Matematică geometrie suprafață topologie

Cum transformăm o suprafață Cross Cap

într-o suprafață Boy (stânga sau dreapta, la alegere)

trecând prin suprafața română a lui Steiner.

Italiană: Andrea Sambusetti, universitatea din Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 septembrie - 25 octombrie 2003

Pagina 2

Iată o „suprafață Cross Cap” (așa cum ați putea să o descoperiți în imaginile de realitate virtuală). Aceasta prezintă două puncte cuspidale care sunt vârfuri ale unei linii de auto-intersecție. O puteți construi apăsând un balon cu cleme pentru șervețele. Dar puteți construi și reprezentări poliedrice. Aceasta de mai jos ne va interesa în mod deosebit.

În tabelul 4 se află ceva foarte greu de învățat. Mi se pare imposibil ca cineva să înțeleagă bine aceste obiecte doar privind figurile. Construiți modele. În termeni simpli, tragem punctul cuspidal C2 către „interiorul suprafeței” (ceea ce, între paranteze, nu are niciun sens, deoarece, cu siguranță, ați observat imediat că suprafața Cross Cap este unilaterală: nu are o față exterioară și una interioară). În continuare, suprafața „se autotăie”, iar mulțimea de auto-intersecție se completează, rotunjind puțin, printr-o curbă în formă de 8. În mod incidental, s-a creat un punct triplu T.

Suprafața devine mai ușor de înțeles în forma ei poliedrică și, mai jos, am mărit anumite elemente pentru a arăta ce ne determină să transformăm acest obiect în suprafața română a lui Steiner (vezi simularea de realitate virtuală), ale cărei forme poliedrice cele mai simple constau în asamblarea a patru cuburi (aici se văd doar trei).

Tabelul 5: variantă poliedrică la stânga, rotundă la dreapta. Săgeata trece prin punctul pe care îl vom „strânge”. Mai jos, începutul operației de strângere.

Tabelul 6: strângerea este efectuată și creează un punct singular B. De fapt, deoarece o strângem din ambele părți (pentru a economisi timp), se formează două puncte singulare S1 și S1, apoi două puncte cuspidale. În acest punct, fără carton, foarfeci și bandă adezivă, sunteți într-o situație dificilă.

Tabelul 7: aici am doar mutat diferitele puncte cuspidale. Dacă punctul C2 este „evident”, probabil veți avea mai multe dificultăți în identificarea punctelor C3 și C4 ca fiind cuspidale. Cu toate acestea, ele sunt acolo, la capetele unei linii de auto-intersecție. Deasupra punctului C3 se află pur și simplu ceea ce am numit un „posicon”, adică un punct în care se concentrează curbură pozitivă (un punct în care se concentrează curbură negativă îl numesc „negacon”). Deformând puțin acest obiect, ajungem la forma poliedrică a suprafeței române a lui Steiner (inventată de Steiner în Roma; vezi ilustrarea în realitate virtuală).

Deci, jocul este făcut. Există diverse tipuri de suprafețe, în funcție de regulile pe care le impunem. Suprafețele care nu se auto-intersectează se numesc „încorporări” (ale sferei sau torului în R3). Când, în schimb, se auto-intersectează dar planul tangent variază în mod continuu fără a deveni degenerat, se numesc imergențe. De exemplu: sticla Klein, în reprezentarea sa clasică. În R3 nu există o reprezentare a sticlei Klein sub forma unei încorporări: se auto-intersectează neapărat. Imersiunile au mulțimi de auto-intersecție fără puncte cuspidale. Aceste mulțimi sunt curbe continue, dar pot se intersecta în puncte duble sau triple. Observație: sfera poate fi realizată sub forma unei imersiuni (care nu este o încorporare), făcând-o să se auto-intersecteze. Este, de fapt, modul prin care se poate întoarce (vezi metoda lui A. Phillips, 1967, care are ca pas central acoperirea dublă a unei suprafețe Boy; vezi și B. Morin și J.P. Petit, 1979, în care se ia ca model central modelul „cu patru urechi” al lui Morin, a cărui reprezentare poliedrică vedeți mai jos, pe care am inventat-o cu o zi în urmă).

Plan de montaj al acestui obiect cu hârtie și foarfeci

Dacă extindem regulile jocului acceptând că aceste obiecte admit și puncte cuspidale, obținem sumersiuni (Cross Cap, suprafața română a lui Steiner). Nu știu dacă termenul „sumersiune” este corect, dar deoarece nu am găsit niciun matematician care să-mi clarifice ideile în legătură cu acest lucru, mi-am găsit amuzamentul în a inventa unul, provizoriu, cel puțin până când un geometer experimentat va apărea. Astfel, suprafața Cross Cap și suprafața română a lui Steiner ar fi sumersiuni ale „planului proiectiv”.

Să vă spun totul: după douăzeci și cinci de ani de activitate și dezamăgirile mele în domeniul magnetohidrodinamicii, am început aceste lucrări pentru că mi se păreau cele mai îndepărtate posibil de orice aplicare militară. Dar, cum mi-a arătat vechiul meu prieten Mihn, termenul de sumersiune ar putea duce la confuzie și ar putea face ca Marina Militară să creadă că prin aceste cercetări încerc să ascund progrese în domeniul propulsiei subacvatice.

Regula de „creare-dizolvare” a perechilor de puncte cuspidale permite trecerea de la o sumersiune a unui obiect la alta, ceea ce tocmai am făcut, arătând că Cross Cap și suprafața română a lui Steiner sunt două sumersiuni ale aceluiași obiect, cunoscut sub numele de plan proiectiv. Nu încercați să vă imaginați un „plan proiectiv”. Acest obiect poate fi înțeles doar prin diverse reprezentări diferite. În ceea ce privește termenul „proiectiv”, nu este decât unul dintre mii de termeni inventați de matematicieni pentru a împiedica pe cei care doresc să intre în cercul lor închis. Zanichelli nu vă va fi de niciun ajutor în matematică.

Ne rămâne să vedem cum să trecem la suprafața Boy, care este o imersiune a planului proiectiv

Pagina anterioară Pagina următoare

Torna la indicele „Transformarea unei Cross Cap în Boy”

Torna la secțiunea Noțiuni noi Torna la secțiunea Ghid Torna la Pagina principală

Numărul de vizite de la 25 octombrie 2003 :

Imagini