grupuri și acțiune coadjointă a impulsului în fizică
| 6 |
|---|
Nu vom scrie componentele impulsului grupului Bargmann. În mod schematic, vom scrie impulsul grupului Bargmann astfel:
JB = { un scalar m, plus celelalte componente ale impulsului }
Acțiunea coadjointă indică cum se transformă diferitele componente ale impulsului. Dar această acțiune coadjointă începe cu relația simplă:
(63) m' = m
Acțiunea coadjointă a grupului Bargmann asupra impulsului său începe prin conservarea masei, care astfel apare cu un statut pur geometric.
**Construcția acțiunii coadjointe a grupului Poincaré asupra spațiului său de impulsi **Jp.
Dacă vă simțiți deja complet pierduți, lăsați deoparte. Este normal și va deveni din ce în ce mai dificil pe măsură ce pagina se întinde. Nu mai știu prea bine, în acest stadiu, la cine se adresează ceea ce urmează. Probabil la fizicieni teoreticieni sau la matematicieni, dar cu siguranță nu la instalatori. Dar un student de școală superioară sau de licență în fizică, care va rezista, poate urmări. Nu sunt decât matrici.
Totul pornește de la un grup de matrici de dimensiune (4,4) care formează grupul Lorentz, al cărui element este L.
Acestea se definesc axiomatic pornind de la o matrice G:
(64)
după cum urmează:
(65) tL G L = G
în care apare transpusa matricei L.
Matricile L formează un grup.
Demonstrație.
Elementul neutru este L = 1:
Fie L1 și L2 două elemente din mulțime. Verificăm dacă produsul L1L2 aparține grupului. Dacă este adevărat:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Dar:
t( A B ) = t B t A
Deci:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Calculăm apoi inversa matricei L. Plecăm de la definiția axiomatică a elementelor L:
tL G L = G
Înmulțim la dreapta cu L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Înmulțim la stânga cu G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Deci inversa matricei L este:
L-1 = G tL G
Astfel:
(66)
vectorul spațiu-timp. Matricea G provine din metrica Minkowski, care poate fi scrisă atunci (cu c = 1):
(67)
Exercițiu: arătați că inversa matricei respectă:
(68)
Introducem apoi un vector de translație spațio-temporală:
(69)
Din care construim elementul gp al grupului Poincaré:
(70)
Exercițiu: arătați că acesta formează un grup și calculați inversa matricei:
(71)
Mai jos se află „vectorul tangent la grup, element al „Algebrei Lie”:
(72)
Pornind de aici, vom calcula acțiunea inversă:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Pentru ușurința calculului, observăm că:
(74) G d L
este o matrice antisimetrică. O vom numi:
(75)
deci:
(76)
Notăm:
(77)
Pornind de la aceste elemente, vom construi acțiunea inversă:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
După efectuarea tuturor calculelor, vom obține aplicația:
(79)
Dacă doriți să săriți această parte de calcul matricial simplu, treceti direct la ecuația (80), de josul paginii.
(79a)
(79b)
din care rezultă componentele acțiunii inverse:
(79c)
dar:
(79d)
deci:
(79e)
dar GG = 1, deci:
(79f)
din care deducem aplicația:
(79g)
Aceasta constituie acțiunea inversă căutată, aplicația:
(80)
