Le Retournement du Tore
9 décembre 2004
page 6
Le retournement non trivial du tore
J.P.Petit :
Comptes Rendus Académie des Sciences.
tome 293 , séance du 5octobre 1981, série 1 pp. 269-272
Je me contenterai de présenter la
suite des dessins, sans les commenter.
Retournement non trivial du tore. Première partie
de la transformation
Retournement non trivial du tore. Seconde partie de
la transformation
Quand on arrive à la figurev on voit qu'il est alors aisé de faire coincider la structure
grise et la structure rose pour transformer cet objet en revêtement à
deux feuillets de la bouteille de Klein.
Le retournement s'opère alors par
échange des nappes en regard. Ci-après, le même dessin avec
un codage chromatique.
Revêtement à deux feuillets de la bouteille
de Klein, avec codage chromatique
( ce dessin ne faisant pas partie de mon rapport annuel au Cnrs.
On le trouvera dans le Topologicon )
Les différentes familles de tores.
Ce qu'avait démontré Stephen
Smale en 1957 c'était qu'il n'y avait qu'une seule famille d'immersions
de la sphère et que toutes celles-ci pouvaient être reliées
entre elles par une homotopie. Celles-ci formaient un groupe dont l'élément
neutre consistait à laisser l'objet en l'état. On se demanda s'il
pourrait en être de même pour le tore. Les mathématiciens
Ioan James et Emery Thomas ont montré que les immersions du tore se répartissaient
en quatre continents entre lesquels il était impossible de passer à
l'aide d'une homotopie régulière.
Les quatre familles de tores
Le "tore standard", dessiné
au centre de la feuille, appartient à la même famille que l'objet
figuré en b. C'est ce que j'ai au passage montré
dans la version du retournement du tore que j'ai inventée en 1980. La
famille évoquée en a représente un tore qui a subi un vrillage
de 360°. Il ressemble au tore standard mais les deux se définissent
à partir de leur système de cartographie, à l'aide de deux
familles de courbes. Dans le tore standard on utilise deux ensembles de cercles
assimilés à des méridiens et à des parallèles.
Sur le tore a on devrait compléter la famille de cercles collée
dessus par une seconde famille, se vrillant en sens inverse. Ce qu'on peut montrer
alors c'est qu'il est impossible, à l'aide d'un homotopie régulière
d'amener le maillage de ce tore a en coincidence avec le maillage du tore standard
( cercles méridiens plus cercles parallèles ). C'est en ce sens
que ce sont des objets différents. Tous ces objets peuvent évidemment
se configurer selon un revêtement à deux feuillets de la bouteille
de Klein.
La puissance des outils du géomètre
est de pouvoir prédire ce qui est possible et ce qui ne l'est pas.
Transformer le tore standard en tore de la figure b : oui.
Passer de c à d : non.
Ca évite de perdre son temps bêtement
et ça incite surtout à rechercher des choses qui ne sont en rien
évidentes, comme de retourner une sphère. Il en est de même
dans toutes les sciences. Il arrive que les gens passent à côté
de démarches fécondes, pendant des années ou même
des siècles, simplement parce qu'ils les croyaient impossibles à
effectuer. J'ai consacré quelques années de ma vie à construire
une théorie de la suppression des ondes de choc autour d'un objet se
déplaçant à vitesse supersoniques dans un gaz, à
l'aide d'un champ de forces de Laplace, de la " MHD ". Un étudiant
a même fait sa thèse sur ce sujet sous ma direction et nous avons
publié ces travaux dans différentes revues à comité
de lectures et colloques scientifiques. C'est un thème qui commencent
seulement à faire surface, trente ans après. On subodore que les
Américains disposeraient d'avions hypersoniques capables d'évoluer
à Mach 10 sans créer d'onde de choc (et en particulier sans subir
les formidables contraintes thermiques liées à la recompression
de l'air derrière ces "bangs". C'est le fameux mythe de l'Aurora,
appareil croisant à l'altitude où se produisent les aurores boréales,
entre 80 et 150 km d'altitude. Aurora est aussi la préfiguration des
futirs lanceuirs spatiaux qui, s'appuyant sur l'air, seront beaucoup plus économiques
que les fussées du Cnes. Il a été impossible, en France,
d'initier de telles recherches (j'ai eu ces idées en 1975), parce que
les gens, en particulier au Cnrs, les trouvaient totalement déraisonnables.
Le résultat représente trente années de retard vis à
vis des Etats Unis, à mon avis totalement irrattrapables.
La blague à tabac
Pour être complet il faut citer les
versions du retournement de la sphère ayant pour objet central une blague
à tabac. C'était un objet qui était courant quand j'étais
jeune, mais qu'on ne doit plus guère rencontrer aujourd'hui. Le premier
qui ait dessiné ces séquences est Georges Francis. Depuis quelques
années je travaille sur une version polyédrique de ces versions,
qui a déjà donné un modèle central assez joli. Mais,
pour vous le montrer, il faudra que j'arrive à remettre la main dessus.
Assez vite, j'espère, car c'est un des objets les plus fascinants que
j'aie jamais créé.