Transformarea Crosscap în suprafața Boy, prin intermediul suprafeței romane Steiner

Transformarea Crosscap în suprafața Boy, trecând prin suprafața română a lui Steiner

Cum se transformă o crosscap într-o suprafață Boy (dreaptă sau stângă, la alegere), trecând prin suprafața română a lui Steiner.

27 septembrie 2003

Pagina 4

Se prezintă acum modelul dintr-un alt unghi:

Placa 14: Se reia aceeași operațiune, creând a treia „ureche” a curbei de auto-intersecție. În versiunea poliedrică, aceasta are forma a trei pătrate care au un vârf comun: punctul triplu T.

Placa 15: Rotind obiectul, recuperați versiunea poliedrică a suprafeței Boy pe care am inițiat-o și prezentat-o în Topologicon (unde se află un decupaj care permite construirea acesteia).

Ultima placă: Am încercat să reprezint suprafața lui Steiner (de gradul 4, în timp ce suprafața Boy este de gradul șase) în timp ce se contorsionează și se transformă într-o suprafață Boy.

Se observă că, într-o formă „rotundă”, este nevoie de o cunoaștere deosebită pentru a înțelege obiectul. Ochiul nostru este foarte neliniștit atunci când trebuie să înțeleagă un obiect în care, pe aceeași linie de vedere, se suprapun mai mult de două foi. De aceea, utilitatea modelului poliedric este mare, deoarece pune la îndemâna oricui transformările considerate sofisticate în geometrie, în măsura în care oamenii fac efortul de a construi modelele singuri. În trecere, observăm că, în funcție de perechile de puncte cuspidale alese, se obține o suprafață Boy „dreaptă” sau „stângă” (cuvinte complet arbitrare). Planul proiectiv se imergă în două reprezentări „enantiomorfe”, în oglindă. Se observă că se poate trece de la o Boy dreaptă la o Boy stângă prin intermediul unui model „central”, care este chiar suprafața română a lui Steiner.

Ar fi probabil plăcut ca astfel de desene să fie publicate în Pour la Science sau La Recherche. Dar de douăzeci de ani sunt „interzis de publicare” în aceste reviste din cauza deviației ovniști. Mulțumesc domnilor Hervé This și Philippe Boulanger. Nu mai știu câte articole de acest tip le-am trimis și care mi-au fost returnate politicos. În cele din urmă te obișnuiești cu statutul de excomunicat.

Într-o notă anecdotică, în Franța există un „premiu Alembert” destinat să recompenseze autori de cărți de popularizare în matematică. Istorisirea mi-a fost povestită de un membru al comisiei care trebuia să decidă cine merită premiul (există totuși câțiva bani în joc). Dialog:

• Dar nu s-ar putea acorda premiul lui Petit? A făcut lucrări remarcabile, cum ar fi Géométricon, Trou Noir și Topologicon.

• Da, dar nu a făcut doar aceste albume.

• La ce vă referiți?

• A scris și Mur du Silence.

• Ah, în aceste condiții...

Da, Mur du Silence, publicat în 1983, este un album dedicat MHD. Iar, cum știe oricine, această știință sulfuroasă are virtutea, sau răutatea, de a permite vaselor zburătoare să se deplaseze cu viteză supersonică fără a face „bang”.

Ascunde această știință, că nu aș vrea s-o văd

În cutiile mele am o versiune superbă a „răsturnării cubului”, cu un model central de o frumusețe deosebită, care nu este versiunea poliedrică a variantei lui Morin. Totul este de la mine. Într-o zi...

22 octombrie 2003: Nu se înghesuie pe aceste pagini, dacă mă bazez pe cifra contorului. Luni, 13 octombrie 2003, am susținut un seminar la CMI (Centrul de Matematică și Informatică de la Château-Gombert-Marseille), pe invitația lui Trotman. În această ocazie am putut arăta o colecție de aproximativ treizeci de modele din carton, pe care le veți vedea în curând, acestea fiind fotografiate de Christophe Tardy.

Când susții un seminar, se creează o anumită atmosferă. Pe următoarea imagine, un geometric care exprimă nedumerirea sa.

În fundal, o parte dintre modelele expuse. Într-un moment, am pus întrebarea:

*- Cine dintre voi a văzut deja o suprafață română a lui Steiner? Ridicați mâna. *

Nimeni nu o văzuse niciodată. Am considerat deci util să prezint obiectul, în mod virtual, pe laptopul pe care-l adusesem, obiect realizat cu sprijinul lui Christophe Tardy, inginer, și al lui Frédéric Descamp, de la Institutul Laue Langevin din Grenoble (ILL). Evident, această prezentare a derutat publicul, puțin obișnuit să vadă suprafețe matematice zburând la voia întâmplării.

Două panouri de carton, vizibile în prim-plan, au permis prezentarea succesiunii modelelor în ordinea logică. Modelele „verde și galben” ilustrează, în versiune poliedrică, instrumentul esențial pentru crearea și anihilarea unei perechi de puncte cuspidale. Obiectul alb cel mai îndepărtat este o versiune poliedrică a Cross Cap, care se transformă mai întâi în versiunea poliedrică a suprafeței române a lui Steiner, la un metru mai departe, apoi, la voia ta, într-o suprafață Boy „dreaptă” sau „stângă”.

Analiza modelelor a generat diferite observații în rândul publicului. Unul dintre geometri întreabă:

*- Dacă, urmând modelele în această direcție, putem trece de la Cross Cap la Boy, pare că invers, putem transforma o Boy în Cross Cap. *

Răspund afirmativ. Îndrăznit, interlocutorul adaugă:

*- Dacă, ajungând la stadiul suprafeței române a lui Steiner, ne oprim, devine posibil să reluăm către o suprafață Boy în oglindă. *

Aprobi din nou. Dar din păcate, nimeni nu va oferi explicații despre acest lume ciudată în care imergăm suprafețe închise cu puncte cuspidale create sau anulate în perechi, ansamblul constituind o fel de extensie a lumii imersiilor. Cuvântul „submersiuni” mi se pare potrivit. Dacă un cititor găsește explicații, le va primi cu plăcere.

Curbură concentrată într-un punct cuspidal

O vom calcula sumând unghiurile în vârf și comparând această sumă cu cea euclidiană: 2π.

Sus și stânga: s-a reprezentat una dintre multiplele reprezentări poliedrice ale punctului cuspidal. „Demontarea” obiectului (la dreapta) conduce la o sumă care depășește suma euclidiană 2π cu o valoare 2α. Din aceasta deducem că curbură unghiulară concentrată în apropierea acestui punct C este –2α. Dacă unghiul α este egal cu π/2, atunci curbură negativă este c (figura de jos și stânga). De fapt, curbură concentrată într-un punct cuspidal poate lua o infinitate de valori. Jos și dreapta: se accentuează suma unghiulară și curbură devine atunci < 2α. Se accentuează curbură negativă.

Practicând operațiunea inversă, se poate ajunge la o situație destul de surprinzătoare: să facem ca curbură (unghiulară) concentrată în C să fie ... nulă:

Putem porni acum de la o reprezentare poliedrică a Crosscap cu două puncte cuspidale, fiecare având o curbură negativă egală cu –π:

Există opt „posicoine” corespunzătoare unei valori +π/2. Adăugăm alte patru „posicoine” cu curbură +π/4 și patru „negacoine” cu curbură –π/4.

Plus cele două puncte cuspidale cu curbură –π.

Total: 2π

Împărțind această curbura totală la 2π, obținem caracteristica Euler-Poincaré a tuturor reprezentărilor planului proiectiv (cum ar fi suprafața Boy).

În cadrul prezentării mele, am evocat arta și metoda de a permuta cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap, folosind răsturnarea sferei. Nu mai știu dacă am pus asta undeva pe site. E un adevărat haos. Va trebui să caut, altfel o să o pun undeva. E destul de amuzant. În orice caz, această prezentare nu i-a plăcut prea mult unuia dintre prezentatori, în timpul seminarului.

• Nu înțeleg de ce Petit folosește un asemenea echipament pentru a demonstra simetria dintre cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap. Există mult mai simplu.

Și a tras pe tablă imaginea unei sfere comprimate de două bare care se unesc, rezultând într-un ansamblu de auto-intersecție sub forma unui segment delimitat de două puncte cuspidale, cum este cazul Cross Cap. Din păcate, și omul a înțeles, nu este o Cross Cap.

• Dar atunci ce este? întrebă cineva.

Este pur și simplu o sferă, cu două puncte cuspidale. Dacă le facem să se confundă, obținem o linie de auto-intersecție care devine atunci un cerc simplu. Iar în jos și stânga (în secțiune), obținem o imersiune a sferei pe care o transformăm apoi în imersiunea sa. De asemenea, putem trece la o reprezentare poliedrică a acestei suprafețe:

Este bilateră și curbură este 2π.

Deci putem juca destul de mult cu aceste „submersiuni”. Să luăm o imersiune a torului care constă în rotirea semnului „infinit” sau a unui „8” în jurul unui ax.

Tehnica de confluență a punctelor cuspidale ne va permite să ajungem rapid la imersiunea standard a torului, așa cum este indicat în desenele următoare.

Dar uneori lucrurile nu sunt la fel de ușoare și evidente. Să iau, de exemplu, o sferă pe care o comprim între două segmente care, de data aceasta, au lungimi mai mici decât diametrul. Obținem din nou două puncte cuspidale.

Deoarece se poate încadra un bandă Möbius, această suprafață este unilatere. Am reprezentat versiunea poliedrică, care permite calcularea curburii totale. Obținem zero. Dacă nu mă înșel, ar fi o sticlă Klein. În general, se cunoaște doar imersiunea cea mai clasică, în care linia de auto-intersecție este un cerc simplu. Dar există și altele, cum este aceasta. Admit că nu am găsit încă cum să transform obiectul de mai sus într-o imersiune a sticlei Klein. Nu știu nici dacă diferitele imersiuni aparțin aceluiași grup de omotopie (sfera are unul singur). A priori, nu, deoarece torul poate fi imersat în patru moduri diferite, care nu pot fi legate între ele printr-o omotopie regulată. Până la urmă, m-am distrat transformând această suprafață, creând două puncte cuspidale suplimentare și obținând astfel două Cross Caps legate printr-un tub. Dacă le decupăm, obținem o caracteristică Euler-Poincaré egală cu zero.

Această „suprafață ciudată” ar trebui să poată fi transformată într-o dintre imersiunile sticlei Klein. Dar care? În orice caz, iată una obținută prin rotirea „8”-ului în jurul unui ax și adăugând o jumătate de rotație:

Pagina anterioară

Înapoi la cuprinsul „Transformarea unei Cross Cap în Boy”

Înapoi la ghid Înapoi la pagina principală

Numărul de consultări de la 6 octombrie 2003: