Răsturnarea sferei

Răsturnarea sferei

7 decembrie 2004

pag. 3

Catastrofele elementare.

Am menționat mai sus că imersiunile pe care le-am considerat erau astfel încât planele tangente de-a lungul mulțimii lor de auto-intersecție, atunci când acestea existau, rămâneau distincte. Este posibil, atunci, să se treacă de la o imersiune la alta folosind patru catastrofe elementare. Morin le-a numit, iar numele lor apar pe desenele de mai jos. Prima duce la crearea unei curbe închise (și dezvoltarea ei, operație inversă). Acesta este cazul în care îți introduci cotul în apa unui vas pentru a-ți verifica temperatura (la stânga). Figura a4: suprafețele sunt în contact într-un punct. În a5, curba de auto-intersecție a fost creată. În continuarea textului vom numi această operație „catastrofa cotului”.

„Catastrofa cotului”: crearea – dezvoltarea unei curbe închise

A doua catastrofă este cea a „feliei de portocală”:

Catastrofa care constă în crearea – dezvoltarea unei „felii de portocală”.

Dacă privim atent aceste imagini, de la stânga la dreapta, vom observa cum un cilindru parabolic se apropie de un diedru. Mulțimea de auto-intersecție este formată din două curbe de formă parabolică, disjuncte, plus, evident, muchia diedrului. În figura din centru, muchia diedrului este în contact cu una dintre generatoarele cilindrului. Această muchie este tangentă la cilindru în acel punct. Mulțimea de auto-intersecție este formată din două curbe de formă parabolică, tangente într-un punct și la muchia diedrului. Figura din dreapta: cilindrul parabolic a continuat mișcarea. Curba de auto-intersecție s-a modificat. Ea este formată din muchia diedrului, plus curbele parabolice care se intersectează în două puncte, situate pe muchia diedrului. Putem considera și invers: cilindrul parabolic este fix și sunt cele două „plane de tăiere” care se deplasează. Figura din dreapta ar putea evoca două lovituri de topor sau două tăieturi efectuate cu o șurubelniță. De asemenea, a fost reprezentat și scobitorul. Morin îl compara cu o „feliuță de portocală”, o imagine foarte sugestivă.

A treia catastrofă este cea a „pantalonului”.

Catastrofa „pantalonului”

Imaginea este suficient de sugestivă. Coborâm de la stânga la dreapta un pantalon în apă. La stânga, pasărea trece sub coapse, dar peștele rămâne închis într-o picioară. La dreapta, peștele trece, dar trecerea pe care o folosise pasărea a dispărut. În centru, situația intermediară. Ceea ce contează este modificarea locală a curbei de intersecție, care corespunde ceea ce se numește o „chirurgie”, o schimbare a modului de conectare a arcelor de curbă. Încercați să înțelegeți bine această transformare, care se va dovedi cea mai dificilă de realizat și de observat în cadrul omotopiei răsturnării sferei. Rețineți că această catastrofă închide un drum în același timp în care deschide un altul în direcția perpendiculară.

A patra și ultima catastrofă este cea a „inversării unui tetraedru”:

Catastrofa care inversează un tetraedru

Curba de auto-intersecție este formată din patru „drepte”, care sunt prelungirile celor patru laturi ale unui tetraedru. În figura din stânga, am izolat acest tetraedru care arată fețele gri spre exterior. În dreapta, este invers: fețele sunt roz. În centru, situația intermediară: tetraedrul este redus la un punct Q (de multiplicitate patru, deoarece este intersecția a patru foi).

Cu ajutorul acestor patru catastrofe vom încerca să răsturnăm o sferă printr-o succesiune continuă de imersiuni transversale. Această variantă este datorată matematicianului (orb) Bernard Morin. Cunoașterea noastră merită să fie povestită. Într-o zi, un tehnician de la Facultatea de Litere mi-a cerut să îi aduc abilitățile de desenator unui conferențiar care urma să vorbească despre geometrie. Am venit la întâlnire fără nicio bănuială. De obicei, eram destul de priceput să văd obiectele în spațiu și când profesorul nostru de matematică superioară ne dădea un exercițiu de geometrie descriptivă, desenam intersecția și oferam o vedere în perspectivă în același timp cu enunțul său. Dar acolo, lucrurile s-au desfășurat altfel.

Nu am avut nicio dificultate să desenez figurile de mai sus. Dar când a trebuit să le integrez într-un schemă care implica răsturnarea sferei, am ajuns să pierd complet capul, confruntat cu o mulțime întreagă de foi aflate una după alta. M-am supărat și am revenit la acel personaj ciudat care, deși lipsit de vedere, părea mai confortabil în această dezvoltare de forme decât mine. Am urmărit atunci cursurile sale timp de câteva luni. Dialogul era destul de complicat. El avea doar limbajul vorbit. Eu puteam să-i descriu desenele sau să-i ofer modele realizate acasă, sau ulterior, pe loc. Ar fi trebuit să înregistrăm aceste dialoguri, absolut surreale, de genul:

*- Încearcă să-ți imaginezi două curbe care s-ar întâlni formând o felie de ouă.

În ciuda personalității dificile a persoanei, aceste întâlniri au rămas pentru mine ineritabile. Am ajuns doar să mă obișnuiesc să iau două aspirine înainte de sesiunile noastre de lucru, ca măsură preventivă. Caracterul său poate fi rezumat prin numele de „Furtuna binecuvântată”, un personaj din banda desenată „Tintin în Tibet” de Hergé. Răutățile lui Morin aveau un caracter la fel de legendăric cât și ireversibil. Îi venea uneori să-și amintească de anumiți dușmani, care muriseră deja, și să spună despre ei:

*- Uneori le arunc o mică blestemă în lumea de dincolo, gândindu-mă că dacă nu le face rău, cel puțin nu le poate face bine.

Pagina anterioară Pagina
următoare

Înapoi la Ghid Înapoi la pagina principală

Numărul de vizualizări ale acestei pagini începând cu 8 decembrie 2004: