Mais
il existe de surfaces qui sont intrins�quement singuli�res, poss�dant des singularit�s
qui ne sont pas dues � un choix de coordonn�es. Exemple ci-apr�s : la singularit�
conique.
Brute de fonderie, telle que formul�e en 1917 par Schwarzschild dans des coordonn�es
t , r , q , j (le temps, une distance radiale et
deux angles, �quivalant � azimut et site : des coordonn�es "sph�riques")
la sph�re de Schwarzschild est singuli�re. Pour une certaine valeur Rs de la
"coordonn�e radiale" r (cens�e �tre mesur�e depuis un "centre
g�om�trique") cette m�trique nous joue les pires tours. Sur cette sph�re
un des terme a un d�nominateur nul. Bref, elle est singuli�re sur cette sph�re.
S'agissait-il d'une singularit� intrins�que ou d'un artefact induit par un mauvais
choix de coordonn�es ? C'est la question que nous nous sommes pos�e.
Notons au passage que la "g�om�trie de Schwarzschild" est une hypersurface
� quatre dimensions, ce qui rend la chose encore plus malais�e.
Kruskal s'est focalis� sur ce point. Il a construit un changement de coordonn�es
qui, entre autre, fournit une valeur constante de la vitesse de la lumi�re le
long d'une trajectoire radiale. Ce faisant il concentre l'aspect singulier "au
centre de l'objet", dans une "singularit� centrale". Psychologiquement,
on a l'impression d'y gagner. La solution devient "r�guli�re presque partout",
expression que les math�maticiens utilisent pour dire que la solution est r�guli�re,
exempte de pathologie, sauf en un unique point.
- Vous n'allez pas chipoter, me chercher querelle, pour un simple point.....
H�las cette formulation de Kruskal a un grave d�faut : elle ne redonne pas l'espace
de la relativit� restreinte � l'infini. Techniquement, elle n'est pas lorentizenne
� l'infini, "asymptotiquement lorentzienne".
C'est une question essentielle en physique : les singularit�s existent-elles
? La Nature tol�re-t-elle des singularit� ? La r�ponse se formule en termes
de croyance (comme pour l'existence ou l'inexistence de l'infini d'ailleurs).
Nous avons cherch� une nouvelle interpr�tation de cette m�me g�om�trie de Schwarzschild
en essayant d'�liminer toute singularit� et nous y sommes parvenus. Notre r�ponse
est donc :
- Le caract�re singulier de la solution de Schwarzschild est simplement induit
par un mauvais choix de coordonn�es.
Techniquement, tout repose dans le changement de variable :
r = Rs +
Log ch r
qui se
lit " r
�gale Rs plus
logarithme du cosinus hyperbolique de la variable
r ".
Simple a parte pour scientifique, sp�cialiste ou simple taupin. Pour qui sait
manier cette formule, la grandeur r ne peut alors plus devenir inf�rieure � Rs,
m�me quand r prend toutes les
valeurs possibles en moins l'infini et plus l'infini.
Consid�rez une surface qui soit obtenue en faisant tourner une parabole autour
d'une droite, comme ceci :
Cette figure est extraite de l'article. La surface est infinie, en fait, comme
la parabole-m�ridienne qui l'engendre en tourant autour de l'axe z, figur�..
Si on tient absolument � se la repr�senter avec des coordonn�es (r,z,j)
on peut s'attendre � de ennuis quand on se demandera "comment est cette
surface pour r < Rs ?"
On trouvera une r�ponse .. imaginaire, avec des racines de quantit�s n�gatives.
Tout simplement parce qu'on est alors "hors surface".
Cette surface, en math�matiques, est dite "non simplement connexe",
terme barbare qui d�signe simplement les surfaces o� toute courbe ferm�e ne
peut voir son p�rim�tre d�cro�tre, en faisant glisser celle-ci dans la surface,
jusqu'� prendre la valeur z�ro.
C'est possible sur une sph�re, qui est "simplement connexe". Mais
sur cette surface-l� on voit bien que toute courbe ferm�e qui "fait un
tour autour de cette esp�ce de puits central" ne pourra voir son p�rim�tre
tendre vers z�ro, la limite �tant le p�rim�tre du "cercle de gorge".
M�me chose pour un tore, qui est aussi "non simplement connexe".
Nous avons d�fini une telle surface en partant de sa m�trique, ce qui illustre
tr�s bien le propos. En gardant la coordonn�e r, cette surface semble singuli�re.
En utilisant le changement de variable donn� ci-dessus, elle ne l'est plus.
A quoi correspond cette coordonn�e r ? Elle "court" simplement le
long de la parabole m�ridienne comme indiqu� sur la figure, prend la valeur
z�ro sur le cercle de gorge. La moiti� de la surface correspond � r positif,
l'autre � r n�gatif. Dans le syst�me de rep�rage des points [r , j
] il n'y a plus de singularit�.
Nous avons d�cid� d'appeler ce type d'objet un "pont torique", par
analogie avec le tore.
Mais on montre ais�ment, toujours en partant de m�triques, qu'on peut passer
� un objet, une hypersurface 3d, qui comporte un "pont hypertorique".
Il n'y a alors plus un cercle de gorge, mais une sph�re de gorge. De m�me que
pour la surface ci-dessus, un cercle de gorge semblait mettre en communication
deux nappes 2d, la sph�re de gorge met alors en communication deux "demi-espaces
3d". Quand on est dans un de ces demi- espaces 3d et qu'on plonge dans
la sph�re de gorge, on �merge dans l'autre demi-espace.
Revenons � la surface 2d montr�e plus haut. Le dessin ci-apr�s montre qu'en
tra�ant "des cercles que l'on cro�t �tre concentriques" on voit leur
p�rim�tre diminuer, passer par un minimum, puis cro�tre de nouveau.
En 3d il faut imaginer une sph�re entourant compl�tement la sph�re de gorge.
Puis une autre, � l'int�rieur de celle-ci (on devrait dire "au-del�"
en suivant une direction donn�e, vers cette sph�re de gorge). On imagine que
la surface de cette sph�re puisse �tre plus petite. Mais, quand on atteint la
sph�re de gorge, l'aire passe par un minimum, puis se remet � cro�tre... jusqu'�
l'infini, lorsqu'on prolonge l'op�ration.
Nous avons construit les "m�triques" de ces surface 2d et 3d comportant
un "passage torique" et un "passage hypertorique" et, dans
le second cas, nous avons �t� frapp�s par la ressemblance avec la m�trique de
Schwarzchild, o� nous avons donc op�r� ce changement de coordonn�es, faisant
appara�tre son caract�re "non-simplement connexe", "l'int�rieur"
de l'objet devenant simplement "l'au-del� de sa sph�re de gorge".
Il
a ainsi �t� possible d'�liminer toute singularit�.
A ce stade nous avons simplement �tendu le mod�le du trou noir � un tandem "trou
noir-fontaine blanche". Mais, toujours pour cet "observateur ext�rieur",
le temps de travers�e de ce pont hypertorique �tait toujours infini. Nous semblions
avoir simplement am�lior� le mod�le du trou noir en expliquant sur quoi il d�bouchait.
Nous avons dit que le choix des variables �tait, dans une solution g�om�trique,
totalement arbitraire. Mais ce qui vaut pour l'espace est aussi valable pour
le temps. Nous sommes donc all�s chercher un changement de variable temporelle
invent� par Eddington en 1924 :
L� encore,
nous le mentionnons pour le scientifique ou simple taupin.
t est l'ancien
"temps cosmique", l'ancienne "variable chronologique" pr�sente
dans la solution initiale de Schwarzschild, de 1917.
t' est
ce nouveau "temps d'Eddington". Rs est le "rayon de Schwarzschild
(on devrait alors parler de p�rim�tre de Schwarzschild, divis� par 2p
).
c est la
vitesse de la lumi�re (ici, constante).
Chose qui peut sembler bizarre : on m�lange le temps et l'espace mais, en la
mati�re, on a tous les droits. Le choix de la coordonn�e temps, de la coordonn�e
de rep�rage chronologique (time-marker) est totalement arbitraire. On demande
simplement :
-
� la
m�trique d'�tre asymptotiquement Lorentzienne, c'est � dire qu'� l'infini, l'espace
temps devienne l'espace temps de Minkowski, celui de la relativit� restreinte.
Dans notre cas, �a marche (pas chez Kruskal). -
� ce
nouveau temps t' de s'identifier, toujours � l'infini, au "temps propre
d'un observateur suppos� immobile". C'est aussi le cas (pas chez Kruskal)
Ce faisant le temps de chute libre d'une particule-t�moin, immobile � l'infini
et tombant vers la sph�re de Schwarzschild, devient infini, vis � vis du temps
v�cu par "l'observateur ext�rieur", qui est loin et immobile.
La particule, par contre, �mergerait de cet "aven" en un temps infini.
Comme dans le trou noir on peut donc entrer dans cette sorte d'aven 3d, mais
non en sortir, sinon en un temps infini.
L'autre c�t� est une "r�surgence". Mais, avec un tel choix du temps
(t') la particule �merge de cette r�surgence en un temps infini, alors qu'elle
peut y p�n�trer en un temps fini. Ca coin�ait quelque part. La solution a consist�
� effectuer, ce qu'on a parfaitement le droit de faire, une sorte de double
changement de variable. Pour le bout d'espace temps qui est suppos� �tre le
n�tre :
Dans "l'univers jumeau" :
Le m�canisme cosmique fonctionne alors parfaitement.
-
Pas de
singularit�. -
On peut
entrer dans "l'aven" mais non en sortir (trou noir) -
On peut
sortir de la r�surgence, mais non y p�n�trer (fontaine blanche).
Bien, me direz-vous, on progresse....
Oui et non. Le temps de transit de la matière dans ce passage hypertorique
est de quelque dizaines de milli�mes de seconde, et ce Moloch est capable d'avaler
n'importe quoi, dix masses solaires, par exemple, en moins de temps qu'il en
faut � une balle pour traverser une carte � jouer.
La conclusion est qu'� travers cette r�interpr�tation plus rationnelle de la
solution g�om�trique les trous noirs ne pourraient pas exister. Ce sont des
... fictions math�matiques. Ils ne pouvaient qu'exister qu'en vertu de ce "gel
du temps". Or avec ce "temps d'Eddington" qui satisfait � toutes
les exigences de la physique, le temps de transit devient fini.
Conclusion : cette g�om�trie de Schwarzschild ne serait, selon nous, qu'une
image instantan�e d'un processus instationnaire de transfert hyperspatial. C'est
un peu comme si on vous montrait une photo d'une enclume que quelqu'un aurait
lanc�e en l'air et que vous en concluiez que les enclumes peuvent flotter dans
l'air.La solution de Schwarzschild est �galement solution d'une �quation qui
implique que l'univers soit parfaitement vide, que la densit� d'�nergie mati�re
soit nulle en tout point. C'est alors un peu comme si on vous montrait une photo
d'un terrain de foot, prise quand les joueurs sont partis se reposer pendant
la br�ve mi-temps et que vous en concluriez que le football se joue sur un terrain..
vide.
Mais alors, que se passerait-il ?
Nous avons montr� que lors du passage de la sph�re de gorge la coordonn�e temps
s'inversait. Si on appelle t' le temps (d'Eddington) correspondant � notre "versant
d'espace-temps" et t'* le "marqueur de temps" de l'univers jumeau,
on a :
t'* = -
t'
Remarquons qu'Andrei Sakharov a �t� le premier � sugg�rer en 1967 que se soient
cr��s au moment du "Big Bang" deux univers jumeaux ayant des temps
oppos�s.
Restait � savoir ce que signifiait le sens de cette "inversion du temps".
Etait-ce � dire que lorsqu'on plongeait dans l'univers jumeau on rajeunissait
? Nous avons montr� que non. On "emm�ne son temps propre" et si on
ressortait un peu plus loin par une structure sym�trique, on n'�mergerait pas
plus jeune que quand on est entr� dans cet univers jumeau. Impossible de "tuer
son propre p�re" comme dans le th�me du "Voyageur imprudent",
de Barjavel.
Les groupes, encore, nous ont permis d'�lucider le sens "ontologique"
de cette inversion de la coordonn�e temps. Quand une particule plonge dans l'univers
jumeau, son action gravitationnelle se fait toujours sentir, mais sa contribution
au champ gravitationnel devient alors n�gative. Sa "masse gravifique"
s'inverse.
Au passage, ceci justifie totalement le mod�le d�velopp� dans le site et dans
l'ouvrage "On a perdu la moiti� de l'univers" (Albin Michel). Les
masses qui se baladent dans l'univers jumeaux se comportent vis � vis des masses
pr�sentes dans le n�tre comme des masses r�pulsives. La dynamique compl�te est
:
-
Dans
notre univers les masses s'attirent selon Newton -
Dans
le jumeau les masses s'attirent selon Newton -
Quand
des masses situ�es dans deux portions "adjacentes" de l'espace temps
interagissent, elles se repoussent.
C'est une
simple cons�quence de cette inversion de la variable temporelle (mais non du
temps propre).
Les groupes montrent aussi que la dualit� mati�re antimati�re existe dans les
deux univers, comme conjectur� par Andrei Sakharov.
Quand une particule de mati�re r�ussit � passer dans l'univers jumeau (on verra
plus loin comment) elle reste de la mati�re, mais "CPT sym�trique".
C'est le sens du fameux "th�or�me CPT" de la physique (jamais d�montr�.
Ce que Souriau appelle un "th�or�me de physicien"). Classiquement
les physiciens disent "la CPT sym�trique de la mati�re est identique �
la mati�re". Par CPT sym�trie, entendre :
-
La particule,
dans ce nouveau rep�re, chemine � "rebrousse temps" : T-sym�trie. -
Elle
est �nantiomorphe, invers�e droite-gauche, "en miroir" : P-sym�trie. -
Toutes
ses "charges" sont invers�es, y compris sa charge �lectrique, si elle
en poss�de une. C'est la C-sym�trie.
Pour nous, la CPT sym�trique d'une particule est une particule du jumeau (ou
pass�e dans le jumeau). C'est une particule g�mellaire. Comme il y a T-sym�trie,
sa masse est automatiquement invers�e (r�sultat initialement obtenu par J.M.Souriau
en 1974).
La C-sym�trique
d'une particule est son antiparticule.
Feynman avait trouv� que la PT-sym�trique d'une particule se comportait comme
une antiparticule. Exact, mais il s'agit de .. l'antimati�re du jumeau, � masse
n�gative (puisqu'il y a aussi T-sym�trie). Tout cela �merge d'histoires de groupes
Ce travail fait le lien avec tout ce qui avait �t� publi� jusqu'ici (dans le
site, voir Geometrical Physics Bau rayon "g�om�trisation de l'antimati�re").
On peut illustrer de fa�on parlante cette affaire d'inversion de l'espace. Dans
le papier, on insiste pas mal sur la notion d'espace de repr�sentation. C'est
l'espace dans lequel nous nous repr�sentons mentalement le objets g�om�triques.
Nous avons utilis� plus haut une image o� on voyait Lanturlu enfiler sa main
dans cette sph�re de gorge, laquelle semblait �merger dans un autre univers
3d. Pour des commodit�s de dessin on a s�par� les deux figures. Mais il y a
une chose vous n'aurez sans doute pas remarqu� de prime abord : Lanturlu enfile
dans cette sph�re une main gauche et c'est une main droite qui
en �merge. Cela n'avait pas �t� fait par hasard.
O� est ce
second univers ?
Il est imbriqu� dans le n�tre, ce qui et difficile � comprendre. Mais ceci sera
plus simple en revenant � la surface 2d, au "flatland".