a702 L'œuvre de J.M. Souriau sur le système solaire. ** **
...Ce travail a été présenté par J.M. Souriau en 1989, lors d'une réunion scientifique consacrée à la gravitation, tenue à Gênes, en Suisse. Le titre de l'article était : Phénomènes résonnants et non résonnants dans le système solaire
...Souriau part de l'analyse des périodes orbitales des différents planètes. La Terre tourne autour du Soleil en 365 jours. La durée de l'année vénusienne est de 225 jours. À partir de ces deux nombres, Souriau construit une suite de Fibonacci (où chaque terme est la somme des deux précédents). Nous savons que le rapport de termes successifs tend vers le nombre d'or. Il compare ces valeurs aux périodes orbitales. ** **
30 Soleil (29 jours) 55 rien 85 Mercure (88 jours) 140 rien 225 Vénus 365 Terre. 590 (1 an et 7 mois) : Mars (1 an et 10 mois) 955 rien 1545 (4 ans et 3 mois) : Cérès-Pallas (ceinture d'astéroïdes) 2500 rien 4045 (11 ans) : Jupiter (11 ans et 10 mois) 6545 rien 10590 (29 ans) : Saturne (29 ans et 5 mois) 17135 rien 27725 (76 ans) Uranus (84 ans) 44860 rien 72585 (199 ans) Neptune (165 ans), Pluton (248 ans)
...Ensuite, il étudie les résonances dans les couples de planètes. Les mathématiciens (Liouville, Hurwitz, Borel) ont établi un test mathématique, une « mesure du degré d'irrationalité d'un nombre donné », indiquant « à quelle distance » il se trouve d'une fraction rationnelle, du rapport de deux entiers. (a701)
Borel introduit le nombre : q ( x , q) = (dénominateur)² * | x - q |
q(x) est la borne inférieure, lorsque q prend des valeurs rationnelles.
q tend vers zéro si x est proche d'un nombre rationnel. On obtient une courbe montrant la mesure d'irrationalité q(x) d'un nombre donné x. Parmi toutes les valeurs possibles, deux nombres sont les plus irrationnels : le nombre d'or : (a702)
- et son carré : w² = 1 - w = 0,3820...
comme on peut le voir sur le diagramme suivant. (a703)
Fig.1 : Diagramme q(x) montrant ses deux pics caractéristiques correspondant au nombre d'or et à son carré.
Cette fonction q(x), qui n'a rien à voir avec aucun élément observé, est un objet purement mathématique. Les lacunes visibles correspondent aux fractions rationnelles (q = 0).
Ensuite : les périodes orbitales, l'unité étant l'année terrestre.
Mercure : 0,2408425
Vénus : 0,6151866
Terre : 1,0000000
Mars : 1,8808155
Cérès-Pallas : 4,604
Jupiter : 11,86178
Saturne : 29,45665
Uranus : 84,0189
Neptune : 164,765
Pluton : 247,68
Calculer le rapport des périodes orbitales de Neptune et de Pluton. (a704)
...Si l'on calcule le rapport de deux périodes consécutives, on constate que ces rapports se situent entre 1/3 et 2/3. Cinq rapports se situent entre 0,35 et 0,40. Le couple Neptune-Pluton est donc résonnant.
Souriau applique le test évoqué ci-dessus aux couples de planètes.
Neptune-Pluton : x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptune : x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Uranus-Pluton : x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Vénus-Mars : x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturne : x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...On voit que deux planètes éloignées, Neptune et Pluton, possèdent une résonance exceptionnellement forte. Souriau décide de négliger ce couple particulier dans l'analyse suivante, basée sur une analyse de Fourier des périodes Pj : (a705)
Sur la figure suivante, |F(a)|⁴ est tracée. (a706)
Figure 2 : Fonction F(a)
...Souriau trouve deux pics significatifs pour les valeurs 0,615 et 0,380, correspondant très bien à la courbe q(x) de la figure 1. Voir la figure 3. : (a707)
Figure 3.
...Il en conclut que, dans son ensemble, le système solaire est un système non résonnant, ou faiblement résonnant. Il effectue une transformation de Fourier inverse (réciproque) afin de construire les valeurs probables des périodes orbitales. La transformation de Fourier réciproque (a708)
peut être construite à partir de lignes sélectionnées ak. Il sélectionne les deux lignes particulières : a₁ = w a₂ = w²
Il obtient alors les résultats suivants. Les valeurs réelles des périodes orbitales sont indiquées. (a709)
Figure 4 : Période probable P pour les planètes, basée sur un spectre limité aux deux lignes particulières w et w²
Version originale (anglais)
a702 The J.M.Souriau's work about the solar system. ** **
...This work was presented by J.M.Souriau in 1989, in a scientific meeting devoted to gravitation, held in Genova, Swizerland. The title of the paper was : Resonant and non-resonant phenomena in solar system
...Souriau starts from the analysis of the orbital periods of the different planets. The Earth turns around the Sun in 365 days. The duration of the Venusian year is 225 days. From these two numbers Souriau builds a Fibonacci series (where any term in the sum of the two precedent ). We know that the ratio of successive terms tends to the golden number. He compares the values to the orbitation periods. ** **
30 Sun (29 days) 55 nothing 85 Mercury (88 days) 140 nothing 225 Venus 365 Earth. 590 (1 year and 7 months): Mars (1 year and 10 monthes) 955 nothing 1545 (4 year and 3 months): Ceres-Pallas ( belt of asteroids) 2500 nothing 4045 (11 years): Jupiter (11 years and 10 months) 6545 nothing 10590 (29 years): Saturn ( 29 years and 5 months) 17135 nothing 27725 (76 years) Uranus (84 years) 44860 nothing 72585 (199 years) Neptun (165 years), Pluto (248 years)
...Then he studies resonances in couples of planets. Mathematicians (Liouville, Hurwitz, Borel) have build a mathematical test, a "measure of the level of irrationality of a given number", how "far" it departs from a rational fraction, from the ratio of to integers. (a701)
Borel introduces the number : q ( x , q) = (denominator)2 * I x - q I
q(x) if the lower limit, when q takes rational values.
q tends to be zero if x is close to a rational number. We get a curve showing the measure of irrationality q(x) of a given number x. Among all possible values, two numbers are the most irrational ones - The he golden number : (a702)
- and its square : w2 = 1 - w = 0,3820...
as can be seen on the following diagram . (a703)
Fig.1 : Diagram q (x) showing its two characteristic peaks corresponding to the golden number and to its square.
This function q(x), which has nothing to do with any observational material, is a pure mathematical object. The visible gaps corresponds to rational fractions ( q = 0 ).
Next : the orbitation times, where the unit is the Earth's year.
Mercury : 0,2408425
Venus : 0,6151866
Earth : 1,0000000
Mars : 1,8808155
Ceres-Pallas : 4,604
Jupiter : 11,86178
Saturn : 29,45665
Uranus : 84,0189
**Neptun **: 164,765
**Pluto **: 247,68
Compute the ratio of the orbitation periods of Neptun and Pluto. (a704)
...If one calculates the ratio of two successive periods, one sees that these ratios lie between 1/3 and 2/3. Five ratios lie between 0.35 and 0.40. The couple Neptun-Pluto is a resonant one.
Souriau applies the test evoked above to couples of planets.
Neptun-Pluto : x = 2/3 x 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptun : x = 1/2 x 1,0199 q = 0,04
Uranus Pluto : x = 1/3 x 1,0176 q = 0,05
Venus-Mars : x = 1/3 x 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturn : x = 2/5 x 1,0067 q = 0,07
...We see that two distant planets, Neptun and Pluto, own exceptionally strong resonance. Souriau decides to neglect this peculiar couple of planets, in the following analysis, based of Fourier analysis of the periods Pj: (a705)
On next figure IF(a)I4 is plotted. (a706)
Figure 2 : Function F(a)
...Souriau finds two significant peaks for values 0,615 and 0,380 , fitting very well with q(x) curve of figure 1. See figure 3. : (a707)
Figure 3.
...He concludes that, as a whole, the solar system is a non-resonant, or a weakly resonant system. He makes an inverse Fourier transform (reciprocal) in order to build the probable values of the orbital periods. The reciprocal Fourier transform (a708)
can be built from selected lines ak. He selects the two peculiar lines : a1 = w a2 = w2
Then he gets the following results. The true values of the orbital periods are indicated. (a709)
**Figure 4 : Probable period P for planets, based on a spectrum limited to the two peculiar lines **w and w2