Răsturnarea sferei

Răsturnarea sferei

7 decembrie 2004

pag. 3

Catastrofele elementare.

Am menționat deja mai sus că imersiunile pe care le-am considerat erau astfel încât planele tangente de-a lungul mulțimilor lor de auto-intersecție, atunci când acestea existau, rămâneau distincte. Este posibil, atunci, să se treacă de la o imersiune la alta prin intermediul a patru catastrofe elementare. Morin le-a numit, iar numele lor apar în desenele de mai jos. Prima duce la crearea unei curbe închise (și destrucția ei, operație inversă). Acesta este cazul în care îți introduci cotul în apă pentru a verifica temperatura (la stânga). Figura a4: suprafețele sunt în contact într-un punct. În a5, curba de auto-intersecție a fost creată. În continuarea textului vom numi această operație „catastrofa cotului”.

„Catastrofa cotului”: crearea – destrucția unei curbe închise

A doua catastrofă este cea a „feliei de portocală”:

Catastrofa constând în crearea – destrucția unei „felii de portocală”.

Dacă privim atent aceste imagini, de la stânga la dreapta, vom observa cum un cilindru parabolic se apropie de un diedru. Mulțimea de auto-intersecție este formată din două curbe de formă parabolică, disjuncte, plus, evident, muchia diedrului. În figura din centru, muchia diedrului este în contact cu una dintre generatoarele cilindrului. Această muchie este tangentă la cilindru în acel punct. Mulțimea de auto-intersecție este formată din două curbe parabolice tangente într-un punct, precum și din muchia diedrului. Figura din dreapta: cilindrul parabolic a continuat mișcarea. Curba de auto-intersecție s-a modificat. Ea este formată din muchia diedrului, plus curbele parabolice care se intersectează în două puncte, situate pe muchia diedrului. Se poate considera invers: cilindrul parabolic este fix și sunt cele două „plane de tăiere” care se mișcă. Figura din dreapta ar putea sugera două lovituri de topor, sau două tăieturi efectuate cu o săbie. De asemenea este reprezentat și scobitorul. Morin îl compara cu o „felie de portocală”, o imagine foarte sugestivă.

A treia catastrofă este cea a „pantalonului”.

Catastrofa „pantalonului”

Imaginile sunt suficient de sugestive. Descendem de la stânga la dreapta un pantalon în apă. La stânga pasărea trece sub picioare, dar peștele rămâne închis într-o singură picioară. La dreapta peștele trece, dar trecerea pe care o urmase pasărea a dispărut. În centru, situația intermediară. Ceea ce contează este modificarea locală a curbei de intersecție, care corespunde ceea ce se numește o „chirurgie”, o schimbare a modului de conectare a arcelor de curbă. Încercați să înțelegeți bine această transformare, care se va dovedi cea mai dificilă de realizat și de observat în cadrul omotopiei răsturnării sferei. Rețineți că această catastrofă închide o trecere în același timp cu deschiderea alteia, în direcția perpendiculară.

A patra și ultima catastrofă este cea a „inversării unui tetraedru”:

Catastrofa care inversează un tetraedru

Curba de auto-intersecție este formată din patru „drepte”, care sunt prelungirile celor patru laturi ale unui tetraedru. În figura din stânga am izolat acest tetraedru care arată fețele gri spre exterior. În dreapta, este invers: fețele sunt roz. În centru, situația intermediară: tetraedrul este redus la un punct Q (de multiplicitate patru, deoarece este intersecția a patru foi).

Cu ajutorul acestor patru catastrofe vom aborda răsturnarea unei sfere printr-o succesiune continuă de imersiuni transversale. Această variantă este datorată matematicianului (orb) Bernard Morin. Cunoașterea noastră merită să fie povestită. Într-o zi, un tehnician de la facultatea de științe mi-a cerut să aduc talentul meu de desenator pentru un conferențiar care urma să vorbească despre geometrie. Am venit la întâlnire fără nicio suspiciune. Întotdeauna fusesem destul de priceput să văd obiectele în spațiu, iar când profesorul nostru de matematică superioară ne dădea de lucru un problemă de geometrie descriptivă, desenam intersecția și oferiam o vedere în perspectivă în același timp cu enunțul său. Dar acolo lucrurile s-au desfășurat altfel.

Nu am avut nicio dificultate să desenez figurile de mai sus. Dar când a trebuit să le integrez într-un schemă implicând răsturnarea sferei, am ajuns să pierd complet capul, confruntat cu un întreg ansamblu de foi aflate una după alta. M-am supărat și am revenit să văd acel personaj ciudat care, deși lipsit de vedere, părea mai confortabil decât mine în această dezvoltare a formelor. Am urmărit atunci cursurile sale timp de câteva luni. Dialogul era destul de complicat. El avea la dispoziție doar cuvântul. Eu puteam să-i descriu desenele, sau să-i dau în mâini modele realizate acasă, sau ulterior pe loc. Ar fi trebuit să înregistram aceste dialoguri, absolut surreale, de genul:

*- Încearcă să-ți imaginezi două curbe care s-ar întâlni formând o felie de ouă.

În ciuda personalității dificile a persoanei, aceste întâlniri au rămas pentru mine ineritabile. Am ajuns doar să mă obișnuiască să iau două aspirine înainte de fiecare sesiune de lucru, ca măsură preventivă. Caracterul său poate fi rezumat prin sobriul cu care soția sa l-a numit: „Furtuna binecuvântată”, un personaj din banda desenată „Tintin în Tibet” de Hergé. Răzbunările lui Morin aveau un caracter la fel de legendăric cât și ireversibil. Îi venea uneori să vorbească despre unii dintre inamicii săi, care muriseră deja, zicând despre ei:

*- Uneori le arunc o mică blestemă în lumea de dincolo, zicându-mi că dacă nu le face rău, cel puțin nu le poate face bine.

Pagina anterioară Pagina
următoare

Înapoi la Ghid Înapoi la pagina principală

Numărul de vizualizări ale acestei pagini de la data de 8 decembrie 2004: