Răsturnarea sferei și imersiunea sticlei Klein

Răsturnarea sferei

7 decembrie 2004

Pagina 1

Introducere.

Vom considera în ceea ce urmează suprafețe închise, cum ar fi sfera, torul și câteva altele. Acestea sunt suprafețe în sensul în care le înțelege omul de rând, adică obiecte cu două dimensiuni, reprezentate într-un spațiu euclidian tridimensional, R3, care este spațiul nostru mental de reprezentare. Aceste suprafețe pot fi reprezentate în mai multe moduri. Dacă nu se taie singure, vom spune că sunt înșirate (în R3). Dacă se taie, vom vorbi despre imersiuni, iar această tăiere va fi reprezentată de prezența unui mulțime de auto-intersecție (auto-intersecție).

În cazul încrucișărilor, vom presupune că planul tangent variază în mod continuu și că suprafața nu are singularități, cum ar fi vârful unui con. Suprafețele noastre vor fi regulate.

În cazul imersiunilor, vom cere ca, de-a lungul liniilor de auto-intersecție, cei doi plane tangente ale părților care se intersectează să fie distincte.

Lumea geometriei, așa cum o concepe matematicianul, este destul de diferită de lumea fizică. Faptul că suprafețele pot să se taie singure nu îl deranjează deloc. Lumea fizică nu permite astfel de lucruri. Dar devine posibil în lumea metafizică. Astfel, în Biblie se citește că, când morții vor fi înviati, vor fi în forma unor „corpuri glorioase”. Acestea vor putea trece prin orice și, în principiu, vor putea să se taie singure. Astfel, când va veni timpul judecății de apoi, dacă te plimbi prin Roma sub forma unui corp glorios, dacă te-ai pierdut și cauți piața Navona, ai putea fi tentat să îți ceri direcția unui alt om înviat, care are aceeași aparență ca tine. Presupunem că persoana pe care o întrebi merge în direcția opusă față de acea locație. În spațiul fizic obișnuit, pentru a-ți indica drumul corect, ar trebui să se rotească în jurul său pentru a arăta cu degetul în acea direcție. Dar dacă merge sub forma unui corp glorios, această rotație nu mai este necesară. El poate arăta cu degetul arătător spre burta sa și poate să se taie singur. Când mâna sa va reapărea ieșind din spatele său, nu mai are decât să îți spună „e pe acolo”. Înfigându-și brațul prin abdomen, a creat în învelișul său corporal o mulțime de auto-intersecție formată din două cercuri, care va dispărea când va reveni la configurația normală.

Dacă un om închide gura, pune o mănușă de răzătoare pe nări pentru a le închide și ignorăm celelalte orificii naturale, învelișul său corporal adoptă topologia sferei S2. Imaginăm un fiu al învierii sub forma unui corp glorios, ale cărui orificii naturale sunt astfel închise. Știm că poate să se taie singur, adică învelișul său corporal poate trece dintr-o situație de încrucișare într-o situație de imersiune. Unul dintre problemele metafizice care s-au pus a fost dacă un om înviat sub forma unui corp glorios poate să se răstoarne fără a face îndoituri.

O mică observație pe margine. Magicienii știu să folosească „cercuri magice” care pot pătrunde una în alta „în mod magic”. Am putea imagina reprezentarea suprafețelor folosind un fel de „grilaj magic” astfel încât cele două părți, reprezentate aici una în negru și alta în roz, să poată pătrunde una în alta fără dificultate.

Grilajul magic

În orice caz, trebuie să recunoaștem că adesea nu există o mare diferență între matematică și magie. Am conceput acum douăzeci de ani o bandă desenată: Topologicon. Este acum epuizată și greu de găsit, cu excepția în formă de obiect de colecție. Pe una dintre paginile sale se putea vedea următorul lucru:

Este o mare păcat că editura Belin a decis să renunțe la această colecție. Trebuie spus că cu un preț de producție de doar puțin peste un euro, vânzarea cărților la 13 euro (plus livrare), în vânzare prin corespondență, în afară de faptul că lăsa o marjă de profit de 12 euro, adică un profit depășind 92 la sută din prețul de vânzare, nu corespunde unei strategii comerciale foarte evidente, mai ales pentru alb-negru.

Considerăm o sferă S2 încrucișată în R3. Presupunem că suprafața exterioară este gri și că interiorul are o culoare roz închis. Putem apăsa pe două puncte antipodale, pe care le vom numi arbitrar „polul nord” și „polul sud”, până le aducem în contact într-un punct. Putem face asta, de exemplu, cu o chifle. Când vorbim de o chifle matematică (nu știm dacă chiflele se înviau sau nu sub forma unui corp glorios), cele două regiuni polare, după ce au fost în contact într-un punct, pot să se taie una pe alta după o curbă de auto-intersecție care afectează forma unui cerc. Anticipând, vom spune că această suprafață a suferit o catastrofă de tip Do.

Putem fi tentați să încercăm să răsturnăm chifla, sfera, continuând operațiunea. Dar atunci va apărea un „borc” care va deveni un pli urât, sau mai exact o suprafață de întoarcere (figura d).

La sfârșitul anilor 50, întrebarea gravă dacă se putea răsturna o chifle metafizică fără a face îndoituri rămânea nerezolvată. Adevărul e că toată lumea credea că era strict imposibil. Dar în 1957 un matematician, Stephen Smale (care a primit Medalia Fields, dar pentru un alt lucru), a demonstrat că diferitele imersiuni ale sferei S2 în R3 formează un singur grup și că întotdeauna se poate găsi o succesiune de deformații continue ale imersiunilor (numite și omotopii regulate) care permit trecerea de la o situație la alta. Consecința era că trebuia să se poată trece printr-o succesiune continuă de imersiuni de la încrucișarea standard a sferei S2 la încrucișarea antipodală. Spus în termeni mai simpli: trebuia să se poată răsturna o sferă fără a face îndoituri, cu condiția să-i fie permis să se răstoarne singură.

Șeful lui Smale se numea Raoul Bott. Acesta i-a întrebat elevul său cum ar trebui să procedeze și Smale a răspuns că nu avea nicio idee, dar că teorema lui era complet invulnerabilă. Smale nu vedea deloc în spațiu, dar nu-i păsa (așa cum se întâmplă la mulți geometri). Și, dacă suntem foarte sinceri, după ce a demonstrat teorema, se bătea de râs de modul în care s-ar putea realiza această operațiune și s-a grăbit să se ocupe de un alt subiect, lăsând colegii matematicieni în cea mai mare încurcătură. Mi se pare că nu e foarte drăguț să creezi astfel de probleme și apoi să lăși oamenii să se descurce singuri pentru a găsi soluția, după zece ani.

Trebuie spus că este destul de greu să-ți imaginezi imersiuni în minte. Totuși, știm că există suprafețe care nu pot fi reprezentate în R3 decât în acest mod. Sticla Klein, de exemplu.

Sticla Klein

A fost reprezentată aici cu un sistem de rețea-coordonate format din două mulțimi de curbe închise, asemănător torului. Astfel, putem rețesa o sticlă Klein fără a crea singularități de rețea. Dar, cum se poate vedea, această suprafață trebuie să se taie singură după o curbă închisă, un cerc. Nu putem deci încrucișa o sticlă Klein în R3. Am încercat, nu merge. Putem doar să o imersăm. Datorită talentelor mele de desenator, ajungeți cam la o reprezentare a acestui obiect. Dar când a venit vorba de răsturnarea unei sfere, a trebuit să considerăm configurații mult mai complicate. Modul de reprezentare nu era deloc convenabil. Unii foloseau plastilină. Când îi vedeam discutând între ei la conferințe, se mutau de obicei la o parte și deschideau față de colegii lor cutii de pantofi sau cutii de pălării, conținând obiecte mai mult sau mai puțin monstruoase. Desenul de mai sus evocă cea mai convenabilă metodă de a construi și manipula astfel de obiecte: cu ceea ce se numește „sârmă de cupru”, un aliaj suficient de flexibil pentru a putea fi îndoit fără dificultate, dar care păstrează totuși elasticitatea. Cel mai bun mod de procedat este să materializăm punctele de întâlnire ale liniilor (recomandăm tije de 2 mm diametru) fixându-le cu legături de sârmă. Avantajul este că le putem face să alunece, cel puțin până când considerăm că obiectul a dobândit o formă definitivă. Apoi putem elimina orice alunecare prin aplicarea unei picături de lipici.

În practică, este destul de rar să ai nevoie de sticle Klein. Mai jos, o fotografie a unei sticle Klein pe care o folosesc pentru nevoile mele personale.

Aceste obiecte, dacă ai un minim simț al formelor, sunt destul de frumoase. Am făcut construcția unui număr de astfel de obiecte când eram profesor de sculptură la Școala Națională de Arte Frumoase din Aix-en-Provence. Dar înainte să trec la această tehnică, am avut multe încercări în care am amestecat sârma moale și carton, rezultând lucrări cu o estetică destul de discutabilă. Îmi amintesc că o dată am trebuit să iau trenul din Marsilia pentru a aduce la Paris un prieten regretat, matematicianul André Lichnérowicz, câteva suprafețe pe care le-am reușit să reprezint suficient de clar. În special, suprafața Boy, pe care am lipit o hartă cartografică centrată pe un singur pol. A rezultat la final un obiect absolut superb, expus timp de douăzeci de ani în sala pi a Palatului Descoperirii din Paris. Dar acum un an, conducerea Muzeului a considerat că această suprafață a trecut de modă și acum se află într-un garaj sau într-o pivniță. Sper că nu a fost strivită în transport. Totul pentru a spune că acum nu vei mai putea vedea nicio suprafață Boy nicăieri, decât în cărți, sau pe un CD-ROM pe care am înregistrat cele 18 benzi desenate științifice în format PDF, inclusiv Topologicon. Cum se poate obține acest CD-ROM.

Dar revenind la călătoria pe care o întreprinsesem, de la Marsilia la Paris. Era deja încărcat cu două valize și am decis să iau cu mine trei modele. Singura soluție a fost să le atârn pe gât. Dar când am trecut prin holul garăi și am văzut cum mă priveau oamenii, am înțeles că își imaginau că am de-a face cu un nebun care a obținut o permisiune de ieșire din spital. Ar fi fost total inutil să încerc să le explic contrariul și am trebuit să suport această chină cu toată demnitatea posibilă.

Ceea ce e amuzant e că oamenii care construiesc lucruri de acest gen sunt destul de rari. În America, exista un matematician numit Charles Pugh, care lucra la Departamentul de Matematică de la Universitatea din Berkeley. O să am ocazia să vorbesc mai târziu despre el. Pugh era absolut genial cu grilajul pentru găini, dar personal preferam tehnicile cu sârmă de cupru.

Să revenim la problema răsturnării sferei. Primul care a reușit să o rezolve a fost geometerul Anthony Phillips. A publicat lucrarea sa, adică o succesiune de desene, într-un număr al Scientific American, în 1967. Există mai multe moduri de a răsturna o sferă. Unul dintre ele constă în a aduce fiecare punct al sferei în coincidență cu antipodalul său. Aceasta ia forma unei suprafețe Boy. Am visat întotdeauna să găsesc un sponsor pentru a construi o splendidă sculptură care să reprezinte un glob terestru răsturnat într-o suprafață Boy. Fiindcă nu am putut construi obiectul, am făcut ilustrația de copertă a Topologicon:

Sfera terestră lipită pe ea însăși după o suprafață Boy

Într-o astfel de configurație, dacă săpăm un gău la polul nord, vom ieși imediat de cealaltă parte, la polul sud, deoarece aceste două puncte sunt antipodale. Un francez care săpea un gău în pivnița sa ar ajunge în Noua Zeelandă, etc.

Versiunea găsită de Anthony Phillips constă efectiv în a descrie cum sfera se configurează într-un acoperiș cu două foi al suprafeței Boy, care este, desigur, o suprafață unilatere. Dacă am avea un produs magic, traversina, care ar da suprafețelor puterea de a se taia singure, ar fi suficient să legăm fiecare punct cu antipodalul său printr-un fir, pe care îl vom îngusta până devine de lungime nulă. Dacă nu putem reprezenta ușor această transformare, putem totuși să ne concentrăm pe o parte a sferei, de exemplu vecinătatea ecuatorială. Acest lucru a fost făcut în animațiile care urmează. Această suprafață, cu două margini circulare, seamănă cu un inel de bicicletă. Am reprezentat trei raze, legate de puncte diametral opuse. Facând lungimea acestor raze să tendă la zero, această bandă bilateră va lua forma unui acoperiș cu două foi al unui bandă Möbius cu trei jumătăți de răsucire. Mai jos, două animații destul de primitive. Cea din stânga e lentă, cea din dreapta rapidă.

Această bandă Möbius cu trei jumătăți de răsucire este „vecinătatea ecuatorială” a suprafeței Boy. Pe această bandă se înfășoară ecuatorul sferei.

„Ecuatorul” suprafeței Boy

Cele două poli ai sferei coincid cu polul unic al suprafeței. Această suprafață, ca și sticla Klein, nu poate fi încrucișată în R3. Ea poate fi doar reprezentată ca o imersiune. Aceasta are atunci o mulțime de auto-intersecție care are forma unei elice cu trei pale, ale căror extremități se pot vedea, asemănătoare „tălpile” a trei „urechi”. În paginile următoare veți găsi câteva elemente pentru a „citit” mai bine această suprafață. În caz de dificultate, obțineți un Topologicon.

Sus și în stânga, o suprafață Boy. Deoarece această suprafață este unilatere, nu putem folosi două culori. În b', mulțimea de auto-intersecție, trifoliată, evocând palele unei elice în b". Curba se taie într-un punct triplu T. Desenele următoare sunt acolo pentru a ajuta cititorul să se orienteze.

Totul e bun pentru a ilustra structura unei suprafețe: benzi, montaj cu piese adăugate. Se vede că un sculptor ar găsi fericirea în acest obiect cu adevărat fascinant. Un cuvânt pe margine despre istoria sa. În 1901, un student al marei matematician german Hilbert, Werner Boy, i-a arătat acestuia o suprafață despre care nimeni nu avusese ideea până atunci. Vacanțele erau aproape. Hilbert i-a spus studentului său:

- Acest problemă mi se pare interesantă. Dacă vrei, revino-mi la revenire, vom discuta despre ea.

Vacanțele au trecut, dar la revenire, Boy nu s-a mai întors. După două luni, Hilbert a încercat să-l găsească. Alți studenți i-au dat adresa, iar el s-a dus acolo. Dar logodnica i-a spus că tânărul Werner Boy i-a returnat cheile înainte de vară și că nu s-a mai întors. Toate cercetările pentru a-l găsi s-au dovedit zadarnice, la fel și cele pentru