și pentru acest lucru, voi demonstra că această submulțime satisface axioma sandvișului, adică:

a y b =** c**

are o soluție y unică.

• Înțeleg. Axiomatic, procedezi invers față de mai înainte. Mai sus ai primit axioma sandvișului și ai demonstrat că aceasta conduce la existența inverselor. Aici presupui că elementele mulțimii au toate inverse și vei face față, folosind această proprietate, pentru a recupera axioma sandvișului.

• Cea mai bună modalitate de a demonstra că ecuația are o soluție unică este de a o construi. Înmulțim ecuația de mai sus la stânga cu a-1 și la dreapta cu b-1.

a-1 a y b b-1=** a**-1 c b-1

( a-1 **a **) y ( b b-1) = a-1 c b-1

y =** a**-1 c b-1

• Astfel y este într-adevăr soluția ecuației:

a y b =** c**

Introducând soluția construită, obținem:

a ( a-1 c b-1)** b** =** c**

...Prin această metodă, admitem că putem juca cu parantezele, generalizarea asociativității. Am presupus (acesta este unul dintre axiome) că putem izola două elemente într-o secvență de operații

a o b o ( c o d ) a o ( b o c ) o d ( a o b ) o c o d ( a o b) o ( c o d )

Se dorește a demonstra că este licit să includem trei elemente între două paranteze. Dar vom admite acest lucru fără demonstrație.

Aplicații:

...Considerăm mulțimea numerelor reale înzestrate cu înmulțirea x ca operație de compoziție. Este internă, dar nu este un grup, în conformitate cu acest nou set de axiome. Într-adevăr, ecuația care definește elementul e:

**e **o e = e

are două soluții:

e = +1 și e = -1

...Considerăm construcția anterioară. Ne dăm o mulțime (numerele reale), o operație de compoziție, asociativă (înmulțirea). Această mulțime are un element neutru 1, care nu este definit ca soluție a

e o e = e

ci ca element care, compus cu orice alt element al grupului (inclusiv cu el însuși), redă acel element, altfel spus, definiția clasică:

Pentru orice a aparținând mulțimii E este adevărat că:

e o a = a o e = a

Dacă pornim de la definiția clasică a inversului:

a o a-1 = a-1 o a = e

...Am demonstrat că submulțimea elementelor care au un invers formează un grup. Astfel, numerele reale fără zero formează un grup.

Luăm matricele pătratice de format (n,n). Acestea au un element neutru:

cu zerouri în afara diagonalei principale, plină cu "1"

Matricele inversabile formează un grup, cunoscut sub numele de Grupul Linie GL(n).

• Îmi place destul de bine, totul.

• Hmmm.... este doar o variantă a axiomaticii clasice. Am prezentat acest lucru la un simpozion de epistemologie, la Grenoble, acum o săptămână.

A SUIVRE