grupuri și acțiune coadjointă a momentului în fizică
| 8 |
|---|
(91)
Această acțiune coadjointă poate fi scrisă sub formă matricială.
Matricea grupului Poincaré este:
(92)
transpusa sa este:
(93)
Considerăm matricea:
(94)
adică vom pune momentul
(95) Jp = { M , P }
sub formă matricială și formăm produsul:
(96)
(97)
(98)
pe care o pot identifica cu matricea:
(99)
Astfel, Jp este momentul grupului Poincaré, scris sub formă matricială. Acțiunea coadjointă se scrie atunci:
(100)
Ca exercițiu, cititorul poate verifica, bazându-se pe axiome, că aceasta este într-adevăr o acțiune.
Momentul grupului Poincaré poate fi explicitat astfel:
(101)
Această matrice este antisimetrică (ceea ce implică faptul că diagonala principală este formată exclusiv din zerouri). Matricea M este:
(102)
Explicăm-o:
(103)
Este într-adevăr o matrice antisimetrică, ipoteza inițială, care depinde de șase parametri:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Cele trei ultime ( fx , fy , fz ) sunt componentele unui vector, vectorul-deplasare f:
(105)
Cele trei prime ( lx , ly , lz ) sunt componentele independente ale unei matrici antisimetrice (3,3), rotirea l:
(106)
Astfel:
(107)
Vectorul P este quadri-vectorul impuls-energie:
(108)
Se poate atunci explicita momentul grupului Poincaré, în toată generalitatea sa:
(109)
Se verifică că este într-adevăr un obiect cu zece componente (număr egal cu cel al dimensiunilor grupului).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}