Représentation analytique de la surface de Boy

f5101 O reprezentare analitică a suprafeței lui Boy J.P. Petit și J. Souriau .

**...**Mai jos, reproducerea unei note publicate în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences din Paris, semnată de J.P. Petit și J. Souriau, din anul 1981.

**...**Această lucrare are o istorie. Până când a apărut albumul meu Topologicon, editat de Belin, în seria Aventurile lui Anselme Lanturlu, în 1985, reprezentările suprafeței lui Boy în lucrările specializate erau puține. În diverse locuri se găseau fotografii ale unor modele realizate fie din plăci, fie din sârmă de gaini. Charles Pugh, din cadrul departamentului de matematică al Universității din Berkeley, este cel mai de seamă specialist mondial în sârmă de gaini. De fapt, tocmai cu acest material a obținut un premiu important, financiar, realizând maștile care descriu întoarcerea sferei conform lui Bernard Morin, maști care ulterior au fost digitalizate de Nelson Max pentru a fi transformate într-un film care se găsește în toate departamentele de matematică din lume.

**...**Dar consider că sârma de gaini rămâne un material puțin nobil, mai ales pentru subiecte științifice de înaltă calitate. Când am făcut cunoștință cu un plastician numit Max Sauze, m-am inițiat în tehnica firului de cupru, flexibil și rigid în același timp, pe care Max îl sudau cu dexteritate, evitând să-l încălzească prea mult, pentru a nu crea tensiuni nedorite în material.

**...**Prietenul meu Jacques Boulier, cunoscut sub numele de Vasselin, era atunci profesor la École des Beaux-Arts din Aix-en-Provence. Într-o anumită perioadă, mi-a propus să înlocuiesc unul dintre profesorii săi plecați în străinătate, lucru pe care l-am făcut, asigurând un serviciu la jumătate de program împreună cu Sauze. În timp ce eu inventam obiectele, Max le sudau. Studenții noștri, înconjurându-ne, curioși, încercau să ne imite cât mai bine. În acea anul, aripa școlii de artă din Aix-en-Provence devenise o adevărată uzină de producție în masă a suprafețelor matematice.

**...**Dacă doriți să vă încercați, nu este complicat. Aveți nevoie de un rol de fir de cupru, de exemplu cu diametrul de un milimetru și jumătate, maxim două, și o tăietoare. Cu acestea veți putea reproduce cele două familii de curbe care compun orice suprafață.

**...**Problema este să modelați corect aceste obiecte. Pentru aceasta, este util să puteți face alunecarea punctelor de întâlnire, acolo unde „meridianele” și „paralelele” se intersectează. O soluție bună constă în a lega pur și simplu cele două fire metalice cu un fir de cusut. Este suficient de strâns pentru a da obiectului o anumită stabilitate, dar suficient de alunecător pentru a permite deformări și ajustări.

**...**Doar atunci când considerați că obiectul este matematic conform dorințelor voastre, îl puteți încredința unui specialist care manevrează cu dexteritate o sârmă de argint și știe să sudă fără a încălzi prea mult tijele, ceea ce Max făcea cu un artizanat deosebit.

**...**Într-o zi am adus un prototip al suprafeței lui Boy, descoperind cum trebuiau să se aranjeze meridianele și paralelele. În mod aparent, se putea face ca meridianele să semene cu adevărat cu o familie de elipse.

**...**Max a copiat obiectul cu grijă. Am ajuns atunci la Souriau. Fiul său (care nu avea niciodată răbdarea să termine licența de fizică) se juca cu Apple II-ul tatălui său. I-am spus:

• Jérôme, ai vrea să ai o publicație de matematică pură la numele tău?

• Păi, de ce nu? Cine trebuie omorât pentru asta?

• Nimeni. Vezi acest obiect. Ia un raportor, măsoară acele elipse și încearcă să ne construiești o reprezentare semi-empirică a acestei suprafețe.

• Poate că se poate încerca, dă...

**...**După două zile, era făcut. Articolul a fost rapid acceptat în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences din Paris și publicat sub numele nostru: J.P. Petit și J. Souriau.

**...**Dar cum tatăl se numește Jean-Marie, iar fiul Jérôme, toți matematicienii sunt convinși că lucrarea a fost făcută împreună de Souriau părinte și de mine.

**...**Trasarea suprafeței pe calculator, folosind un mic program BASIC de câteva linii, a surprins în mod semnificativ mulți matematicieni, care se așteptau la ceva mult mai complicat. Acest lucru a avut o consecință neplăcută. Matematicianul Bernard Morin avea un student la doctorat, Apéry, fiul lui Apéry-părinte, autorul teoremei inefabile conform căreia suma cuburilor numerelor întregi este un număr irațional. Între altele...

**...**Nu știam. Progresul nostru a îngrijorat profund pe Morin, mai ales pentru că i-am spus în mod naiv că această metodă ar trebui să permită descrierea suprafeței cu patru urechi care l-a făcut celebru, aceea construită cu sârma de gaini de Pugh, apoi digitalizată de Max etc.

Morin a frunzit din sprâncene:

• Nu, e imposibil! ...

**...**Vom vedea mai târziu. Rămân convins de contrariu. Dar această frază era echivalentul celebrei replici pe care Archimede a rostit-o unui soldat roman care îl deranja în gânduri – Noli tangere circuleos meos!
În franceză: „Nu atinge cercurile mele!”

Aici, era mai degrabă: „Nu atinge elipsele mele!”

**...**Ulterior, Apéry a exploatat descoperirea mea, conform căreia se putea doti suprafața lui Boy cu un sistem de meridiane eliptice, pentru a construi prima ecuație implicită a obiectului:

f(x, y, z) = 0

**...**Morin, furios să mă vadă apărând ca un intrus în propriile sale lucrări matematice, i-a impus lui Apéry să precizeze în teza sa că a fost Sauze cel care a descoperit ideea elipselor. Max nu a dezmințit, dar este incorect. Doamne, dovada este în garajul meu: mașta pe care i-am adus-o lui Max pentru a o finaliza.

**...**În cele din urmă, totul e destul de ridicol, în fond. Această anecdotă servește doar pentru a arăta că matematicienii nu sunt mai inteligenți decât fizicienii.

**...**Politehnicianul Colonna, pionier în domeniul imaginilor sintetice, a folosit ecuațiile noastre fără a menționa originea lor. Dar există un detaliu amuzant: dacă vedeți pe un ecran imagini ale suprafeței lui Boy, și dacă sunt „ale noastre”, ele vor avea neapărat trei ușoare „îndoituri” lângă polul său. Un defect de ajustare al ecuațiilor. Jérôme, fiul lui Souriau, a făcut asta în grabă și un ultim mic lovitură cu fierul, în apropierea polului, nu ar fi fost de rău. Totuși, aceasta poate fi întotdeauna realizată, pentru oricine vrea.

**...**Această poveste a suprafeței lui Boy nu este încheiată. Pentru a fi complet, menționăm un personaj: Carlo Bonomi, un milionar italian. L-am cunoscut în timpul unei expediții în Triunghiul Bermudelor (dar aceasta e o altă poveste). În acel moment navigam rapid pe yachtul său, de lux, care te lăsa fără suflare, în căutarea unei piramide înfundate, menționate de un anumit Charles Berlitz într-unul dintre cărțile sale. Nu am găsit piramida și aproape am fost mâncati de numeroșii rechinii care păziseră acele locuri. Dacă aveți un atlas, locul unde se presupunea că ar fi trebuit să se afle acea „Piramidă Atlantidă” este în sud-vestul unui reef numit Cay Sal Balk, la cincizeci de mile sud de Cuba.

**...**Între două înotări și două mese cu caviar, i-am propus lui Bonomi să sponsorizeze o producție intensivă a suprafeței lui Boy. I-a plăcut ideea și a urmat o continuare. Să spunem că suprafața lui Boy care decorează sala de matematică din Palais de la Découverte din Paris a fost plătită de Bonomi și realizată de Sauze. Finanțatorul planifica să organizeze o expoziție, făcând obiectele din aur masiv. Dar afacerea nu a avut urmări. În urma tăcerii prelungite, am sunat la birourile sale din Milano. Din păcate, implicat în scandalul logei P2, fusese închis și interesul său pentru topologie a suferit o deteriorare ireversibilă.

**...**Acoperirea cu două foi a unei suprafețe Boy, imagine a planului proiectiv P², este o sferă S² (vezi Topologicon). Pugh a construit această acoperire cu două foi de sârmă de gaini, un obiect remarcabil în toate privințele, deși, să spunem clar, personal prefer firul de cupru și reprezentarea meridiane-paralele. Dar chiar și în matematica pură:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Înainte de a prezenta nota, o ultimă anecdotă. Charles Pugh construise astfel șapte modele din sârmă de gaini, ceea ce i-a adus un premiu important, descriind etapele succesive ale întoarcerii sferei, despre care vom vorbi când voi găsi cinci minute pentru a încărca aceste informații pe site, și care au fost suspendate de tavanul cantinei departamentului de matematică al Universității din Berkeley.

**...**Matematicienii din întreaga lume veneau în pelerinaj să se încânte de această secvență admirabilă din toate punctele de vedere. Dar într-o noapte, modelele au fost furate și nimeni nu știe ce s-a întâmplat cu cele șapte obiecte, care altfel erau strict nevândute. Care vânzător ar fi acceptat o astfel de tranzacție? Cu excepția unui bogat amator, jumătate estetic, jumătate matematic, care ar fi finanțat operațiunea pentru a le depozita într-o pivniță blindată, doar pentru bucuria de a deveni singurul om care poate contempla această a opta minune a lumii, chiar dacă era realizată din sârmă de gaini.

**...**Pugh, în ciuda stăpânirii materialelor, nu a avut curajul să înceapă o nouă serie.

**...**După cum am spus deja la începutul site-ului, viața lui Werner Boy rămâne un mister. După ce a inventat suprafața care i-a adus numele, a dispărut literalmente după plecarea de la universitate. În ciuda cercetărilor sale, Hilbert nu a reușit să îl găsească și chiar nu știm unde a fost înmormântat.

**...**Să revenim la matematică. Nota de mai jos este relativ ușor de citit. Pornind de la formulele 1 până la 8, orice elev treaz poate construi imagini foarte frumoase și verifica dacă tăieturile corespund figurii 5.

C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 octombrie 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - O reprezentare analitică a suprafeței lui Boy. Notă de Jean-Pierre Petit și Jérôme Souriau, prezentată de André Lichnérowicz.

Se prezintă o reprezentare analitică a suprafeței lui Boy, care permite trasarea acesteia.

1. INTRODUCERE.
**...**Suprafața inventată în 1901 de matematicianul Werner Boy, student al lui Hilbert, este bine cunoscută matematicienilor. Ea poate interveni ca etapă centrală a întoarcerii sferei (vezi [1] și [2]).

**...**În 1979 (J.P.P.) a construit o maștă din fir metalic, evidențiind pozițiile pe care trebuiau să le ocupe liniile meridiane ale suprafeței. Un al doilea lucru realizat în 1980 împreună cu sculptorul Max Sauze a permis reconstruirea unei alte maști, unde curbele se aflau în plane și păreau destul de apropiate de elipse. Pornind de la o astfel de maștă părea posibil să se construiască o reprezentare analitică a unei suprafețe cu topologia suprafeței lui Boy, ale cărei meridiane să fie elipse care trec printr-un singur pol.

2. MODUL DE GENERARE A SUPRAFEȚEI LUI BOY UTILIZÂND ELIPSE.

**...**Plasăm polul în originea coordonatelor. În acest punct, suprafața va fi tangentă planului (XOY). Va avea deci axa OZ ca axă de simetrie ternară (vezi figura 1). Curbele meridiane sunt elipse situate în planele Pm. Să notăm cu OX1 urma în planul XOY a unui plan Pm. Să notăm cu m unghiul (OX, OX1). În planul Pm plasăm un al doilea ax OZ1 perpendicular pe OX1. Să notăm cu a unghiul (OZ, OZ1).

Fig. 1 și Fig. 2

**...**Primul parametru al acestei reprezentări analitice va fi unghiul m. Vom considera unghiul a ca o funcție de m (care va fi definit mai târziu). În planul Pm vom trasa acum o elipsă tangentă în O la OX1 (vezi figura 2). Vom lua axele acestei elipse paralele cu bisectoarele unghiului X1OZ1. Să notăm cu A(m) și B(m) valorile axelor acestei elipse. Această elipsă Em va fi generată de un al doilea parametru liber q.

**...**În rezumat, vom obține coordonatele X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) ale punctului curent al suprafeței.

**...**În această abordare semi-empirică, măsurătorile efectuate de (J.S.) pe maștă au permis o aproximare a funcțiilor a(m), A(m) și B(m). Suprafața a fost apoi trasată pe calculator „Apple-II” și s-au obținut tăieturi la Z = constant, analiza acestor tăieturi permitând determinarea identității topologice cu suprafața lui Boy. Aceasta nu a putut fi obținută decât cu o experiență numerică (J.S.) care a permis eliminarea perechilor de singularități nedorite (apariția perechilor de puncte cuspidale).

**...**Am ajuns la concluzia că: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sin(6m - π/3) + 1,98 Sin(3m - π/6)

(2) B(m) + 10 + 1,41 Sin(6m - π/3) - 1,98 Sin(3m - π/6)

(3)

**...**În sistemul X1 O Z1, coordonatele centrului elipsei Em sunt: (4)

(5)

**...**În același sistem, coordonatele punctului curent al elipsei sunt: (6)

(7)

iar coordonatele x, y, z sunt date de:

(8)