Matematică cosmologică și teoria poliedrelor

...Aceasta este un monoedru pe care l-am inventat într-o zi de ploaie. Dacă o priviți atent, este un poliedru care are o singură față și un singur latură. Dacă luați un punct de pe fața unică și îi faceți să urmeze un vector normal într-o rotație completă, acesta reapare după o rotație de 90°. Abia după al patrulea tur revine în poziția inițială.

...Am făcut desenul de mai sus „din stil”, imaginându-l în minte. Dar există acum programe care pot gestiona astfel de obiecte. Cei care au deja descărcat (gratuit) Cosmo Player sau vor face acest lucru vor putea admira lucrarea prietenului meu Christophe Tardy, despre acest monoedru. În așteptare, am reîmprospătat cu un cod de desenator muchia unică a obiectului, așa cum o extrăsese dintr-o imagine. La cunoștința mea, nu există un software care să folosească puncte pentru a reprezenta părți ascunse și să întrerupă linia. Dar am putea folosi, la fel de bine, o nuanță mai palidă.

...În orice caz, avem aici această singură muchie, fără niciun vârf.

...Curiozitate matematică? Poate. Știți poate, dacă ați aruncat o privire asupra lucrărilor mele științifice sau asupra introducerii lor popularizate, că dezvolt un model cosmologic „la două foi”, ideea inițială fiind a lui André Sakharov (1967). În mod accidental, aceste două „părți ale universului” au coordonate de timp opuse. Această problemă a timpului sau a „timpurilor” rămâne dificilă. Nu există nimic mai alunecos decât acest cuvânt. Ce înseamnă „săgeata timpului”? Putem vorbi despre „două săgeți ale timpului antiparalele”? (era aceasta viziunea inițială a lui Sakharov).

...În lucrarea publicată în revista Nuovo Cimento în 1994, am considerat, o idee sugerată inițial în 1988 de Linde, că aceste regiuni „gemene” ar putea fi de fapt „regiuni antipodale”. Astfel, aceste două universuri gemene (la diferență de Linde, cele două universuri pe care le consider eu interacționează, prin intermediul câmpului gravitațional, în timp ce ale sale se ignoră complet). Sunt deci „în același timp două și una”. Un matematician ar spune că această structură este un acoperire la două foi (sfera S2 este acoperirea la două foi a unei suprafețe Boy). În Nuovo Cimento consideram acoperirea la două foi a unui proiectiv P3 (echivalentul în 3D al unei suprafețe Boy), care pune în corespondență regiuni antipodale ale unei hipersfere S3. Dar am tot crezut că ar putea fi de fapt acoperirea unui proiectiv P4, punând în corespondență regiuni antipodale ale unei hipersfere S4. În aceste condiții, interacțiunea a două regiuni „adiacente” din acest cosmos, care este în același timp unic și dublu, pune în corespondență regiuni antipodale (pe această hipersferă S4) care nu doar că sunt enantiomorfe (în oglindă, P-simetrice), dar și T-simetrice, adică „cu săgeți ale timpului opuse”. Aici se regăsește ideea lui Andréi Sakharov.

...Monoedrul este o imagine (didactică) a unui cosmos la patru foi, un „cosmoedru”. Un cosmos care ar fi „în același timp unul și patru”. Patru regiuni astfel „adiacente” s-ar interacționa. Dar ce ar fi aceste regiuni? Unde ar trebui să le „citim” pe o astfel de figură? Secțiunea transversală a monoedrului (o simplă imagine didactică) este un pătrat simplu (deoarece este generat prin rotația acelui pătrat, vezi imaginile în realitate virtuală create de C. Tardy). Aceste patru laturi ale pătratului secțiune reprezintă patru regiuni ale universului care ar fi în conjugare. Putem vorbi, cel puțin local, despre „acoperire la patru foi”. Dacă asimilăm normala la suprafața monoedrului cu săgeata timpului, aceasta se rotește împreună cu pătratul generator. Astfel, cele patru porțiuni ale universului ar avea săgeți ale timpului „în cruce”, antiparalele două câte două:

...Putem descrie și altfel: există două perechi de universuri gemene, a căror săgeți ale timpului sunt antiparalele două câte două. Este într-un fel:

( Sakharov )²

...De ce o astfel de complicație? Ar fi o nouă recreație geometrică? Hmmmm... Voi vă spun ce am în minte. Când am construit modelul cu două universuri gemene, am arătat că al doilea cosmos poate găzdui o materie foarte asemănătoare cu a noastră, cu protoni-gemene, electroni-gemene, fotoni gemene etc. (chiar dacă folosim cuvântul „gemene”, propus de Sakharov, sau „fantom”, mai în mod popular în lumea supercoardelor). Am arătat și că inversarea timpului înseamnă de fapt inversarea masei, deci a energiei.

...Linde a fost un elev al lui Sakharov. Am discutat îndelung cu el în 1983, la Moscova, în camera de la hotelul National unde venise să mă întâlnească. În 1988 a menționat un cosmos dublu în care cele două materii ar avea energii opuse. Apoi, realizând problemele pe care le-ar putea crea faptul de a face să coexiste aceste două materii în aceeași regiune a spațiului-timp, a trimis „materia cealaltă”, cu energie negativă, la antipode. Dar, făcând asta, nu a observat că reînnoia ideea măiestrei sale, Sakharov (care propunea timpuri opuse), deoarece (J.M. Souriau 1972) inversarea timpului sau inversarea masei și a energiei este același lucru. ...Dacă aveți curajul sau competența să citiți lucrările de Fizică geometrică B, veți vedea că dualitatea materiei există și în cosmosul gemene. Nu doar că există o materie gemenă, dar există și, în acest al doilea versant al universului, o antimaterie gemenă.

...Totul poate fi extins la un context cu patru foi. Am obține atunci o materie imaginară și o materie imaginară gemenă (cu săgeți ale timpului imaginare pure, față de noi, antiparalele una față de cealaltă).

...Problema: cum ar interacționa această formă imaginară cu a noastră? Admit că în acest moment nu am nicio idee, dar voi găsi sigur ceva. Geometria este un lume bogată în noduri de toate felurile. ...Să ne oprim un moment la această idee. Ce este acest lume imaginară, față de a noastră? Este un meta-lume, etimologic vorbind. ...Echipamentul fizicianului teoretic și al cosmologului, care nu este altceva decât cel al unui bun geometru, permite să ne imaginăm (așa cum observase Linde în 1988) „lumi paralele” populate de particule care, fie ar putea fi identice cu ale noastre, fie ar fi imagini în oglindă (simetrie P), fie dubluri cu energie negativă (simetrie T), fie amândouă în același timp. La acest punct, de ce nu am face un pas liber și să considerăm particule cu parametri pur imaginari (masă, sarcină, săgeată a timpului etc.)? Acest lucru duce la ideea unui meta-lume care ar putea fi, de asemenea, format din particule, supuse unei fizici imaginare pure, destul de asemănătoare cu a noastră, pe care am putea-o numi atunci meta-fizică.

...Nu mai știu cine dintre filosofi a scris „metafizica este un mare ocean, iar pentru a-l traversa nu avem nici barcă, nici catarg”. Această frază este o condamnare fără apel? Gândiți-vă. Nu demult consideram, până când cineva nu a reușit să sintetizeze ureea (Wöhler în 1828), că „viu” era „în domeniul lui Dumnezeu sau al Doamnei Natură”, în funcție de opțiuni. Să recunoaștem că lucrurile s-au schimbat mult de atunci. ...Parafrazând, ar putea fi „Dumnezeu” sau „Doamna Natură” puse în ecuații, prinse prin geometrie, teoria grupurilor și teoria câmpurilor (sau prins într-un rețea tăiată cu supercoarde, în funcție de opțiuni)?

...Cred că nu are rost să ne interzicem a priori, dar să amestecăm curajul cu modestia. În ceea ce privește biologia, succesele considerabile ale ultimelor decenii ne dau iluzia că știm să facem multe lucruri, că „progrese considerabile au fost realizate” și că, în cele din urmă, curând vom ști totul despre fenomenul numit „Viață” (ceea ce este perspectiva acelui etern optimist, Joël de Rosnais). E adevărat: putem cartografi o moleculă de ADN, prinde un gen între degete, să-l luăm de aici și să-l punem acolo etc.

Impresionant.

...Dar, după cum spune Testard, „nu funcționează”. Genele transplantate pierd funcționalitatea lor inițială sau pur și simplu nu mai funcționează deloc. Desigur, aceasta este o chestiune pe care transplantatorii de gene nu o strigă pe toate acoperișurile. Dar Testard o spune, ceea ce îi deranjează foarte mult. Ingineria genetică permite să faci multă spumă, să obții subvenții pentru brevete. Nu fiind biolog, nu sunt prea la curent cu aceste lucruri. Citiți Testard (oameni probabili, Seuil). Concluzia ar fi că, într-o asemenea activitate de cartografiere, nu am progresat atât de mult cum speram. „ADN-ul”, spune Testard, este doar o bază de date. După părerea lui, această moleculă complexă nu conține „întreaga inteligență a celulei”. Această „inteligență” ar trebui căutată în însăși celulă, care ar fi „entitatea vie elementară reală”. Transplantatorii de gene ar fi ca niște oameni care, într-o casă, ar muta anumite elemente, ar pune mâner și lacături pe pereți, nu pe uși cu sârmă, și se miră că nu funcționează, ar conecta becuri la prize de apă, surprinși că nu se aprind.

Întrebare deschisă.

...Cu acest cosmos la patru foi, există metafizică în aer. Cel mai rău caz, va fi doar o încercare a unui geometru, o poveste pentru a ne distra între prieteni. Cel mai bun caz... nu știu.

...În orice caz, universurile gemene, ca acoperire la două foi, merită calificativul de „universuri paralele”. Dacă asimilăm săgețile timpului lor cu normala la o suprafață spațială și dacă aceste săgeți sunt antiparalele, atunci cele două spații sunt ca două straturi de vopsea așezate de ambele părți ale unei suprafețe 2D.

...În același spirit, celelalte două universuri, cu săgeți ale timpului imaginare pure, ar putea fi considerate „ortogonale față de al nostru”. Din această idee vine teorema care poate apărea într-o zi:

Două universuri perpendiculare pe un al treilea sunt paralele între ele.

Afișat pentru urmărire.