a4102
| 2 |
|---|
3 - Troisième axiome de la théorie des groupes :
Tout élément du groupe doit posséder son inverse, noté g⁻¹, défini par :
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Dans notre exemple :
(16)
c’est-à-dire : b = - a ou :
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Ici, le calcul de la matrice inverse est trivial.
Quelle est la condition pour qu'une matrice carrée donnée possède son inverse ?
... À toute matrice carrée, on peut associer un scalaire appelé déterminant. Pour la définition, voir un ouvrage consacré au calcul linéaire. Ce déterminant est noté : det ( g )
En outre, nous avons un théorème général :
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
Le déterminant d'une matrice diagonale est :
(18)
Par conséquent : det ( 1 ) = 1
car 1 est une matrice diagonale.
D'après la définition de l'inverse d'une matrice :
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Alors :
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Si det (g) = 0, la condition (19) ne peut pas être satisfaite. Les ensembles de matrices dont les éléments particuliers ont un déterminant nul ne satisfont pas le troisième axiome, et ne peuvent pas former un groupe.
Par ailleurs :
(20)
4 - Quatrième axiome de la théorie des groupes :
La multiplication doit être associative, c’est-à-dire :
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
La multiplication matricielle est fondamentalement associative.
Dimension d’un groupe :
...Comme nous le verrons, un groupe peut agir sur un espace dont les points sont décrits par des vecteurs colonnes. Par exemple, les points de l’espace-temps (appelés "événements") :
(22)
...Ceci est un espace à quatre dimensions. Différents groupes peuvent agir dessus. Mais la dimension d’un groupe n’a rien à voir avec la dimension de l’espace sur lequel il agit.
La dimension d’un groupe (de matrices) est le nombre de paramètres qui définissent ces matrices carrées.
Nous avons donné un exemple de matrices définies par un seul paramètre
a
Ainsi, la dimension de ce groupe est un.
Remarquez que :
(22-bis)
Remarque :
Tous les groupes de matrices ne sont pas commutatifs, bien que le groupe que nous avons étudié possède cette propriété :
(23)
Si un tel groupe agit sur un vecteur colonne correspondant à un espace à deux dimensions :
(23 bis)
cela correspond à une rotation autour d’un point fixe, dans un plan :
(23 ter)
Cette opération est évidemment commutative.
Vous avez tendance à dire : « comme tous les groupes de rotations ».
...Vous vous trompez. Considérez les rotations autour d’axes passant par un point donné O. Combine deux rotations successives, autour d’axes différents. Cela n’est pas commutatif. Exercice : montrez-le en utilisant un système d’axes orthogonaux (OX, OY, OZ), en montrant que les rotations combinées autour de ces axes ne forment pas une opération commutative. Prenez un objet quelconque.
- Faites une rotation de +90° autour de OX, puis une rotation de +90° autour de OZ
- Revenez aux conditions initiales et :
- Faites une rotation de +90° autour de OZ, puis une rotation de +90° autour de OX
Comparez les résultats.
Action d’un groupe.
...Un groupe G est composé de matrices carrées g. Elles peuvent être multipliées. Nous dirons qu’un groupe peut agir sur lui-même.
Le groupe peut aussi agir sur un espace constitué de points décrits par des vecteurs colonnes. Exemple :
(24)
Si nous notons :
(25)
l’action du groupe sur cet espace devient :
(26) g × r
...Dans ce cas particulier, l’action sur l’espace se réduit à la simple multiplication matricielle. Mais le concept d’action est bien plus général.
Version originale (anglais)
a4102
| 2 |
|---|
3 - Third axiom of groups' theory :
Any element of the group must own its inverse , written g-1 , defined by :
(15) g x **** g-1 = g-1 x **** g = 1
In our example :
(16)
i.e : b = - a or :
(17) g-1 ( a ) = **g **( - a )
Here the calculation of the inverse matrix is trivial.
What is the condition for a given square matrix to own its inverse ?
...To any square matrix we can associate a scalar called *determinant *. For definition see any book devoted to linear calculus . This determinant is codified : det ( g )
In addition we have a general theorem :
det (g1 x **** **g2) = det (g1 ) ** x **** det (g1 )
The determinant of a *diagonal matrix *is :
(18)
As a consequence : det ( **1 **) = 1
for 1 is a diagonal matrix.
From the definition of the inverse of a matrix :
g x g-1 = g-1 x **** g = 1
Then :
(19)
det ( g x **** g-1 ) = det (g) x **** det (g-1 ) = 1
...If det (g) = 0 the condition (19) cannot be satisfied. Sets of matrixes whose peculiar elements own null determinant don't satisfy the third axiom, and cannot form a group.
By the way :
(20)
4 - Fourth axiom **of groups'theory **:
The multiplication must be associative, i. e : .
(21)
( g1 x ****g2 ) x **** g3 =g1 x **** ( g2 x **** g3 )
Matrix multiplication is basically associative.
Dimension of a group :
...As we will see, a group may act on a space whose points are described by column-vectors. For an example space-time points (called "events") :
(22)
...This is a four dimensions space. Different groups may act on it. But the dimension of a group has nothing to do with the dimension of the space it acts on.
The dimension of a group (of matrixes) is the number of parameters which define these square matrix.
We have given an example of matrixes, defined by a single parameter
a
So that the dimension of this group is one.
Notice that :
(22-bis)
Remark :
All groups of matrixes are not *commutative *, although the group we studied owns this property :
(23)
If such group acts on a column vector, corresponding to a 2d space :
(23 bis)
it corresponds to rotation around a fixed point, in a plane :
(23 ter)
This operation is obviously commutative.
You will tend to say : "like all rotations groups".
...You're wrong. Consider the rotations around axis passing by a given point O. Combine two successive rotations, around different axis. This is not commutative. Exercise : show that, using orthogonal axis system (OX, OY, OZ), combined rotations around these axis is not a commutative operation.. Take any object.
- Make a rotation +90° around OX, then a rotation +90° around OZ
Return to initial conditions and :
- Make a rotation +90° around OZ, then a rotation +90° around OX
Compare the results.
Group's action.
...A group G is composed by square matrixes g . They can be multiplied. We will say that a group may act on itself .
The group may also act on a space, made of points, described by column vectors. Example :
(24)
If we write :
(25)
the action of the group on this space becomes :
(26) **g ** x **** r
...In this peculiar case the action on space identifies to the simple matrix multiplication. But the concept of an action is much more general.