Ici,
on a un peu "d�graiss�" la figure pour la rendre plus lisible. Une
surface est un objet 2d, ici "plong�e" dans un espace 3d, euclidien,
autrement dans dans R3. Au dessus, nous pouvons "la voir". Il se trouve
que cette surface-l� est plongeable dans cet espace R3 "de mani�re isom�trique".
C'est � dire que si on colle dessus un ruban de scotch, celui-cil s'inscrit
effectivement sur une g�od�sique joignant deux points de la surface A et B.
De plus, la longueur mesur�e le long de cet arc g�od�sique est aussi correcte.
C'est iso-m�trique, �tymologiquement "m�me longueur". En bas se trouve
un espace de repr�sentation 2d, qui donne une repr�sentation qui n'est pas isom�trique.
La longueur de l'arc A'B' n'est pas �gale � celle de l'arc AB. Fabriquez l'objet
suivant, � l'aide d'une feuille de papier, d'un crayon et d'une paire de ciseaux
:
Ce dessin n'est pas isom�trique . Primo la courbe indiqu�e n'est de
toute �vidence pas une g�od�sique du plan. Secundo la longueur de l'arc AB n'est
pas "la vraie longueur", celle qu'on mesurerait sur "la vraie
surface", qui "n'est pas trou�e". Cette feuille de papier trou�e
n'est qu'une repr�sentation commode, sans plus. De m�me que cette technique
consistant dessiner un coup sur le recto de la feuille et l'autre sur son verso,
l'ensemble de la courbe n'apparaissant qu'en transparence.
Sur le dessin ci-apr�s on a figur� les g�od�siques de cette surface, calcul�es
par ordinateur (qui figure dans l'article).
Les parties tiret�es des courbes correspondent aux branches qui sont "de
l'autre c�t�" (comme on on regardait la surface "par le dessus").
Maintenant, une question : puis-je construire une repr�sentation plan et isom�trique
de ces g�od�siques ? La r�ponse est oui. Nous avons vu que nous pouvions change
la variable r en la variable r. Alors les g�od�siques peuvent parfaitement �tre
figur�es dans un plan de "coordonn�es polaire" ( r , j
). Les g�od�siques (ici une g�od�sique non radiale) ont l'allure ci-apr�s
:
Cette repr�sentation est isom�trique. Soient trois point A , B , Cappartenant
� la surface, situ�s sur une m�me g�od�sique. A' , B' et C' sont les points
homologues, dans cette repr�sentation [ r , j ].
Les point A et Bsont situ�s sur la m�me demie-nappe et l'arc g�od�sique qui
les joint ne franchit pas le cercle de gorge. Mesur�e dans ce plan, le long
de l'image de cette g�od�sique (qui n'est �videmment pas une g�od�sique de ce
plan), la longueur de l'arc A'B' est �gale � celle de l'arc AB, mesur�e dans
la surface.
L'arc BC
franchit la sph�re de gorge. M�me chose.
Mais cette isom�trie ne s'applique pas � toutes les g�od�siques de la surface.
Il en existe une, unique en son genre : le cercle de gorge, r�duit ici � un
point C'est la seule g�od�sique de cette surface qui se referme sur elle-m�me.
Les g�od�siques sont notre seule fa�on de comprendre une surface ou plus g�n�ralement
un espace non plan, non euclidien. Ce sont des rep�res fiables (m�me si nous
en avons des vision distordues � travers nos syst�mes de repr�sentation 2d ou
3d (en perspective). Ces g�od�siques, nous savons qu'elles "existent",
qu'elles sont intrins�ques. Celles d'une sph�re sont par exemple de grands cercles.
S'agissant d'espace-temps, ceux-ci sont peupl�s d'une infinit� de g�od�siques
spatio-temporelles. Ces g�od�siques existent intrins�quement et, pour comprendre
(�tymologiquement : enserrer, prendre dans ses bras) nous cherchons, comme des
aveugles, � "palper" ces g�od�siques. Mais les lignes de coordonn�es
de temps et d'espace n'ont aucune r�alit� intrins�que, de m�me que les deux
ensembles m�ridiens et parall�les ne font pas partie int�grante d'une sph�re.
Ils ne sont pas "livr�es avec". La g�om�trie de Schwarzschild, solution
de l'�quation de champ d'Einstein, est une hypersurface 4d. L�-dessus les th�oriciens
ont plaqu� des familles de courbes "� t constant", "� r constant",
etc.
Gravez vous dans la t�te que ces gestes restent totalement arbitraires. Mais
m�me les sp�cialistes de cosmologie th�orique perdent souvent conscience de
ce point, que doivent leur rappeler de temps � autre les math�maticiens-g�om�tres.
Il �tait donc parfaitement licite de changer de coordonn�es d'espace et de temps.
A ce stade, vous me direz : mais alors, qu'est-ce qui permet de dire si tel
choix de coordonn�es est meilleur que tel autre ? O� se trouvent le raisonnable
et le d�raisonnable ? C'est une question de go�t. Choisir des coordonn�es d'espace
et de temps, c'et plaquer une vision physique sur un objet math�matique. Dans
le cas de la Terre, nous lui avons donn� des p�les parce qu'elle tourne. Le
p�le nord est simplement le point de la surface "Terre" dont la normale
pointe vers l'�toile polaire, astre qui reste fixe dans la vo�te �toil�e.
A propos d'isom�trie et de non isom�trie, la cartographie illustre les probl�mes
qui r�sultent des tentatives de repr�senter une sph�re sur un plan. La projection
de Mercator (projection de la sph�re terrestre sur un cylindre tangent le long
de l'�quateur) est tr�s agr�able pour les gens qui habitent pr�s de l'�quateur.
Par contre l'habitant d'un des p�les a une mauvaise surprise : sn domaine, ponctuel,
se transforme en droite...
Il y a trente six mille fa�ons de projeter une sph�re sur un plan. Imaginons
celle-ci :
Imaginons que nous fabriquions des cartes g�ographiques sur ce mod�le et nous
les vendions. Succ�s imm�diat aupr�s des habitants des deux p�les : ces projections
sont alors, dans ces r�gions, quasi-isom�triques. Tr�s commode pour se faire
une id�e des distances dan ces coins-l�. Si la Terre avait �t� habitable sur
ses p�les et relativement inhospitali�re ailleurs, les cartes auraient sans
doute �t� cr��es de cette fa�on. On remarquera qu'alors le cercle fronti�re
de la projection plane ne correspond plus � l'�quateur, mais � un parall�le
(ici appartenant � l'h�misph�re nord). Au voisinage de cette r�gion, la carte
sera tr�s loin de l'isom�trie. De plus, sur cette carte bizarre, une partie
du territoire devra �tre figur� en trait plein et l'autre en pointill�, puis
qu'elle se situe au-del� de ce parall�le o� l'objet, bizarrement, semble "se
replier". A moins de fournir des cartes qui soient en forme de disques
et o� la suite du terrain figurerait sur l'autre face, sur le verso de la feuille.
Essayons de "penser tout cela en 3d". Nous avons repr�sent� Lanturlu
en train de plonger son bras gauche dans la sph�re de gorge et nous avons s�par�s
les deux dessins, ce qui semble �voquer le fait que ce second espace 3d puisse
�tre "ailleurs". Pour �tre plus correct, il aurait fallu superposer
les deux dessins en perspective en repr�sentant la main (droite) qui �merge
"en pointill�".
J'ai essay� de le faire, bien que �a n'ait pas �t� extr�mement facile. On aurait
pu aussi utiliser deux couleurs diff�rentes, par exemple rouge pour ce qui serait
dans le premier versant 3d de notre espace 3d non simplement connexe et vert
pour ce qui est dans l'autre versant. Un Lanturlu rouge verrait alors par exemple
ressortir la main rouge, gauche, qu'il a plong�e
dans la sph�re de gorge sous forme d'une main verte "droite".
Dommage que Raymond Devos ne s'int�resse pas aux maths. Quoique...
Evidemment "dans" la sph�re de gorge, il n'y a rien. Cette apparence
d'int�rieur, de contenu volumique, n'est d� qu'au choix de cet espace de repr�sentation
3d. De m�me qu'� l'int�rieur du trou m�nag� dans la feuille de papier il n'y
avait pas de papier non plus. Ca n'�tait qu'un accident li� au choix de cet
espace de repr�sentation plan. Quelqu'un qui s'acharnerait � utiliser cette
repr�sentation plane sans enlever le disque d�coup� dans le papier et qui persisterait
� demander "qu'y a-t-il dedans?" serait "� c�t� de la plaque"
(ou plut�t... dedans). Cette plaque "n'existe pas".
Repassons en 3d. Quand Lanturlu plonge son bras dans la sph�re de gorge, celle-ci
n'a pas non plus d'int�rieur. Cette apparence d'int�rieur n'est d� qu'� ce choix
d'espace de repr�sentation. On pourrait consid�rer que Lanturlu et sa main �mergeante
ont �t� dessin�s sur une feuille de papier poss�dant trois dimensions, o� on
aurait enlev�.. une sph�re (�quivalent 3d du disque de la feuille de papier).
Math�matiquement, un disque est une "boule b2" et une "sph�re
volume" une "boule b3". On appelle "boule" une cellule
contractile (voir le Topologicon, dans le "CD-Lanturlu") c'est � dire
un objet qui peut se contracter selon un point en se parcourant lui-m�me. Ces
exemples 2d et 3d sont l� pour illustrer le plan d'attaque suivi dans l'article
: la sph�re de Schwarzschild n'a pas "d'int�rieur", ni de "centre".
Lorsqu'on la franchit (passage hypertorique) on se retrouve dans un "autre
versant d'espace-temps".
Quelle est la justification de cette nouvelle interpr�tation de la "g�om�trie
de Schwarzschild" ?
R�ponse : l'�limination des singularit�s. Kruskal, avec son "prolongement
analytique", a fait des pieds et des mains pour p�n�trer � tout prix "dans"
cette fichue sph�re. Il n'a r�ussi qu'� tasser la singularit� (r�le initialement
tenu par la sph�re de Schwarzschild) en un point situ� "au centre de cet
objet". On s'est content� de ce tour de passe-passe. Mais nous pensons
que sans singularit�, c'est quand m�me mieux.
La Nature proteste, quand on la regarde sous le mauvais angle, en s�cr�tant
des singularit�s. C'est comme �a que nous voyons les choses. C'est un point
de vue a priori sur le "r�el". Nous pensons que les singularit�s n'existent
pas dans la nature. Nous pensons aussi que l'infini n'existe pas non plus. Mais,
comme dirait Kipling, ceci est une autre histoire. J'ai eu avec Souriau des
discussions agit�es sur cette question il y a un an.
-
Qu'est-ce qui me prouve que l'infini existe ? ....
-
Mais, sans infini, il n'y a plus de math�matiques ! ....
-
L'infini, tu l'a d�j� rencontr� ? Tu l'as d�j� vu, tenu en main ?
-
C'est une .... commodit�.
-
On engendre des nombres infiniment grands en supposant que l'on puisse ajouter
1 � un nombre, ind�finiment. Donc on se sert d'un infini s�quentiel pour
engendrer un infini num�rique. Ca se mord la queue, ton truc. -
Bon, disons que c'est une commodit�. L'homme a invent� deux choses importantes
au cours de son histoire : l'infini et les chiottes....
Je ne crois pas non plus que l'infiniment petit existe, ni physiquement, ni
math�matiquement. Mais cela fera l'objet d'autres papiers. Laissons pour le
moment de c�t� ces questions. Simple digression.
Au passage, voir "Scale Invariant Cosmology" de P.Midy et J.P.Petit,
International Journal of Modern Physics D, juin 1999, pages 271-280 o� nous
avons fait dispara�tre "la singularit� initiale de l'univers". C'est
une reformulation plus construite math�matiquement de l'id�e que j'avais publi�e
en 88-89 dans Modern Physics Letters A (papiers sur le site).
J'esp�re que quand vous lirez ces lignes nous aurons eu le temps, avec l'aide
des sieurs Lecot ou Boland, d'inclure ce nouvel article dans le site. Mais de
toute fa�on, m�me si ce travail s'y trouvait reproduit, ne vous y aventurez
pas. Comme avait inscrit je crois Archim�de � l'entr�e d'un sanctuaire-science
"nul n'entre ici qui ne soit g�om�tre". C'est tenseurs et compagnie,
domaine dans lequel Midy se r�gale, mais c'est aussi indigeste que du pudding
anglais.
On voit donc, � travers ce discours, que la vision physique que nous avons des
ph�nom�nes est issue de la fa�on dont nous avons d�cid� de nous les repr�senter.
Nous avons, en modifiant les coordonn�es spatiales, chang� de "topologie
locale", mot qui m�riterait � �tre pr�cis� math�matiquement, dit Souriau.
En fait, cette phrase est un doux euph�misme : il s'est simplement mis � hurler
quand j'ai prononc� ce mot. Son chat Pioum et moi avons eu toutes les peines
du monde � le calmer. Souriau, c'est le Tournesol des math�matiques. Il pratique
volontiers l'indignation math�matique port�e � son comble. Mais ces acc�s d'indignation
ne sont pas � confondre avec la col�re au sens trivial du terme. Je serais plut�t
"Monsieur Jourdain", dans ce domaine. Les physiciens font souvent
des math�matiques sans le savoir (et vice-versa d'ailleurs).
En admettant, provisoirement, l'usage de mots "non pr�cis�s", tout
se passe comme si on avait consid�r� jusqu'ici que la "topologie locale"
de la g�om�trie de Schwarzschild �tait "hypersph�rique (que la sph�re de
Schwarzschild "contienne" une "boule b3"). Nous l'avons
rendue "hypertorique". C'est la raison pour laquelle j'ai propos�
l'appellation (non contr�l�e) de "g�om�tries hypertoriques".
On a �voqu� plus haut l'inversion de l'espace. Cela se n�gocie avec les groupes.
Peut-on comprendre cela autrement ? On a vu que Lanturlu, plongeant son bras
gauche dans la sph�re de gorge, voyait ressortir ... une main droite. En fait,
chaque atome de sa main a suivi une g�od�sique "radiale", dirig�e
perpendiculairement � la surface.
Remarquons au passage, nous avions oubli� de le dire, que ce mode de repr�sentation
n'est pas isom�trique. Comme pour le coup du papier trou�, tout � l'heure. Si
on mesurait la longueur parcourue par un atome-t�moin appartenant � la main
de Lanturlu dans les deux demi-espaces, ceci ne co�nciderait pas avec la v�ritable
longueur qu'on peut calculer avec une ficelle.
Reprenons une dessin donn� plus haut.
Ici, nous avons figur� un arc g�od�sique AB qui franchit le cercle de gorge,
et son image dans l'espace de repr�sentation plane, en bas. Le caract�re de
repr�sentation non isom�trique appara�t alors encore plus clairement. Les longueurs
des arcs AB et A'B' sont tr�s diff�rentes.
Il est �videmment assez difficile d'imaginer que l'on puisse enfiler une ficelle
dans la sph�re de gorge d'un passage hypertorique. En tendant la ficelle, on
obtiendrait d'ailleurs une g�od�sique (ligne de plus court chemin). Au demeurant,
si on mesurait la longueur de cette ficelle dans l'espace de repr�sentation
3d (Lanturlu qui enfile son bras) et qu'on s'aventure � mesurer la longueur
de ladite ficelle, dans cet espace, on trouverait une longueur A'B' plus courte.
La v�ritable longueur, mesur�e dans l'hypersurface 3d, serait plus longue, comme
figur�e ci-dessus en 2d. La repr�sentation 3d o� figure Lanturlu est donc non-isom�trique,
comme la repr�sentation plane de la figure ci-dessus.
Au fond, ces concepts si subtils, issus de la th�orie des groupes, finissent
par devenir moins herm�tiques, gr�ce � quelques dessins, � condition de "voir
dans l'espace". Ce que je suis en train d'essayer de vous apprendre, c'est
� voir dans un espace 3d courbe.
Revenons � cette affaire d'�nantiomorphie, d'inversion des objets quand ils
franchissent la structure de gorge, en 2d ou en 3d. Envisageons, en 2d, des
g�od�sique "radiales". Le mot est devenu impropre puisqu'un rayon
est en principe une droite qui part d'un point. Il s'agit en fait de g�od�siques
� j constant. Voir une figure, plus haut, o� cette coordonn�e azimutale a �t�
indiqu�e. Mais, pour plus de concision nous continuerons � utiliser le mot "radial"
en utilisant des guillemets. Remarquez que ce mot "radial" est encore
une retomb�e du choix d'un espace de repr�sentation. Imaginez qu'une lettre
R (laquelle n'est pas identique � son image en miroir, � son image �nantiomorphe)
glisse, comme une d�calcomanie mal coll�e, le long de notre passage torique,
chacun de ses points cheminant selon une g�od�sique. Cette lettre va se retrouver
"de l'autre c�t�". Ce qui est int�ressant c'est de regarder le r�sultat
de l'op�ration dans la projection plane, dans l'espace de repr�sentation.
On a repr�sent� une sorte de ruban, dont les bords sont constitu�s par deux
g�od�siques. Que constate-t-on ? Dans l'espace de repr�sentation, la lettre
Rs'est invers�e, est devenue un "ia" russe, un R � l'envers, �nantiomorphe.
On commence � comprendre maintenant pourquoi la main de Lanturlu, en ressortant
dans "on "espace de repr�sentation 3d" semble s'�tre invers�e,
est devenue �nantiomorphe.