Răsturnarea sferei și imersiunea sticlei Klein

Răsturnarea sferei

7 decembrie 2004

Pagina 1

Introducere.

Vom considera în ceea ce urmează suprafețe închise, cum ar fi sfera, torul și câteva altele. Acestea sunt suprafețe în sensul în care le înțelege omul de rând, adică obiecte cu două dimensiuni, reprezentate într-un spațiu euclidian tridimensional, R3, care este spațiul nostru mental de reprezentare. Aceste suprafețe pot fi reprezentate în mai multe moduri. Dacă nu se taie singure, vom spune că sunt îmbrăcate (în R3). Dacă se taie, vom vorbi atunci de imersiuni, iar această tăiere va fi reprezentată de prezența unui mulțime de auto-intersecție (auto-intersecție).

În imersiunile noastre presupunem că planul tangent variază în mod continuu și că suprafața nu are singularități, cum ar fi vârful unui con. Suprafețele noastre vor fi regulate.

În cazul imersiunilor vom cere ca, de-a lungul liniilor de auto-intersecție, cei doi plane tangente la părțile care se taie să fie distincte.

Lumea geometriei, așa cum o concepe matematicianul, este destul de diferită de lumea fizică. Faptul că suprafețele pot să se taie singure nu îl deranjează deloc. Lumea fizică nu permite astfel de lucruri. Dar devine posibil în lumea metafizică. Astfel, în Biblie se citește că atunci când morții vor fi înviați, vor fi în forma unor „corpuri glorioase”. Acestea vor putea trece prin orice și, în principiu, vor putea să se taie singure. Astfel, când va veni timpul Judecății de Apoi, dacă vă plimbați prin Roma sub forma unui corp glorios, dacă vă pierdeți și căutați piazza Navona, vă veți putea îndoi să întrebați drumul unui alt om înviat, care are aceeași aparență ca și voi. Presupunem că persoana pe care o întrebați merge în direcția opusă față de acea locație. În spațiul fizic obișnuit, pentru a vă indica drumul corect ar trebui să se rotească pe sine pentru a arăta cu degetul în acea direcție. Dar dacă merge sub forma unui corp glorios, această rotație nu va mai fi necesară. Poate arăta cu degetul arătător spre burta sa și se poate traversa singur. Când mâna sa va reapărea ieșind din spatele său, nu-i va mai rămâne decât să vă spună „e pe acolo”. Înfiind brațul prin abdomenul său a creat în învelișul său corporal o mulțime de auto-intersecție formată din două cercuri, care va dispărea atunci când va reveni la configurația sa normală.

Dacă un om închide gura, pune o pinză pe narine pentru a le închide și ignorăm celelalte orificii naturale, învelișul său corporal adoptă topologia sferei S2. Imaginați-vă un fiu înviat sub forma unui corp glorios ale cărui orificii naturale sunt astfel închise. Știm că poate să se taie singur, adică învelișul său corporal poate trece dintr-o situație de imersiune într-o situație de imersiune. Unul dintre problemele metafizice care s-au pus a fost dacă un om înviat sub forma unui corp glorios poate să se răstoarne fără a face îndoituri.

O mică observație în treacăt. Magicienii știu să folosească „cercuri magice” care pot pătrunde unul în altul „în mod magic”. Am putea imagina reprezentarea suprafețelor folosind un fel de „grilaj magic” astfel încât cele două părți, reprezentate aici una în negru și cealaltă în roz, să poată pătrunde una în alta fără dificultate.

Grilajul magic

În orice caz, trebuie recunoscut că nu există adesea o mare diferență între matematică și magie. Am conceput acum douăzeci de ani o bandă desenată: Topologicon. Este acum epuizată și greu de găsit, cu excepția în formă de obiect de colecție. Pe una dintre paginile sale se putea vedea următorul lucru:

Este o mare păcat că editura Belin a decis să renunțe la această colecție. Trebuie spus că cu un cost de producție de doar puțin peste un euro, vânzarea cărților la 13 euro (plus livrare), prin corespondență, fără a lua în considerare faptul că lăsa o marjă de profit de 12 euro, adică un profit depășind 92 la sută din prețul de vânzare, nu corespunde unei strategii comerciale foarte evidente, mai ales pentru lucrări în negru și alb.

Considerăm o sferă S2 imersată în R3. Presupunem că suprafața sa exterioară este gri și că interiorul are o culoare roz închis. Putem apăsa pe două puncte antipodale, pe care le vom numi arbitrar „polul nord” și „polul sud”, până le aducem în contact într-un punct. Putem face asta, de exemplu, cu o coacăză. Când vorbim despre o coacăză matematică (nu știm dacă coacăzăle se înviază sau nu sub forma unui corp glorios), cele două regiuni polare, după ce au fost în contact într-un punct, pot să se taie reciproc după o curbă de auto-intersecție care afectează forma unui cerc. Anticipând, vom spune că această suprafață a suferit o catastrofă de tip Do.

Putem fi tentați să încercăm să răsturnăm coacăză, sfera, continuând operația. Dar atunci va apărea o buclă, care va deveni un pli urât, sau mai exact o suprafață de întoarcere (figura d).

La sfârșitul anilor 50, întrebarea gravă dacă se putea răsturna o coacăză metafizică fără a face îndoituri rămânea nerezolvată. Adevărul este că toată lumea credea că era strict imposibil. Dar în 1957 un matematician, Stephen Smale (care a primit Medalia Fields, dar pentru un alt lucru), a demonstrat că diferitele imersiuni ale sferei S2 în R3 formează un singur ansamblu și că întotdeauna se poate găsi o succesiune de deformații continue ale imersiunilor (numite și omotopii regulate) care să permită trecerea de la o situație la alta. Corolarul era că trebuia să se poată trece, prin intermediul unei succesiuni continue de imersiuni, de la imersiunea standard a sferei S2 la imersiunea antipodală. Spus în termeni mai simpli: trebuia să se poată răsturna o sferă fără a face îndoituri, cu condiția să i se permită să se răstoarne singură.

Șeful lui Smale se numea Raoul Bott. Acesta a întrebat elevul său cum ar trebui să procedeze și Smale a răspuns că nu avea nicio idee, dar că teorema sa era complet invulnerabilă. Smale nu vedea deloc în spațiu, dar nu-i păsa (cum se întâmplă la mulți geometri). Și, dacă suntem foarte sinceri, după ce și-a demonstrat teorema, se înjosea de modul în care s-ar putea realiza această întreprindere și s-a grăbit să se ocupe de un alt subiect, lăsând colegii matematicieni în cea mai mare încurcătură. Mi se pare că nu e foarte amabil să creezi astfel de probleme și apoi să lasi oamenii să se descurce singuri pentru a găsi soluția, după zece ani.

Trebuie spus că este destul de greu să-ți imaginezi imersiuni, în minte. Totuși, cunoaștem suprafețe care nu pot fi reprezentate în R3 decât în acest mod. De exemplu, sticla Klein.

Sticla Klein

A fost reprezentată aici cu un sistem de rețea-sistem de coordonate format din două seturi de curbe închise, asemănător cu torul. Astfel, putem rețeaua o sticlă Klein fără a crea singularități ale rețelei. Dar, cum se poate vedea, această suprafață trebuie să se taie necesar după o curbă închisă, un cerc. Nu putem deci îmbrăca o sticlă Klein în R3. Am încercat, nu merge. Putem doar să o imersăm. Datorită talentelor mele de desenator, puteți aproape să vă reprezentați acest obiect. Dar când a venit vorba de răsturnarea unei sfere, a trebuit să considerăm configurații mult mai complicate. Modul de reprezentare nu era deloc convenabil. Unii foloseau plastilină. Când îi vedeam discutând între ei la conferințe, se mutau de obicei la o parte și deschideau față de colegii lor cutii de pantofi sau cutii de pălării, conținând obiecte mai mult sau mai puțin monstruoase. Desenul de mai sus evocă modul cel mai convenabil de a construi aceste obiecte și de a le manipula: folosind ceea ce numim „sârmă de cupru”, un aliaj suficient de flexibil pentru a o îndoi fără dificultate, dar care păstrează totuși elasticitatea. Cel mai bun mod de procedat este să materializăm punctele de întâlnire ale liniilor (recomandăm tije de 2 mm diametru) fixându-le cu legături din sârmă. Avantajul este că le putem face să alunece, cel puțin până când considerăm că obiectul a dobândit o formă definitivă. Apoi putem elimina orice alunecare prin aplicarea unei picături de lipici.

În practică, este destul de rar să ai nevoie de sticle Klein. Mai jos, o fotografie a unei sticle Klein pe care o folosesc pentru nevoile mele personale.

Aceste obiecte, dacă ai un minim simț al formelor, sunt destul de frumoase. Am făcut să fie construite mai multe când eram profesor de sculptură la École des Beaux-Arts din Aix-en-Provence. Dar înainte să trec la această tehnică, am avut multe încercări în care am amestecat sârma moale și carton, rezultând lucrări cu o estetică destul de discutabilă. Îmi amintesc că o dată am trebuit să iau trenul de la Marseille pentru a aduce la Paris un prieten regretat, matematicianul André Lichnérowicz, mai multe suprafețe pe care le-am reușit să le reprezint suficient de clar. În special, suprafața Boy, pe care am lipit o hartă geografică centrată pe un singur pol. A dat la sfârșit un obiect absolut superb, expus timp de douăzeci de ani în