Astrofizică și sisteme cu N corpuri

Proiectul Epistémotron 1

Noțiuni generale despre problema cu N corpuri. Câteva noțiuni de teoria cinetică a gazelor

Astrofizica este în principiu o știință care își propune să înțeleagă fenomenele care au loc în cosmos, la diferite scale. De exemplu, modul în care s-a format sistemul solar, care este în sine un lucru foarte interesant, care niciodată nu a fost făcut. Acesta va fi unul dintre obiectivele urmărite în cadrul proiectului Epistémotron, iar aceste lucrări vor concretiza teoria elaborată de matematicianul Jean-Marie Souriau.

La o scară mai mare, avem dinamica galactică, complet opacă până în prezent. Nu avem niciun model de galaxie. Nu știm cum se formează aceste obiecte, nici cum evoluează. Pe plan pur teoretic, aceste „sisteme cu N corpuri, auto-gravitaționale” se gestionează printr-un sistem de ecuații diferențiale (Vlasov plus Poisson). Până acum, aceste abordări (pe care „teoreticienii” actuali nici măcar nu le mai cunosc, de altfel) s-au lovit de pereți.

Soluția ni se pare că trece printr-o nouă viziune asupra cosmosului, gemelară. Citiitorul interesat va găsi o introducere în acest subiect într-un dosar prezent pe site-ul meu de mult timp. În mod concret, aceasta revine la a considera că universul are două componente:

- Particule cu energie pozitivă, ale noastre

- Particule cu energie negativă, gemelare.

Deoarece E = m c², particulele cu energie negativă se comportă ca și cum ar avea o masă negativă. Astfel, vom obține următorul model dinamic:

- Două mase pozitive se atrag conform legii lui Newton

- Două mase negative se atrag conform legii lui Newton

- Două mase de semne opuse se resping conform „anti-Newton”.

De ce nu observăm optic particulele cu energie negativă? Pentru că interacțiunea dintre două particule cu energii opuse, prin interacțiunea electromagnetică, este pur și simplu imposibilă. Acest lucru a fost arătat recent de un tânăr și strălucit cercetător: conform teoriei cuantice a câmpurilor, dacă aceste particule s-ar interacționa în acest mod, ar trebui să schimbe „particule virtuale” sau „portatori”, care sunt fotoni cu energie pozitivă și fotoni cu energie negativă. Luarea în considerare a tuturor interacțiunilor posibile prin integrala drumurilor Feynman duce în acest caz la un rezultat .. nul. Astfel, interacțiunea este pur și simplu imposibilă și particulele gemelare rămân pentru noi invizibile. Ele pot trece prin noi fără a interacționa altfel decât prin gravitație (sau mai degrabă antigravitație). Această idee este cheia tuturor problemelor majore actuale în astrofizică și cosmologie (efectul masei lipsă, curbele de rotație ale galaxiilor, formarea galaxiilor, originea structurii la scară mare a universului). Citiitorul va găsi o prezentare popularizată a acestor idei în lucrarea mea apărută în 1997:

Informații generale, referitoare în special la instabilitatea gravitațională, pot fi găsite în banda mea desenată „Mii de miliarde de Soare”, prezentă pe CD-Rom „Lanturlu1” în format pdf, imprimabil (se poate achiziționa cele 18 benzi desenate trimițând 16 euro către J.P. PETIT, la Jacques Legalland, Lou Garagai, 13770 Venelles).

Diferite mecanisme sunt în joc în cosmos în afara gravitației. Dar în tot ceea ce urmează ne vom concentra asupra acestui mecanism unic, neglijând schimburile radiative și producția de energie prin fuziune. Sistemele pe care le vom studia vor fi „sisteme cu N corpuri”, auto-gravitaționale, imersate în câmpul propriu de gravitație. Se vede că pentru a studia comportamentul unui astfel de sistem trebuie, pas cu pas, să studiem deplasarea fiecărei „masă-punct” (cu masă pozitivă sau negativă), efectuând suma vectorială a tuturor forțelor gravitaționale, de atracție sau respingere, provenite de la celelalte N-1 particule. Astfel, timpul de calcul va crește, în mod brut, proporțional cu N(N-1) sau N² dacă N este mare, ceea ce va fi întotdeauna cazul.

Într-un sistem planetar sau proto-planetar, numărul de obiecte este relativ mic și poate fi gestionat de un singur calculator „domestic”. Nu este cazul unei galaxii. A noastră este formată din 100-200 de miliarde de stele, considerate puncte-masă. Această masă de stele poate fi considerată un gaz, al cărui „molecule” sunt stelele însele, considerate puncte-masă simple. Pentru a ne apropia cât mai mult de „realitate”, trebuie să considerăm gestionarea unui număr cât mai mare de puncte-masă posibil. Aceste tehnici au fost puse în aplicare încă din finalul anilor 60. Din fericire, viteza calculatoarelor și puterea lor de calcul au crescut constant în timp. Am putut astfel face calcule la începutul anilor 90 pe un calculator mare care, la centrul german DAISY (accelerator de particule), gestiona datele experimentelor. În acea vreme, o astfel de mașină, considerată excepțional de puternică, putea gestiona 5000 de puncte-masă. Citiitorul va găsi în lucrarea de mai sus rezultatele esențiale obținute în acea experimentare numerică.

Se întâmplă că informatica a făcut progrese atât de mari în 12 ani încât aceste probleme pot fi acum tratate pe mașini „domestice” datorită creșterii considerabile a vitezei lor de calcul (ceas de 2 gigahertz) și a memoriei centrale. Citiitori precum Olivier le Roy au putut astfel redescoperi anumite aspecte esențiale, simple, precum mecanismul instabilității gravitaționale, programând propriile lor mașini în C++. Întrucât, din obosel, am abandonat complet astrofizica în 2001, aceste inițiative individuale m-au încurajat să încerc să relansez o cercetare bazată pe acțiunile ... pasionaților. Într-adevăr, de 12 ani, cum a remarcat academicianul și astrofizicianul Jean-Claude Pecker la finalul conferinței pe care am susținut-o pe 25 februarie la Colegiul Francez, este remarcabil și regretabil că echipe dotate cu mijloace adecvate nu au reluat această idee, continuând să „repara” în mod lamentabil cu „materie întunecată rece”.

Mă simt deci obligat să ofer tuturor acestor oameni „care vor să se implice” toate elementele necesare pentru a putea avansa în această direcție. Multe calcule sunt posibile cu un singur calculator și un număr de puncte sub 2000-5000. Aceasta limitează munca la simulări bidimensionale. Nu se poate, în 3D, considera un grup de câteva mii de puncte ca un „gaz”. Încolo de aceasta, se deschide un proiect fantastic: a face să colaboreze N calculatoare, punând în aplicare o tehnică de „calcul împărțit”. Este atunci un problemă delicat de dezvoltare, pur informatice.

Gestionarea unui sistem cu N corpuri.

Avem puncte-masă și condiții inițiale care se vor rezuma la șase numere în 3D (trei coordonate de poziție și trei componente ale vitezei) și la patru în două dimensiuni (două coordonate de poziție și două componente pentru viteza). Trebuie să ne situăm într-un spațiu de calcul și să gestionăm condițiile la limită (un calculator nu poate gestiona un spațiu ... infinit). Trebuie apoi să reglăm cel mai bine intervalul de calcul, pasul temporal Dt. Să începem cu o viziune foarte schematică. Imaginați-vă un spațiu de calcul 2D, infinit. Ce matematicienii numesc R2. În acest spațiu plasăm N puncte cu poziții și viteze inițiale. Luăm una dintre particule (marcată în negru) și calculăm rezultanta (Fx, Fy, Fz) a forțelor exercitate asupra ei de celelalte N-1 particule. Apoi vom calcula noua poziție și noua viteză a acestei particule folosind un dezvoltare Taylor.

Se pune imediat un problemă: cum să alegem intervalul de timp Dt? Raționamentul este simplu. Nu putem gestiona simultan deplasările celor N particule. Suntem obligați să „înghețăm” câmpul gravitațional în timpul acestui interval Dt. Facem un pas de calcul și trasăm traiectoriile particulelor în acest câmp „înghețat” folosind dezvoltarea Taylor de mai sus. Mișcarea lor va modifica în final distribuția locală a câmpului. Calculul va fi valabil dacă câmpul „nu este prea modificat”. Cu ochiul liber, distribuția maselor nu va „fi prea variată” în acest interval Dt. Să dăm o imagine 2D. Imaginați-vă că plasați bile de plumb pe un matraț de spumă. Acestea vor deforma suprafața. O acumulare de bile va crea, local, o „cavitate”. Avem o reprezentare materială a câmpului gravitațional sub forma unei suprafețe. Este și o bună imagine didactică pentru un sistem „auto-gravitațional”, deoarece bilele se deplasează pe o suprafață pe care o modelează ele însele.

Analogul calculului va consta în a crea o altă „hartă”, calculând deplasarea tuturor bilelor pe acest matraț de spumă considerat înghețat, rigid. Obținem o altă distribuție a bilelor, pe care o vom aplica apoi pe un alt matraț de spumă identic cu primul. Va apărea o nouă cavitate. Vom considera că pasul de calcul este acceptabil dacă, în ansamblu, suprafețele sunt asemănătoare.

Se va observa că am aplica același criteriu dacă am considera un grup de 5 stele formând un mic amas, legate între ele prin gravitație. La momentul t ele creează un câmp gravitațional g(r,t). Putem calcula deplasarea fiecăreia dintre ele într-un anumit timp și recalcula același câmp g'(r + Dt). Calculul va fi valabil dacă în acest interval de timp cele două câmpuri sunt „suficient de apropiate”.

Desigur, cu cât pasul va fi mai mic, cu atât va fi mai rapid calculul, dar cu atât va fi mai mare eroarea. În ceea ce urmează ne vom interesa de evoluția sistemelor unde N va fi mare și chiar cel mai mare posibil. Minim câteva mii de puncte-masă. Când va fi posibil să lucrăm în „calcul împărțit”: milioane de puncte-masă (ceea ce ne va deschide ușa unui 3D valabil). Se vede imediat ce este urmărit: a reuși să gestionăm acest ansamblu de puncte-masă ca un gaz de particule. Această idee ne pare intuitivă dacă vorbim despre o masă de gaz interstelar. Dar va fi valabil și pentru ansamblul stelelor care alcătuiesc o galaxie. A noastră conține între 100 și 200 de miliarde de stele. De zece ori mai mult pentru o galaxie eliptică. La scara percepției noastre apropiate, galaxia noastră ne pare foarte rară. Distanțele dintre stelele cele mai apropiate se situează în ani lumină. Dar este o distanță foarte mică la scara galaxiei în sine, care are un diametru de aproximativ 100.000 de ani lumină. 100 de ani lumină reprezintă o mie din diametrul unei galaxii. Într-un astfel de volum există un număr important de stele. La scara a 100 de ani lumină, o galaxie se prezintă ca o masă gazosă. În trecut, când dispuneam doar de instrumente matematice, încercam să descriem aceste obiecte cu funcții continue.

Evoluția naturală a unui sistem cu N corpuri.

Pentru moment avem un spațiu de calcul ... nelimitat. Să presupunem, pentru a fixa ideile, că suntem în 2D. Veți putea vizualiza starea sistemului pe ecranul dvs. Dacă doriți să aveți simultan informații despre poziție-viteză, ați putea reprezenta punctele-masă ca pete negre, asociindu-le cu un mic segment care reprezintă vectorul viteză. Deși tratați aceste obiecte ca mase punctiforme, nimic nu vă împiedică să decideți să faceți punctele mai mari sau mai mici, în funcție de mase. Pentru a fi mai aproape de realitate, ați putea decide să reprezentați mici confetti negri, a căror rază crește în funcție de rădăcina cubică a masei.

Ce se întâmplă cu un sistem de două corpuri? În principiu, este un sistem stabil. Cred că trebuie să creați propriile programe pentru a manipula singuri fenomenele, pentru a le avea sub ochi. Dacă luați două mase M și m foarte diferite, veți obține echivalentul unei planete care orbitează în jurul unei stele. Vă reamintesc că raportul dintre masa Soarelui (2 1030 kg) și masa Pământului (6 1024 kg) este de 333.333, trei sute de mii. Deoarece Jupiter este de 317 ori mai masiv decât Pământul, raportul dintre masa Soarelui și masa lui Jupiter este de ordinul 1000.

În această privință vă recomand să cumpărați Dicționarul de Astronomie, la Larousse, unde veți găsi o mulțime de valori pentru aproape orice.

Dacă porniți de la un sistem de două corpuri cu un „Soare” și un „Jupiter”, veți obține practic legile lui Kepler, dacă plasați steaua la o distanță suficient de mare (orbita lui Jupiter este aproape de 800.000.000 km). În astronomie raționăm în unități astronomice (UA). O UA este distanța medie Pământ-Soare, adică 150 de milioane de km. Raza orbitei joviene este deci de 5,2 UA.

În aceste condiții steaua va fi practic imobilă, în timp ce într-un sistem de două corpuri ele orbitează amândouă în jurul centrului lor comun de greutate. Printre exercițiile de făcut: schimbați raportul de mase, apropiați planeta de stea. Observați cum funcționează totul, având mereu în fundal alegerea unui pas de calcul „suficient de mic” pentru ca rezultatul să fie „semnificativ”. Există desigur programe gata făcute care vă oferă lucruri de acest gen, de mai multe decenii. Dar interesul este să creați lucruri „unde să poți pune mâna”. Apoi trecem la un sistem de trei corpuri și acolo comportamentul se schimbă radical. Aceste sisteme sunt instabile. Cu excepția cazului în care plasați două mini-planete pe o orbită în jurul unei stele, dacă masele sunt asemănătoare, obiectele se rotește și, devreme sau târziu, unul dintre membrii trilogiei este eșuat. Puteți reface acest lucru destul de ușor reglând parametrii. Puteți vizualiza traiectoriile și vectorii-viteză, realiza animații GIF. Este sigur că dacă cineva ar face asta, aș fi bucuros să ilustrez acest curs cu munca sa, citând-o. Aș putea programa totul singur. Din păcate, calculatoarele s-au schimbat mult față de timpul în care creați programe de proiectare asistată de calculator deja destul de rafinate. Dar în prezent, dacă nu te joci cu C++, nu ești decât un crabi vechi. Să vă spun sincer, am scris totul în BASIC compilat. Nu cunosc nici măcar Pascal! Ar trebui să mă pun la treabă. Dar în prezent avem două vase în construcție, două maște, destinate să fie teleghidate (dacă cineva vrea să participe activ, nu e nicio problemă...). Unul este un vas peruan de acum 5000 de ani, o specie de bărcă de tip Kon-Tiki cu „garas” cu derive, iar celălalt este o încercare de reprezentare a unui vas egiptean din Vechiul Imperiu (2300 î.Hr.). Deci, din lipsă de timp pentru a învăța Pascal, voi conta pe cititorii mei pentru a-mi oferi ilustrațiile cursului, eventual animate.

Sistemele cu mai mult de două corpuri sunt instabile. Doar dovada că este așa este că stelele pe care le vedem în cer sunt în jumătate stele celibatare, în jumătate (aproximativ) sisteme duble sau cu mai multe stele. Doar primele două sunt stabile. După cum se crede, stelele nu se nasc izolate, ci în amase. Paradoxal, această idee este destul de recentă. Îmi amintesc observația făcută de prietenul meu Pierre Guérin, decedat acum 15 sau