Revenons à cette classe d'homotopies des immersions du tore dans R3 Revenons à cette classe d'homotopies des immersions du tore dans R3. On peut relier aisément les deux objets montrés à l'aide d'une transformation "C". On prend un tore et on "l'auto-traverse" quelque part, en créant une ligne de point doubles qui est un cercle : 
J'ai mis "deux couleurs" : gris pour l'extérieur du tore, blanc pour l'intérieur. L'auto-traversement ci-dessus (qui conduit à une des infinités d'immersions possibles du "tore standard") fait donc apparaître une partie blanche de la surface.
Observons cet objet à partir d'un point situé sur l'axe du tore :
En haut, la portion de l'intérieur (blanche) du tore, que l'auto-traversement a fait apparaître. Nous pouvons alors mettre en uvre une "transformation C" et créer deux points cuspidaux. 
Au point indiqué par la flèche on "étrangle" un passage. L'opération crée deux points cuspidaux C1 et C2 :
qu'on peut faire migrer comme ci-après :
Il ne reste plus qu'à opérer une transformation C-1 (confluence deux points cuspidaux) :
On obtient l'objet : 
Cette immersion du tore est homotope au tore standard.
On voit que cette opération " C " et son inverse "C-1 " , qui étendent l'univers des immersions à celui des cisaillements de surfaces dans R3 permet de faire des choses intéressantes. On peut construire l'ensemble des cisaillements des surfaces classiques (Sphère, plan projectif, tore et bouteille de Klein). Combien cet ensemble possède-t-il de classes ?
On a vu que la sphère et le plan projectif appartenaient alors à une même classe (de même que la surface de Boy droite et la surface de Boy gauche). Combien y a-t-il de classes de cisaillement du tore ? Je crois, sauf erreur, que ce problème n'est pas, présentement, résolu. Peut-on, à l'aide d'opérations C passer d'une classe d'immersion du tore à une autre, ou non ? Intuitivement, j'aurais tendance à répondre que non, mais il ne s'agit là que d'une conjecture.
Une construction ne peut pas démontrer une impossibilité, mais illustrer une possibilité. Si quelqu'un trouve des constructions permettant de sauter d'une classe à l'autre, le théorème sera de facto démontré, mais le fait qu'on ne trouve pas de constructions permettant de le faire ne constitue pas en soi une démonstration. L'absence de preuve n'est pas la preuve d'une absence. Dire qu'il existe quatre classes de cisaillement du tore dans R3, ou dire qu'il n'en existe qu'une sont des conjectures, de simples croyances, en l'état.
Il se trouve que Smale a démontré que le retournement de la sphère était une chose possible avant que Phillips n'en donne la première construction. Cela aurait tout aussi bien être l'inverse. Mais qui aurait aurait eu l'idée de se lancer dans une telle entreprise, allant totalement contre notre intuition géométrique ?
La transformation C permet de transformer une sphère en Cross cap, puis en surface de Boy, via la surface Romaine de Steiner. Voir l'article. Permet-elle de transformer un tore en bouteille de Klein ? Logiquement oui, mais je n'ai pas la réponse toute prête à cette question.
Au passage, pourquoi parler de "plan projectif" ? Les objets (unilatères) montrés sont finis. Réponse de Souriau :
- Sur un plan on a "la droite de l'infini". On recolle simplement ce plan selon la droite de l'infini.
Laquelle, comme de bien entendu, est une courbe fermée.
Dans le Topologicon on trouve un petit dessin animée, un "feuilletable", qui montre comment un ruban de Mbius à trois demi-tour peut se transformer en surface de Boy. La dernière image montre cette surface, moins un disque. Il suffit de rajouter celui-ci pour compléter la surface. Une surface de Boy c'est donc une ruban de Moebius plus un disque. Exercice : en vous servant des outils du Topologicon, recalculez alors sa caractéristique d'Euler-Poincaré (qui vaut 1).
Inversement, on pourrait partir du disque et le faire croître, en s'auto-traversant, jusqu'à ce qu'il se recolle sur ce ruban de Moebius à trois demi-tours, ce qui est un autre construction.
J'ai retrouvé les dessins dans la communication de 55 pages que j'avais faite au colloque de psychanalyse Lacanienne d'Aix en Provence (4 et 5 avril 1987), consacré à la "Perversion", et qui figure dans les minutes éditées par ses organisateurs. Je me servirai de ce texte dans un futur document intitulé "JPP chez Lacan".
Première image : le disque en train de se contorsionner.
Ci-après, amorce de la création de l'ensemble d'auto-intersection :
Figure suivante : apparition du point triple :
Je cesse de mettre des ombrages, puisque la surface est en passe de devenir unilatère.
Ci-après, la surface est prête à se recoller sur elle-même, le long de son bord.
Là, on a fait figurer le ruban de Mbius à trois demi-tours, complètant la surface :
Figure suivante : ce même ruban.
Puis la surface de Boy, entièrement formée. On ne peut dire, par rapport aux images présentées dans le Topologicon, "qu'on la voie par en dessous", une surface de Boy n'ayant ni queue ni tête. Disons que telle qu'elle se présente, on voit son point triple.
Ci-après, son ensemble d'auto-intersection : 
Vous avez donc vu, sous vos yeux, se replier le plan sur sa "droite de l'infini". D'où son nom : "plan projectif", assez bizarre, de prime abord. C'est peut-être la première fois qu'on montre aux gens l'infini d'aussi près.
Ces images avaient été composées il y a une bonne vingtaine d'années et ce site Internet, ou ce cd, offrent enfin une possibilité de les montrer. Le lecteur se demandera peut-être pourquoi elles n'ont pas paru dans "Pour la Science" ou "La Recherche". Ce n'est pas faute d'avoir envoyé des articles à ces revues, mais les rédactions n'ont trouvé le sujet intéressant.
J'espère qu'avec cette "boite à outils géométrique vous allez vous empresser d'inventer des tas de surfaces nouvelles. En voici une, imaginée par Madame Ivars. Prenez une sphère et enfoncez dans deux directions diamètralement opposées, deux segments de même longueur, jusqu'au contact, en imaginant que ceux-ci soient soudés sur deux tiges, comme ceci :
Quand les segments arrivent au contact, une "chirurgie s'opère". On a un croisement de nappes, le long du segment, et deux points coniques à chaque extrémité. Ci-après, cette surface, en coupe.
La même, en perspective :
Au rayon outillage pour fabriquer des surfaces, un "élément de plomberie":
Quand on fait pénétrer un fluide par un orifice, faisant office d'entrée, celui-lui ressort en circulant à* l'extérieur* du tuyau de sortie. Mais on peut utiliser la sortie comme entrée. L'effet est alors le même. L'objet est une sorte d'opérateur géométrique transformant extérieur en intérieur.
En refermant ce "raccord" sur lui-même et un obtient une bouteille de Klein :
Mais voici un autre montage :
Le même, en perspective :
La surface est alors bilatère. Laquelle est-ce ?
Par une homotopie régulière, une suite continue d'immersions, on la transforme en ceci :
Vous avez reconnu une boite, munie d'une poignée, mais qu'on ne peut ouvrir que de l'intérieur. On peut alors transformer l'objet. Il suffit de passer une corde par le trou, et de tirer vers soi :
Le résultat est :
C'est un tore.
A vous, maintenant, de vous débrouiller avec le montage ci-après :
fabriqué à l'aide de trois de ces "raccords".
Nous verrons, dans un autre papier, l'utilité de ces "raccords" dans le cas du retournement de la sphère.