- Plus d'informations sur l'immersion et les géodésiques.
Toutes les surfaces ne peuvent pas être immergées dans R³. Par exemple, considérons la métrique (134)
où Rs > 0 et r > 0
est définie sur R modulo 2 
Exprimée avec ces coordonnées particulières [ r , ], cet élément de ligne est régulier presque partout (sauf au point r = 0). Ailleurs, aucun problème ne survient. Son groupe isométrique est O₂. Les orbites du groupe sont des cercles r = constant. On pourrait imaginer que cette surface puisse être immergée dans R³, où elle apparaîtrait alors axisymétrique autour d'un axe z.
Des géodésiques ( = constant ) existent. On pourrait penser qu'elles sont des « lignes méridiennes » de la surface, et que l'équation z ( ) d'un tel méridien peut être construite comme nous l'avons fait au début de l'article. Le long des géodésiques ( = constant ) : (135)
Si cette surface peut être immergée dans R³, le long de ces géodésiques : (136)
ce qui donne : (137)
Conclusion : cette surface ne peut pas être immergée dans R³.
Cette métrique (135) évoque une action répulsive.
Toutes les surfaces, telles qu'elles sont définies par leur métrique, ne peuvent pas l'être. En tout cas, ces surfaces « existent », même si nous ne pouvons pas les saisir entre nos mains. Considérons l'hypersurface 3D suivante, définie par : (138)
avec Rs > 0 et r > 0
est définie sur R modulo 2
Nous ne pouvons pas immerger une telle hypersurface. Mais elle existe et possède des « géodésiques planes » ( 
= /2).
Nous pouvons calculer le système géodésique de ces hypersurfaces 2D et 3D. Nous pouvons les représenter dans un plan (r,). Elles sont réelles. (139)
Leur tracé est identique à celui des deux surfaces précédentes, telles qu'elles sont définies par leur élément de ligne (134). Ces deux objets géométriques sont simplement connexes.
Fig.25 :** Géodésiques correspondant aux éléments de ligne **(134) **et **(138)
(Remarquez qu'elle est similaire à une action de répulsion).
Il y a quelque chose de troublant. Étant donné un élément de ligne, nous pouvons calculer le système géodésique. Par exemple, celui de la représentation classique de la géométrie de Schwarzschild correspond à : (140)
Nous pouvons calculer les courbes r () correspondant à cette équation différentielle. Elles sont réelles, y compris pour des valeurs r < Rs !
**
Fig.26 : Ligne géodésique complète correspondant à l'élément de ligne de Schwarzschild.
**
Nous comprenons pourquoi les physiciens ont été troublés après avoir observé ce résultat étrange. Mais il existe un fait mathématique : un élément de ligne peut produire un système géodésique réel, certaines parties correspondant à un élément de longueur imaginaire ds.
Que devient la physique ? Nous identifions ds à un incrément de temps propre. Plus haut, nous avons décidé de considérer que ds imaginaire ne correspond pas à un chemin physique, ce qui nous a obligés à réexaminer la « topologie locale » de l'hypersurface, en changeant la « topologie sphéroïdale locale » en « topologie hypertoroidale locale ».
Dans des travaux antérieurs, les personnes ont conservé l'hypothèse de « topologie sphéroïdale locale », ce qui rendait problématique l'interprétation physique de l'intérieur de la sphère de Schwarzschild. Dans la référence [1], dans la section 6.8, nous lisons :
(À l'intérieur de la sphère de Schwarzschild) *il semblerait naturel de réinterpréter *r *comme marqueur de temps et *t comme marqueur radial (...) ... ce qui impliquerait que ds² < 0 le long de cette ligne d'univers.
- Extension analytique de Kruskal.
Dans le système classique de coordonnées [x° , r , , ], la vitesse radiale de la lumière est : (141)
de sorte qu'elle tend vers zéro lorsque r tend vers Rs. L'argument de Kruskal est le suivant (référence [1], section 6.8).
*C'est une caractéristique indésirable des coordonnées de Schwarzschild que nous pouvons éliminer comme suit ; nous cherchons une transformation pour *r et t vers de nouvelles variables u *et *v dans lesquelles l'élément de ligne prend la forme : (6.187)
**
...* nous arrivons à une transformation appropriée pour l'intérieur du rayon de Schwarzschild :* (6.204) *
*
Tandis que, à l'extérieur de cette sphère : (6.201) *
*
La condition fondamentale est que f soit régulière sur la sphère de Schwarzschild r = Rs. Toujours à partir de [1] :
*Ainsi *u *sert de marqueur radial global, et *v sert de marqueur temporel global.
Par ailleurs, à partir de (6.187), les géodésiques nulles (ds = 0) donnent une « vitesse de la lumière constante » : (142)
À partir de (6.201), nous voyons que lorsque r tend vers l'infini, f tend vers zéro, de sorte qu'Adler, Schiffer et Bazin disent [1] : *
Ils ne correspondent toutefois pas aux coordonnées sphériques de l'espace plat à distance asymptotique, comme le font les coordonnées de Schwarzschild.
-
- La métrique de Kruskal est également une solution non singulière des équations d'Einstein dans ces régions et est équivalente à la solution de Schwarzschild, mais ne présente aucune singularité à la frontière* (la sphère de Schwarzschild). Il s'agit d'une extension analytique de la variété.
Kruskal se concentre sur le problème à cette frontière, qui devient non singulière, la singularité étant concentrée au « centre géométrique » où f tend vers l'infini. Toujours en utilisant la référence [1], nous reproduisons le passage consacré aux trajectoires radiales des photons vers l'intérieur :
*En termes de *u , v la trajectoire est simple ; en termes de r et t , cependant, nous voyons qu'elle commence à un certain r > Rs et à un certain x° fini, se déplace vers l'intérieur vers r = Rs alors que x° tend vers l'infini, et traverse la ligne x° = infini vers l'intérieur de la sphère de Schwarzschild. Après cela r continue à diminuer le long de la trajectoire, mais x° *diminue. ... Ce traitement actuel clarifie également que x° n'est pas un marqueur raisonnable du temps à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild.
Nous voyons que « rien n'est parfait ». Avec son choix particulier de coordonnées, Kruskal parvient à gérer le passage à travers la sphère de Schwarzschild, en confinant la caractéristique singulière de la solution géométrique à une « singularité centrale ». Mais la métrique n'est plus lorentzienne à l'infini.
Cela montre comment le choix des coordonnées modifie l'interprétation de la solution. Le nôtre introduit un changement dans la « topologie locale » (pont hypertoroidal), mais élimine toute singularité.
- Retour à l'immersion.
Le théorème de Wiener-Graustein dit que toute surface n-dimensionnelle, avec n > 2, peut être immergée dans un espace dont la dimension minimale est (143)
Pour les hypersurfaces 4D, cela correspond à un espace à 10 dimensions. Nous savons que les géodésiques de la géométrie de Schwarzschild se trouvent dans des plans. = p/2 correspond à l'un d'entre eux. Nous pouvons donc nous concentrer sur un sous-ensemble des géodésiques ( = p/2). Ces géodésiques dépendent de deux paramètres l et h. Nous savons que les géodésiques ( l =1 ) correspondent à des particules dont la vitesse est nulle à l'infini. En outre, choisissons le sous-ensemble des géodésiques ( = constant ). Alors : (144)
Introduisons une coordonnée supplémentaire z et écrivons : (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Une équation différentielle dont la solution est : (147)
Nous pouvons représenter ces géodésiques dans un espace 3D [ z , r ,]. Elles sont des lignes méridiennes d'une surface axisymétrique.
Fig. 27 : Le méridien de la surface dans laquelle une immersion isométrique **** des géodésiques de Schwarzschild ( = constant) est effectuée.
Dans l'espace 3D, cette surface ressemble à la figure 28 (demi-coupure).
**
Fig.28 : La surface d'immersion.
**
Si nous traçons les géodésiques « radiales » dessus, nous obtenons la figure 29.
**Fig.29 : Représentation des géodésiques « radiales ». Bas : leur projection sur un plan **[ r ,] **. **
C'est une immersion très partielle, car elle est limitée à l'ensemble des géodésiques « radiales ». La figure 29 évoque un pli et suggère une énantiomorphie. En effet, considérons un ensemble de trois points suivant des géodésiques radiales. Nous obtenons
**
Fig.30-a : Trois points-masses tombant vers le col le long de chemins « radiaux ».
**
et :
**
Fig.30-b : Le même, après avoir traversé le col.
Le triangle a été inversé.
**
Sur la projection plane [ r ,] l'orientation du triangle est inversée. Imaginez maintenant quatre particules-test suivant des trajectoires radiales, tombant vers la sphère de Schwarzschild, formant un tétraèdre. Voir la figure 31.
**
Fig.31 : Quatre particules tombant sur la sphère de Schwarzshild le long de géodésiques « radiales » dans un espace euclidien 3D.
**
**
Fig.32 : Après « rebond » sur la sphère de Schwarzschild, les particules se déplacent dans l'espace jumeau. Le tétraèdre est inversé (énantiomorphie)
**
Retournons à la représentation précédente. Le vecteur normal est également inversé :
**Fig.33 : Une géodésique particulière ** **= constant dans sa représentation dans l'ensemble des géodésiques (l = 1), dans un espace ( r ,, z ). **
Version originale (anglais)
- **More about imbedding and geodesics. **
All surfaces cannot be imbedded in R3. For example, consider the metric (134)
where Rs > 0 and r > 0
is defined on R modulo 2
Expressed with those [ r , ] peculiar coordinates, this line element is regular almoste everywhere (except at the point r = 0). Elsewhere no problem arises. Its isometric group is O2. The orbits of the group are circles r = constant. We could imagine that this surface could be imbedded in R3, where it would appear axisymmetric, around some z-axis.
( = constant ) geodesics exist. We could think that they are "meridian lines" of the surface and that the equation z ( ) of such meridian can be built as we did at the begining of the paper. Along ( = constant ) geodesics : (135)
If this surface can be imbedded in R3, along those geodesics : (136)
which gives : (137)
Conclusion : this surface cannot be imbedded in R3.
This metric (135) evokes some repulsive action.
All surfaces, as defined by their metric, cannot be. Anyway, these surfaces "exist", even if we cannot grasp them in our hands. Consider the following 3d hypersurface, as defined by : (138)
with Rs > 0 and r > 0
is defined on R modulo 2
We cannot imbed such hypersurface. But it exists and owns "plane geodesics" ( = /2).
We may compute the geodesic system of these 2d and 3d hypersuface. We can figure them in a plane (r,). They are real. (139)
Their design is identical to the ones of the precedent 2 surface, as defined by its line-element (134). These two geometric objects are simply connected.
Fig.25 :** Geodesics corresponding ** **to line elements **(134) **and **(138)
(Notice that it is similar to a repulsion action).
There is something puzzling. Given a line-element, we can compute the geodesic system. For example the one of the classical representation of Schwarzschild geometry corresponds to : (140)
We may calculate the curves r () corresponding to this differential equation. They are real, including for r < Rs values !
**
Fig.26 : Complete geodesic line, correspond to Schwarzschild line element.
**
We understand why physicists were puzzled, after looking at this strange result. But there is a mathematical fact : a line element may produce a real geodesic system, some portions corresponding to imaginary length element ds.
What about physics ? We identify ds as a proper time increment. Above we have decided to consider that imaginary ds does not correspond to physical path, which obliged us to reconsider the "local topology" of the hypersurface, changing the "local spheroidal topology" into a "local hypertoroidal topology".
In previous works people kept this "local spheroidal topology" hypothesis, so that the physical interpretation of the "inside" of the Schwarzschild sphere became problematic. In reference [1], in section 6.8 we read :
(Inside the Schwarzschild sphere) *it would thus appear natural to reinterpret *r *as a time marker and *t as radial marker (...) ... that would imply that ds2 < 0 *along this world-line. *
- The Kruskal analytical extension.
In classical [x° , r , , ] coordinate system the radial velocity of light is : (141)
so that it tends to zero when r tends to Rs. The Kruskal's argument is the following ( reference [1], section 6.8 ).
This is an undesirable feature of the Schwarzchild coordinates that we can eliminate as follows; we seek a transformation for r and t to new variables u *and *v in which the line element has the form : (6.187)
**
...* we arrive to a transformation appropriate to the interior of the Schwarzschild radius :* (6.204) *
*
While, out of that sphere : (6.201) *
*
The basic requirement is that f to be regular on the Schwarzschild sphere r = Rs. Still from [1] :
*Thus *u *serves as global radial marker, and *v serves as global time marker.
By the way, from (6.187) , null geodesics (ds = 0) gives a "constant light velocity" : (142)
From *(6.201) *we see that when r tends to infinite f tends to zero, so that Adler, Schiffer and Bazin say [1] : *
They do not, however, correspond to spherical coordinates for flat space at asymptotic distance, as the Schwarzschild coordinates do.
-
- The Kruskal metric is also a non singular solution of the Einstein equation in these regions and is equivalent to the Schwarzschild solution, but has no singularity at the boundary* (the Schwarzschild sphere). *This is an analytical extension of the manifold. *
Kruskal concentrates of the problem at this boundary, which becomes non singular, the singularity being concentrated at the "geometric center" where f tends to infinite. Still using reference [1] we reproduce the passage devoted to inwards photon's radial paths :
*In terms of *u , v the trajectory is simple; in terms of r and t , however, we see that it begins at some finite r > Rs and finite x° , travels inwards towards r = Rs as x° tends to infinite, and crosses the line x° = infinite to the interior of the Schwarzschild sphere. After that r *continues to decrease along the trajectory, but *x° decreases. ... The present treatment also clarifies that x° is not a reasonable time marker inside the Schwarzschild sphere.
We see that "nothing is perfect". With his peculiar choice of coordinates, Kruskal manages the crossing of the Schwarschild sphere, confining the singular feature of the geometrical solution into a "central singularity". But the metric is no longer Lorentzian at infinite.
This shows how the coordinate choice modifies the interpretation of the solution. Ours introduces a change in the "local topology" (*hypertoroidal bridge *), but all singularity is eliminated.
22)** Back to imbedding. **
The Wiener-Graustein theorem says that any n-dimensional surface, with n > 2, can be imbeded in a spaces whose minimum dimension is (143)
For 4d hypersurfaces it corresponds to a 10 dimensions space. We know that Schwarzschild geometry geodesics lie in planes. = p/2 corresponds to one of them. Then we can concentrate on a subset of ( = p/2) geodesics. These geodesics depend on two parameters l and h . We know that ( l =1 ) geodesics correspond to particles whose velocity is zero at infinite.. In addition, choose the subset of ( = constant ) geodesics. Then : (144)
Introduce an additional coordinate z and write : (145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
A differential equation whose solution is : (147)
We can figure these geodesics in a 3d [ z , r ,] space. They are meridian lines of an axisymmetric surface.
Fig. 27 : The meridian of the surface in which an isometric imbedding **** of the ( = constant)** Schwarzschild geodesics is operated.**
In 3d space, this surface looks like the figure 28 (an half cut).
**
Fig.28 : The imbeding surface.
**
If we draw the "radial" geodesics on it, we get the figure 29.
**Fig.29 : Representation of "radial" geodesics. Bottom : their projection on a **[ r ,] **plane. **
It is a very* partial* imbeding, for it is limited to the set of "radial" geodesics. The figure 29 evokes a pleat and suggests enantiomorphy. In effect, consider a set of three points following radial geodesics. We get
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Fig.30-a : Three mass-points, falling towards the throat along "radial" paths.
**
and :
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Fig.30-b : The same, after crossing the throat.
The triangle has been inversed.
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On the plane projection [ r ,] the orientation of the triangle is reversed. Imagine now four test particles following radial trajectories, falling toward the Schwarzschild sphere, forming a tetrahedron. See figure 31.
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Fig.31 : Four particles falling onto the Schwarzshild sphere along "radial" geodesics in an euclidean 3d representation space.
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Fig.32 : After "bouncing" on the Schwarzschild sphere the particles travel in the twin space. The tetraedron is reversed (enantiomorphy)
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Let us return to the precedent representation. The normal vector is reversed too :
Fig.33 : A peculiar = constant geodesic in its representation In the set of (l = 1)** geodesics, in a** ( r ,, z )** space. **