masse manquante astrophysique 1 Le problème de la masse manquante ** ** Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France (Il Nuovo Cimento B Vol. 109 Juillet 1994, pp. 697-710) ---
Résumé
...Une nouvelle équation de champ est proposée, associée à une topologie S3 × R1. Nous introduisons une application différentielle involutive A reliant tout point de l'espace s à la région antipodale A(s). Selon cette équation, la géométrie de la variété dépend à la fois du tenseur énergie-impulsion T et du tenseur antipodal A(T). En considérant un métrique indépendante du temps, des champs faibles et des vitesses faibles, nous dérivons l'équation de Poisson associée, qui fournit des structures en amas interagissant avec des structures antipodales en halo. La seconde structure aide à confiner la première. Il est suggéré que ce modèle pourrait expliquer l'effet de masse manquante et la structure à grande échelle de l'univers.
1) Introduction
...L'équilibre d'une galaxie est étudié à l'aide d'un certain ensemble d'équations non relativistes, telles que l'équation de Vlasov couplée à l'équation de Poisson, dérivée de l'équation de champ d'Einstein générale
(1) S = c T
avec une hypothèse d'état stationnaire dans laquelle nous considérons des champs faibles et des vitesses faibles. Il est bien connu que le champ gravitationnel dû à la masse visible de notre galaxie ne peut pas équilibrer les forces centrifuges et de pression. Certains supposent qu'une certaine masse invisible, la matière noire, pourrait contribuer au champ et équilibrer la force centrifuge. Dans la suite, nous allons proposer un autre modèle, fondé sur une nouvelle équation de champ.
2) Une nouvelle équation de champ
Nous supposons que l'univers a la topologie de S3 × R1.
Les coordonnées gaussiennes sont
(2) x = (x° , s)
où x° est un marqueur temporel et le vecteur s représente les marqueurs spatiaux. L'espace-temps est orienté. Il est possible de définir une application différentielle involutive reliant un point donné s à son point antipodal s*.
(3) s* = A ( s)
...Considérons deux champs tensoriels S et T, définis sur la variété. Supposons qu'ils soient liés par l'équation de champ suivante
(4) S = c ( T - A(T))
avec
(5) A(T) = T* = T(x°, s*)
...Nous supposons que la lumière suit les géodésiques de l'espace-temps. g est le tenseur métrique. R est le tenseur de Ricci, de sorte que
(6)
g* = g (x°, s*)
R* = R(x°, s*)
Nous pouvons écrire l'équation de champ sous la forme plus explicite
(7)
Écrivons les tenseurs T et T* comme suit (8)
(9)
avec
r* = r (x°, s*)
p* = p (x°, s*)
Si nous imposons la condition de divergence nulle, le fluide obéit aux équations de conservation suivantes
(10)
3) Conditions indépendantes du temps avec champs faibles et vitesses faibles. L'équation de Poisson.
Nous pouvons appliquer la méthode classique en prenant une métrique quasi-lorentzienne
(11) g = h + e g
où h est la métrique lorentzienne et e est un petit paramètre.
Dans la notation tridimensionnelle (12)
La loi de Newton s'applique sur tout l'espace. En outre, le potentiel gravitationnel est défini comme suit :
(13)
...Inversément, étant donné le potentiel gravitationnel Y, le mouvement d'une particule suivra une géodésique quadridimensionnelle si les termes goo du tenseur métrique ont la forme
(14)
nous obtenons
(15)
Par identification, nous obtenons l'équation de Poisson suivante
(16) ΔY = 4 p G ( r - r*)
Si nous considérons un système à symétrie sphérique
(17) où
(18) r* = r(s*)
D'après (17)
(19) Y* = - Y
Version originale (anglais)
masse manquante astrophysique 1 The missing mass problem ** ** Jean-Pierre Petit Observatory of Marseille,France (Il Nuovo Cimento B Vol. 109 July 1994, pp. 697-710) ---
Abstract
...A new field equation is proposed, associated to a S3** **x R1 topology. We introduce a differential involutive maping A which links any point of space s to the antipodal region A(s). According to this equation the geometry of the manifold depends both on the energy-momentum tensor T and on the antipodal tensor A(T). Considering time-independent metric with low fields and small velocities, we derive the associated Poisson equation, which provides cluster-like structures interacting with halo-like antipodal structures. The second structure helps the confinement of the first. It is suggested that this model could explain the missing mass effect and the large scale structure of the universe.
1) Introduction
...The equilibrium of a galaxy is studied through a certain set of non-relativistic equations, as for example, Vlasov equation coupled to Poisson equation, which comes from the general Einstein field equation
(1) S = c T
plus a steady-state hypothesis in which we take weak fields and small velocities. It is well known that the gravitational field due to the visible mass of our galaxy cannot balance the centrifugal and the pressure forces. Some people assume that some invisible mass, dark matter, may contribute to the field and balance the centrifugal force. In the following we are going to propose another model, based on a new field equation.
2) A new field equation
We assume that the universe has the topology of S3 x R1 .
The Gaussian coordinates are
(2) x = (x° , s)
where x° is a time-marker and the vector s represents the spatial markers. Space-time is oriented. It is possible to define a differential involutive maping linking a given point s to the antipodal point s* .
(3) s* = A ( s)
...Consider two tensor fields S and T, defined on the manifold. Suppose that they are linked in the following field equation
(4) S = c ( T - A(T))
with
(5) A(T) = T* = T(x°, s*)
...We assume that the light follows the geodesics of space-time.** g** is the metric tensor. R is the Ricci tensor, so that
(6)
g* = g (x°, s*)
R* = R(x°, s*)
We can write the field equation in the more explicit form
(7)
Let us write the tensors T and T* as (8)
(9)
with
r* = r (x°, s*)
p* = p (x°, s*)
If we take the zero-divergence condition, the fluid obeys the following conservation equations
(10)
3) Time independent conditions with weak fields and small velocities. The Poisson equation.
We can apply the classical method, taking a quasi-Lorentzian metric
(11) g = h + e g
where h is the Lorentzian metric and e is a small parameter.
In three-dimensional notations (12)
The newtonian law applies over all space. In addition the gravitational potential is defined as the following :
(13)
...Conversely, given the gravitational potential Y, the motion of a particle will be along a four-dimensional geodesic if the goo terms of the metric tensors has the form
(14)
we get
(15)
By identification we get the following Poisson equation
(16) DY = 4 p G ( r - r*)
If we consider a spherically symmetric system
(17) where
(18) r* = r(s*)
From (17)
(19) Y* = - Y