cosmologie des univers jumeaux Cosmologie des univers jumeaux (p 5)
5) À propos de la constance de G et de c.
...Considérons les deux grandeurs G (gravitation) et c (vitesse de la lumière). Elles interviennent dans la constante d'Einstein c. Cette dernière est classiquement déterminée comme suit :
La métrique s'exprime par :
(12)
où gmn(L) est le tenseur métrique de Lorentz et e gmn représente une perturbation très petite et indépendante du temps (tenseur métrique presque lorentzien). En outre, afin d'établir un lien étroit avec la théorie classique, on suppose que la vitesse d'une particule le long d'une géodésique est bien inférieure à c, c'est-à-dire :
(13)
On applique ensuite la même approximation à l'équation différentielle d'une géodésique :
(14)
On obtient alors :
(15)
Au-delà des conditions d'état stationnaire, on a l'habitude d'écrire :
(16) dx° = c dt
ce qui introduit à la fois la vitesse de la lumière c et le temps t. En outre :
(17)
L'équation géodésique devient :
(18)
Si l'on identifie au modèle newtonien, on peut relier le potentiel de perturbation gravitationnelle à la métrique par :
(19)
Si l'on considère un milieu de faible densité ρ₀ et de faible vitesse, le tenseur énergie-matière se réduit à :
(20)
dont la trace est ρ₀. Alors le second membre de l'équation de champ devient (21)
Toujours dans l'hypothèse d'état stationnaire, on obtient :
(22)
En identifiant à l'équation de Poisson, on détermine la constante inconnue c de l'équation de champ :
(23)
Si c n'est pas considéré comme une constante absolue, la divergence nulle de l'équation de champ (1) n'est plus assurée, selon l'hypothèse d = 0, ce qui fournit les équations de conservation de la physique. Mais soulignons que la constance de c ne nécessite pas séparément la constance de G et de c, puisque nous avons déduit (23) à partir d'une métrique indépendante du temps (12). Nous pouvons alors passer à la condition moins restrictive :
(24)
...Cette idée, proposée par l'auteur en 1988-89 dans les articles [12,13,14]. Mais, selon nos connaissances, l'idée d'une variation séculaire de la vitesse de la lumière avait été introduite plus tôt par V.S. Troistkii [11].
6) La métrique de Robertson-Walker.
...En supposant que l'Univers est isotrope et peut être décrit par une métrique riemannienne, on obtient la métrique classique de Robertson :
(25)
Si l'Univers est supposé homogène, alors T = A(T) et la solution cosmologique spatialement homogène découle de :
(26) S = c ( **T **- A(T)) = 0
Cette métrique doit être introduite dans l'équation (1), avec un second membre nul. On obtient alors le système suivant de deux équations :
(27)
(28)
À partir de (27) et (28), on obtient :
(29) k = -1 (courbure négative) et R = x°
x° est un « marqueur chronologique ». Notons qu'il n'existe qu'une seule solution (k = -1). Si l'on identifie classiquement x° à ct, c étant considéré comme une constante absolue, on obtient la solution triviale bien connue R = ct. En procédant ainsi, on définit de façon quelque peu arbitraire le temps cosmique t. Mais il peut être défini différemment, de manière non standard, comme cela sera montré dans la suite.
Version originale (anglais)
twin universe cosmology Twin Universes cosmology (p 5)
5) About the constancy of G and c.
...Consider the two quantities G (gravitation) and c (velocity of the light). They are involved in the constant of Einstein c. This last is classically determined as the following :
The metric is expressed as :
(12)
where gmn(L) is the Lorentz metric tensor and e gmn represents a very small time-independant perturbation (nearly Lorentzian metric tensor). Furthermore, in order to make a close connexion with classical theory, one supposes that the velocity of a particle along a geodesic is much less than c, i.e :
(13)
One next applies the same approximation to the differential equation of a geodesic :
(14)
And then we get
(15)
Beyond the steady state conditions, one uses to write :
(16) dx° = c dt
which introduces both the light velocity c and the time t. In addition :
(17)
The geodesic equation becomes :
(18)
If we identify to the Newtonian model, we can relate the gravitational pertubation potential to the metric through :
(19)
If we consider a medium with low density ro and low velocity, the matter energy tensor reduces to :
(20)
whose trace is ro . Then the second member of the field equation becomes (21)
Still in steady hypothesis condition, we get :
(22)
Identifying with Poisson equation, we determine the unknown constant c of the field equation :
(23)
If c is not considered as an absolute constant, the zero-divergence of the field equation (1) is no longer ensured, according to the hypothesis d = 0 , which provides conservations equations of physics. But let us point out that the constancy of c does not require separatly the constancy of G and c, for we determined (23) from a time-independent metric (12). Then we can shift towards the less restrictive condition :
(24)
...This idea which was suggested by the author in 1988-89 in the papers [12,13,14]. But, as far as we know, the idea of a secular variation of the light velocity, was introduced earlier by V.S.Troistkii [11].
6) The Roberston-Walker metric.
...Assuming that the Universe is isotropic and can be described by a Riemanian metric we get the classical Robertson metric :
(25)
If the Universe is assumed to be homogeneous, then T = A(T) and the spatially homogeneous cosmological solution comes from :
(26) S = c ( **T **- A(T)) = 0
This metric must be introduced in the equation (1), with a zero second member. Then we get the following set of two equations :
(27)
(28)
From (27) and (28) we get
(29) k = - 1 (negative curvature) and R = x°
x° is a "chronological marker". Notice that one have a single solution (k = -1). If we identify, classically, x° to ct, c being considered as an absolute constant, we get the well-known trivial solution R = ct. Doing that, we define somewhat arbitrarly the cosmic time t. But it can be defined differently, in a non-standard way, as will be shown in the following.