Transformarea Crosscap în suprafața Boy, trecând prin suprafața română Steiner
Cum se transformă o crosscap în suprafața Boy (dreaptă sau stângă, la alegere), trecând prin suprafața română Steiner.
27 septembrie 2003
pag. 4
Se prezintă acum modelul dintr-un alt unghi:
Placa 14: Se reia aceeași operație, creând a treia „ureche” a curbei de auto-intersecție. În versiunea poliedrică, aceasta are forma a trei pătrate care au un vârf comun: punctul triplu T.
Placa 15: Rotind obiectul, obțineți versiunea poliedrică a suprafeței Boy pe care am inițiat-o și prezentat-o în Topologicon (unde se află o decupare care permite construirea ei).
Ultima placă: am încercat să reprezint suprafața Steiner (de gradul patru, în timp ce suprafața Boy este de gradul șase) în timp ce se contorsionează și se transformă în suprafața Boy.
Se observă că, într-o formă „rotundă”, este nevoie de o cunoaștere deosebită pentru a înțelege obiectul. Ochiul nostru este foarte neliniștit atunci când trebuie să înțeleagă un obiect în care, pe aceeași linie de vedere, se suprapun mai mult de două părți. De aceea, utilitatea modelului poliedric este mare, pentru că pune la îndemâna oricui transformările considerate sofisticate în geometrie, în măsura în care oamenii fac efortul de a construi modelele singuri. În trecere, observăm că, în funcție de perechile de puncte cuspidale alese, obținem o suprafață Boy „dreaptă” sau „stângă” (cuvinte complet arbitrare). Planul proiectiv se imergă în două reprezentări „enantiomorfe”, în oglindă. Se vede că se poate trece de la o Boy dreaptă la o Boy stângă prin intermediul unui model „central”, care este suprafața română Steiner.
Ar fi probabil plăcut ca astfel de desene să fie publicate în Pour la Science sau La Recherche. Dar de douăzeci de ani sunt „interzis de publicare” în aceste reviste din cauza deviației ovniști. Mulțumesc domnilor Hervé This și Philippe Boulanger. Nu mai știu câte articole de acest tip le-am trimis și care mi-au fost returnate politicos. În cele din urmă te obișnuiești cu statutul de excomunicat.
Ca anecdota, în Franța există un „premiu Alembert” destinat să recompenseze autori de cărți de popularizare în matematică. Istorisirea mi-a fost povestită de un membru al comisiei însărcinate să decidă cine merită premiul (există chiar câțiva bani în joc). Dialog:
-
Dar nu s-ar putea acorda premiul lui Petit? A realizat lucrări remarcabile precum Géométricon, Trou Noir și Topologicon.
-
Da, dar nu a făcut doar aceste albume.
-
La ce vă referiți?
-
A scris și Mur du Silence.
-
Ah, în aceste condiții...
Da, Mur du Silence, apărut în 1983, este un album dedicat MHD. Și, cum toți știm, această știință sulfuroasă are virtutea, sau răutatea, de a permite ovoidelor să se deplaseze cu viteză supersonică fără a produce un „bang”.
Ascunde această știință, că nu aș vrea să o văd
În cutiile mele am o versiune superbă a „răsturnării cubului”, cu un model central de o frumusețe deosebită, care nu este versiunea poliedrică a variantei Morin. Totul e de la mine. Într-o bună zi...
22 octombrie 2003: Nu se înghesuie lumea pe aceste pagini, dacă mă bazez pe numărul afișat de contor. Luni, 13 octombrie 2003, am susținut un seminar la CMI (Centrul de Matematică și Informatică de la Château-Gombert-Marseille) pe invitație a lui Trotman. În această ocazie am putut arăta o colecție de aproximativ treizeci de modele din carton, pe care le veți vedea în curând, acestea fiind fotografiate de Christophe Tardy.
Când susții un seminar, se creează o anumită atmosferă. Pe următoarea imagine, un geometric care exprimă nedumerirea sa.
În fundal, o parte dintre modelele expuse. Într-un moment am pus întrebarea:
- Cine dintre voi a văzut deja o suprafață română Steiner? Ridicați mâna.
Nimeni nu o văzuse niciodată. Am considerat deci util să prezint obiectul, în realitate virtuală, pe calculatorul portabil pe care l-am adus, obiect realizat cu sprijinul lui Christophe Tardy, inginer, și al lui Frédéric Descamp, de la Institutul Laue Langevin din Grenoble (ILL). Evident, această prezentare a derutat publicul, puțin obișnuit să vadă suprafețe matematice zburând la voia întâmplării.
Două panouri din carton, vizibile în prim-plan, au permis prezentarea modelelor în ordinea logică. Modelele „verde și galben” ilustrează, în formă poliedrică, instrumentul esențial de creare-distrugere a unei perechi de puncte cuspidale. Obiectul alb cel mai îndepărtat este o variantă poliedrică a Cross Cap, care se transformă mai întâi în varianta poliedrică a suprafeței române Steiner, la un metru mai departe, apoi, la voia ta, în suprafața Boy „dreaptă” sau „stângă”.
Analiza modelelor a generat mai multe observații în rândul publicului. Unul dintre geometri a întrebat:
- Dacă, urmând modelele în această direcție, putem trece de la Cross Cap la Boy, pare că invers, putem transforma o Boy în Cross Cap.
Am răspuns afirmativ. Îndrăznit, interlocutorul a adăugat:
- Dacă, ajungând la stadiul suprafeței române Steiner, ne oprim, devine posibil să reluăm către o Boy în oglindă.
Am aprobat din nou. Dar din păcate, nimeni nu s-a oferit să ofere explicații despre acest lume ciudată în care dotăm imersiile suprafețelor închise cu puncte cuspidale, create sau anulate în perechi, ansamblul constituind o fel de extensie a lumii imersiilor. Cuvântul „submersiuni” mi se pare potrivit. Dacă un cititor găsește explicații, acestea sunt binevenite.
Curbură concentrată într-un punct cuspidal
Se va calcula prin sumarea unghiurilor în vârf și compararea acestei sume cu suma euclidiană: 2π.
Sus și în stânga, este reprezentată una dintre multiplele reprezentări poliedrice ale punctului cuspidal. „Demontarea” obiectului (la dreapta) conduce la o sumă care depășește suma euclidiană 2π cu o valoare 2α. Se deduce că curbură unghiulară concentrată în apropierea punctului C este -2α. Dacă unghiul α este egal cu π/2, atunci curbură negativă este c (figura de jos și în stânga). În realitate, curbură concentrată într-un punct cuspidal poate lua o infinitate de valori. Jos și la dreapta, se accentuează suma unghiulară și curbură devine < 2α. Se accentuează curbură negativă.
Prin operație inversă, se poate ajunge la o situație destul de surprinzătoare: să facem ca curbură (unghiulară) concentrată în C să fie ... nulă:
Putem porni acum de la o reprezentare poliedrică a Crosscap cu două puncte cuspidale, fiecare având o curbura negativă egală cu -π:
Există opt „posicoine” corespunzătoare unei valori +π/2. Adăugăm încă patru „posicoine” cu curbura +π/4 și patru „negacoine” cu curbura -π/4.
Plus cele două puncte cuspidale cu curbura -π.
Total: 2π
Împărțind această curbura totală la 2π, obținem caracteristica Euler-Poincaré a tuturor reprezentărilor planului proiectiv (cum ar fi suprafața Boy).
În cadrul prezentării mele am evocat arta și metoda de a permuta cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap, folosind răsturnarea sferei. Nu mai știu dacă am pus acest lucru undeva pe site. Este o adevărată dezordine. Va trebui să caut, altfel o voi pune undeva. E destul de amuzant. În orice caz, această prezentare nu i-a plăcut deloc unuia dintre prezentatori, în timpul seminarului.
- Nu înțeleg de ce Petit folosește un asemenea echipament pentru a demonstra simetria dintre cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap. Există mult mai simplu.
Și a tras pe tablă imaginea unei sfere comprimate de două bare care se unesc, rezultând efectiv un ansamblu de auto-intersecție sub forma unui segment delimitat de două puncte cuspidale, așa cum este cazul Cross Cap. Din păcate, și omul s-a confruntat cu aceasta, nu este o Cross Cap.
- Dar atunci ce este? A întrebat cineva.
Este pur și simplu o sferă, cu două puncte cuspidale. Dacă le facem să se întâlnească, obținem o linie de auto-intersecție care devine atunci un cerc simplu. Iar în jos și la stânga (în secțiune), obținem o imersiune a sferei pe care o transformăm apoi în imersiunea ei. De asemenea, putem trece la o reprezentare poliedrică a acestei suprafețe:
Este bilateră și curbură este 2π.
Deci putem juca destul de mult cu aceste „submersiuni”. Să luăm o imersiune a torului care constă în rotirea semnului „infinit” sau a unui „8” în jurul unui ax.
Tehnica de confluare a punctelor cuspidale ne va permite să ajungem rapid la imersiunea standard a torului, așa cum este indicat în desenele următoare.
Dar uneori lucrurile nu sunt la fel de ușoare și evidente. Să iau, de exemplu, o sferă pe care o comprim între două segmente care, de data aceasta, au lungimi mai mici decât diametrul. Obținem din nou două puncte cuspidale.
Deoarece se poate încadra un bandă Möbius, această suprafață este unilatere. Am reprezentat versiunea sa poliedrică, care permite calculul curburii totale. Se obține zero. Dacă nu mă înșel, ar fi o sticlă Klein. În general, se cunoaște doar imersiunea cea mai clasică, unde linia de auto-intersecție este un cerc simplu. Dar există și altele, cum este aceasta. Admit că nu am găsit încă cum să transform obiectul de mai sus într-o imersiune a sticlei Klein. Nu știu nici dacă diferitele imersiuni aparțin aceluiași grup de homotopie (sfera are unul singur). A priori, nu, deoarece torul poate fi imersat în patru moduri diferite, care nu pot fi legate între ele printr-o homotopie regulată. Până la urmă, m-am distrat transformând această suprafață, creând două puncte cuspidale suplimentare și obținând astfel două Cross Caps legate printr-un tub. Dacă le decupăm, obținem o caracteristică Euler-Poincaré egală cu zero.
Această „suprafață ciudată” ar trebui să se poată transforma într-o imersiune a sticlei Klein. Dar care? În orice caz, iată una obținută prin rotirea „8”-ului în jurul unui ax și prin aplicarea unui jumătate de răsucire în plus:
Înapoi la cuprinsul „Transformarea unei Cross Cap în Boy”
Înapoi la Ghid Înapoi la Pagina principală
Numărul de vizitatori de la 6 octombrie 2003: