grupuri și acțiunea coadjointă a impulsului în fizică

grupuri și acțiune coadjointă a momentului în fizică

Particule cu spin.

Grupul Poincaré descrie mișcarea relativistă a unui obiect punctiform. Similar, grupul Bargmann, ale cărui expresii vor fi date mai departe, descrie mișcarea ne-relativistă a unui obiect punctiform, numit în acest caz „masă punctiformă”.

Astfel, această tehnică, calculul acțiunii coadjointe a grupului asupra spațiului momentului, a permis apariția unor elemente ascunse, a unor caracteristici ale obiectului: componentele momentului.

Ceea ce este remarcabil este că această abordare, datorată lui Souriau, face să apară obiectele esențiale ale fizicianului în calitate de obiecte pur geometrice. Astfel, el a realizat un lucru fără precedent de geometrizare a fizicii.

În afară de energie și impuls, alte componente, „rotația” și „trecerea”, dezamăgesc destul de mult fizicianul. Ce înseamnă asta?

Expresia componentelor momentului depinde evident de sistemul de coordonate ales.

Cel mai simplu ar fi să revenim rapid la cazul ne-relativist, adică la expresia acțiunii coadjointe, așa cum ar fi rezultat din analiza grupului Bargmann.

(111)

Formulă misterioasă. La ce folosește? Cum funcționează?

În acest cadru, fizicianul va recunoaște câteva obiecte familiare:

(112)

nu sunt decât două expresii ale vectorului viteză { vx , vy , vz }, prima sub formă de matrice coloană, a doua sub formă de matrice linie. Produsul celor două matrici este un scalar:

(113)

ceva care începe să semene cu o energie cinetică.

m v este un impuls.

Fizicianul tradițional, în ceea ce privește dinamica unei particule materiale, cunoaște doar trei lucruri:

• Masa m
• Impulsul m v
• Energia cinetică 1/2 mv²

Da, dar viteza față de ce?

Un grup este, de asemenea, un privire asupra lucrurilor. Putem considera fie că transportăm, cu ajutorul grupului, obiecte (așa cum am văzut cu grupul euclidian), față de un observator presupus fix, fie, dacă obiectul este fix, că îl observăm diferit.

Dacă alegem această mutare, acest transport al obiectelor, în cazul grupurilor dinamice, cele din fizică (în contrast cu grupul euclidian, unde timpul nu apare), trebuie să spunem că animăm și obiectele, conferindu-le viteză v și energie E.

Dacă adoptăm punctul de vedere invers: considerăm că obiectul este fix și ne gândim să ne deplasăm, ce sens trebuie să dăm grupurilor?

Grupul euclidian ar însemna atunci: „Văzut din altă parte și dintr-un alt unghi”.

„Altă parte” este vectorul de translație:

(114)

„Văzut dintr-un alt unghi” este matricea de rotație a, o rotație în spațiu (pe care am putea-o explicita cu unghiurile Euler, lucru pe care nu-l vom face).

În cazul grupurilor dinamice, această privire, acest punct de vedere asupra „lucrurilor” trebuie îmbogățit. Rămânând în contextul grupului Bargmann, introducerea acestei viteze v înseamnă că, în plus, observatorul care observă această masă punctiformă din altă parte (vectorul de translație c), dintr-un alt unghi (matricea de rotație a), este, de asemenea, animat, față de această masă punctiformă presupusă fixă, cu o viteză v.

Și, pentru a fi complet, pentru a complica mai mult, nu evoluează în același timp cu particula, cu masa punctiformă observată. Este decalat față de ea cu un interval de timp Dt. Altfel spus: o observă din altă parte, dar este o altă parte spațio-temporală, corespunzătoare vectorului de translație spațio-temporală:

(115)

Având un astfel de „distanțare” față de această masă punctiformă, ce constat? În primul rând că: m' = m

Aceasta nu afectează masa sa.
Mă pot simplifica viața anulând rotația. E deja destul de complicat să observ o masă punctiformă din altă parte, văzută dintr-un alt moment, decalată, așezată pe un skateboard care se mișcă cu viteza v. Mai e absolut necesar să mă întorc la cap?

Nu. Să luăm a = 1.

Dar în general se omit aceste detalii în calcule. Acțiunea coadjointă, astfel particularizată, devine:
(117)

A considera trebuie înțeles aici în sensul său etimologic. Ce fac când consider o situație, cerul, un câmp de luptă, filmul luat de un avion-espion?

Un judecător de pace va scrie:

• Considerând starea locului.....

Viziune statică, corespunzătoare grupului euclidian. Judecătorul observă obiectele la o distanță c, în același moment (Dt = 0), în mod normal imobil ( v = 0). În cazuri particulare, sub un unghi anume, „sub un anumit unghi”.

Un general, plimbându-se într-un avion de recunoaștere, este o fel de judecător de pace care se deplasează (v # 0).

Dar un șef de Stat-Major care urmărește filmul luat de un avion-espion, un „drone”, se confruntă cu o situație decalată în timp. Trebuie să își spună:

• Considerăm ținta, văzută dintr-un anumit punct, în viraj înclinat, cu o anumită viteză, și, mai ales, așa cum se prezenta cu două ore mai devreme...

Ținta nu are o viteză proprie specială. Nu poate fi considerată fixă, chiar dacă este „o instalație fixă”. Chiar Pământul se mișcă, și Soarele, și galaxia, etc.