Transformarea Crosscap în suprafața Boy, trecând prin suprafața română a lui Steiner
Cum se transformă o crosscap în suprafața Boy (stânga sau dreapta, la alegere), trecând prin suprafața română a lui Steiner.
27 septembrie - 25 octombrie 2003
Pagina 2
Iată o crosscap (așa cum ați putut-o descoperi în imaginile de realitate virtuală). Ea are două puncte cuspidale care delimitează o linie de auto-intersecție. O puteți realiza prin îndoirea unui balon cu un fier de călcat. Dar puteți construi și reprezentări poliedrice. Aceasta de jos ne va interesa în mod special.
În această planșă 4 se află momentul cel mai greu de înțeles. Mi se pare aproape imposibil ca un simplu spectator să înțeleagă aceste figuri doar privind desenele. Construiți aceste maște. În esență, tragem punctul cuspidal C2 spre „interiorul suprafeței” (ceea ce nu are sens, deoarece, fără îndoială, ați observat imediat, crosscap este o suprafață monolaterală. În continuare, suprafața se autotrasează și întregul ansamblu de auto-intersecție se completează printr-o curbă în formă de 8. În același timp se formează un punct triplu T.
Suprafața este mai ușor de înțeles în forma sa poliedrică, iar în partea de jos am mărit anumite elemente pentru a arăta ce ne îndeamnă să transformăm acest obiect în Suprafața română a lui Steiner (vedeți realitatea virtuală), a cărei formă poliedrică cea mai simplă constă în asamblarea a patru cuburi (aici vedem doar trei).
Planșa 5: poliedrul din stânga, rondouillardul din dreapta. Săgeata urmează un drum pe care îl vom „îndoi”. În partea de jos începutul îndoierii.
Planșa 6: îndoiala este realizată prin crearea unui punct singular B. De fapt, cum îndoiem de ambele părți, pentru a economisi timp, se formează două puncte singulare S1 și S1, apoi două perechi de puncte cuspidale. Aici, fără carton, foarfecă și bandă adezivă, sunteți într-o situație dificilă.
Planșa 7: am doar mutat diferitele puncte cuspidale. Dacă punctul C2 este „evident”, va avea mai multă dificultate să identificați punctele C3 și C4 ca puncte cuspidale. Ele sunt totuși prezente la capătul unei linii de auto-intersecție. Deasupra punctului C3 se află pur și simplu ceea ce am numit un „posicoin”, un punct de concentrare a curburii pozitive (un punct de concentrare a curburii negative este un „négacoin”). Deformând ușor acest obiect, ajungem la o formă poliedrică a suprafeței române a lui Steiner (suprafața de gradul 4 inventată de Steiner la Roma. Vedeți prezentarea în realitate virtuală).
Deci, totul este gata. Există diferite tipuri de suprafețe, în funcție de regulile pe care ni le impunem. Suprafețele care nu se autointersectează sunt numite imersii (ale sferei, ale torului în R3). Când se autointersectează, dar planul tangent variază continuu, le numim imersiuni. Exemplu: sticla Klein în reprezentarea sa clasică. În R3 nu există o reprezentare a sticlei Klein sub formă de imersiune. Ea se autointersectează neapărat. Imersiunile au mulțimi de auto-intersecție fără puncte cuspidale. Aceste curbe sunt continue, dar pot fi intersectate în puncte duble sau triple. Observație: sfera poate fi reprezentată ca o imersiune, doar prin autointersecție. Este chiar așa că se ajunge la răsturnarea ei (A. Phillips, 1967, cu etapa centrală acoperirea dublă a unei suprafețe Boy; B. Morin și J.P. Petit, 1979, cu modelul central modelul cu patru urechi ale lui Morin, a cărui reprezentare poliedrică vă ofer mai jos, pe care am inventat-o acum o ziua de ani.
Plan pentru montarea acestui obiect prin decupare
Dacă extindem regulile jocului presupunând că aceste obiecte au puncte cuspidale, obținem submersiuni (crosscap, suprafața română a lui Steiner). Nu știu dacă este cuvântul exact, dar cum nu am găsit niciun matematician care să mă lumineze, mi s-a părut amuzant să inventez unul, provizoriu, până când un specialist în geometrie nu va apărea. Astfel, crosscap și suprafața română a lui Steiner ar fi submersiuni ale „planului proiectiv”.
Să vă spun totul: după eșecurile mele în domeniul MHD pe o perioadă de douăzeci și cinci de ani, am început aceste lucrări pentru că mi se păreau cât mai îndepărtate posibil de orice aplicație militară. Dar, cum îmi amintea prietenul meu vârstnic Mihn, termenul de submersiune ar putea duce la confuzie și ar putea lăsa înțelesul că prin aceste cercetări aș încerca să ascund o descoperire în domeniul propulsiei subacvatice.
Regula „creație-decreație” a perechilor de puncte cuspidale permite trecerea de la o submersiune a unui obiect la alta și tocmai asta am făcut, arătând că crosscap și suprafața română a lui Steiner sunt două submersiuni ale aceluiași obiect numit plan proiectiv. Nu căutați cum arată un „plan proiectiv”. Acest obiect nu poate fi înțeles decât prin reprezentările sale diferite. Cuvântul „plan proiectiv” nu este decât unul dintre mii de termeni inventate de matematicieni pentru a încurca pe cei care doresc să pătrundă în cercul lor închis. Larousse nu vă va fi de niciun ajutor în matematică.
Ne rămâne să trecem la suprafața Boy, care este o imersiune a planului proiectiv
Pagina anterioară Pagina
următoare
Înapoi la cuprinsul „Transformarea unei crosscap în Boy”
Înapoi la Ghid Înapoi la Pagina principală
Numărul de vizualizări de la 25 octombrie 2003:
Imagini
