Transformarea Crosscap în suprafața Boy, trecând prin suprafața română Steiner
Cum transformăm o crosscap în suprafața Boy (stânga sau dreapta, la alegere), trecând prin suprafața română Steiner.
27 septembrie - 25 octombrie 2003
Pagina 2
Iată o Cross Cap (așa cum ați putut-o descoperi în imaginile de realitate virtuală). Aceasta are două puncte cuspidale care delimitează o linie de auto-intersecție. O puteți construi îndoiind un balon cu un fier de coafat. Dar puteți construi și reprezentări poliedrice. Aceasta de jos ne va interesa în mod deosebit.
În această planșă 4 se află momentul cel mai dificil de înțeles. Mi se pare aproape imposibil ca un om obișnuit să înțeleagă aceste figuri doar privind desenele. Construiți aceste maște. În esență, tragem punctul cuspidal C2 spre „interiorul suprafeței” (ceea ce nu are sens, deoarece, fără îndoială, ați observat imediat, Cross Cap este o suprafață unilatere. În timp ce insistăm, suprafața se auto-traversează și mulțimea de auto-intersecții se completează, într-o curbă în formă de 8. În același timp se formează un punct triplu T.
Suprafața este mai ușor de înțeles în forma sa poliedrică și, în partea de jos, am mărit anumite elemente pentru a arăta ce ne determină să transformăm acest obiect în Suprafața română Steiner (vezi realitatea virtuală), a cărei formă poliedrică cea mai simplă constă în asamblarea a patru cuburi (aici vedem doar trei).
Planșa 5: poliedrul din stânga, rotunjirea din dreapta. Săgeata urmează un drum pe care îl vom „strânge”. În partea de jos începutul strângerii.
Planșa 6: strângerea este realizată prin crearea unui punct singular B. De fapt, deoarece strângem din ambele părți, pentru a economisi timp, se formează două puncte singulare S1 și S1, apoi două perechi de puncte cuspidale. În acest punct, fără carton, foarfecă și bandă adezivă, sunteți într-o situație dificilă.
Planșa 7: am doar mutat diferitele puncte cuspidale. Dacă punctul C2 este „evident”, va fi mai greu să identificați punctele C3 și C4 ca puncte cuspidale. Ele există totuși la capătul unei linii de auto-intersecție. Deasupra punctului C3 se află doar ceea ce am numit un „posicoin”, un punct de concentrare a curburii pozitive (un punct de concentrare a curburii negative este un „negacoin”). Deformând ușor acest obiect, ajungem la o formă poliedrică a suprafeței române Steiner (suprafață de gradul 4 inventată de Steiner la Roma. Vedeți prezentarea în realitate virtuală).
Deci, treaba e făcută. Există diferite tipuri de suprafețe, în funcție de regulile pe care ni le impunem. Suprafețele care nu se auto-intersectează sunt numite imersii (ale sferei, ale torului în R3). Când se auto-intersectează, dar planul tangent variază continuu, le numim imersiuni. Exemplu: sticla Klein în reprezentarea sa clasică. În R3 nu există o reprezentare a sticlei Klein sub formă de imersiune. Ea se intersectează neapărat pe ea însăși. Imersiunile au mulțimi de auto-intersecții fără puncte cuspidale. Aceste curbe sunt continue, dar pot fi intersectate în puncte duble sau triple. Observație: sfera poate fi reprezentată ca o imersiune, doar prin auto-intersecție. De fapt, este exact astfel încât sfera poate fi întoarsă (A. Phillips, 1967, cu etapa centrală acoperirea dublă a unei suprafețe Boy; B. Morin și J.P. Petit, 1979, cu modelul central modelul cu patru urechi al lui Morin, a cărui reprezentare poliedrică o prezint mai jos, pe care am inventat-o acum o zece de ani.
Plan pentru montarea acestui obiect prin decupare
Dacă extindem regula jocului presupunând că aceste obiecte au puncte cuspidale, obținem submersiuni (Cross Cap, suprafața română Steiner). Nu știu dacă este cuvântul exact, dar cum nu am găsit niciun matematician care să mă lumineze, mi s-a părut amuzant să inventez unul, provizoriu, până când un expert în geometrie nu se va manifesta. Astfel, Cross Cap și suprafața română Steiner ar fi submersiuni ale „planului proiectiv”.
Să vă spun totul, după eșecurile mele în domeniul MHD pe o perioadă de douăzeci și cinci de ani, am început aceste lucrări pentru că mi se păreau cât mai îndepărtate posibil de orice aplicație militară. Dar, cum îmi amintea prietenul meu Mihn, termenul de submersiune ar putea genera confuzie și ar putea lăsa înțelesul că, prin aceste cercetări, aș încerca să ascund o descoperire în domeniul propulsiei subacvatice.
Regula „creație-decreație” a perechilor de puncte cuspidale ne permite să trecem de la o submersiune a unui obiect la alta și tocmai asta am făcut, arătând că Cross Cap și suprafața română Steiner sunt două submersiuni ale aceluiași obiect numit plan proiectiv. Nu căutați cum arată un „plan proiectiv”. Acest obiect nu poate fi înțeles decât prin reprezentările sale diferite. Cuvântul „plan proiectiv” nu este decât unul dintre mii de termeni inventate de matematicieni pentru a confunda pe cei care doresc să intre în cercul lor închis. Larousse nu vă va fi de niciun ajutor în matematică.
Ne rămâne să trecem la suprafața Boy, care este o imersiune a planului proiectiv
Pagina anterioară Pagina următoare
Întoarcere la cuprinsul „Transformarea unei Cross Cap în Boy”
Întoarcere la ghid Întoarcere la pagina principală
Numărul de vizualizări de la 25 octombrie 2003:
Imagini
