Răsturnarea sferei – matematică a catastrofei
Răsturnarea sferei
8 decembrie 2004
Pagina 4
Versiunea lui Bernard Morin
Pentru a descărca versiunea PDF a articolului din 1979 al lui B. Morin și J.P. Petit, publicat în Pour la Science
Răsturnarea sferei (2,8 MB)
Pornim de la o sferă care arată fața gri spre exterior și fața roz spre interior. În b și c, aducem polii în contact. Apoi suprafețele se interpenetrează printr-o „catastrofă a cotului”. Apare o curbă închisă de auto-intersecție. În partea de jos și dreapta, trei jumătăți de tăietură permit o înțelegere mai clară a configurației obținute. În acest stadiu, sfera seamănă cu un fel de „canot pneumatic” circular, cu un „băț” și un „pardoseală” cu dublă perete.
Prima etapă: o „catastrofă a cotului”. Crearea unei curbe închise de auto-intersecție
A doua operațiune: o nouă catastrofă a cotului, crearea unei a doua curbe închise.
A doua creare a unei curbe închise de auto-intersecție
Pentru aceasta, „canotul pneumatic” s-a îndoit, cu un mișcare de înfășurare, ceea ce a permis aducerea a două părți ale „bățului”, diametral opuse, în contact. Imaginea următoare este rezultatul a două catastrofe care au dus la crearea „felii de portocală”.
După crearea a două „felii de portocală”
La stânga, am făcut tăieturi în model. În centru, modul în care cei doi cilindri, ale căror secțiuni, local, afectează forma literei grecești „gamma”, s-au interpenetrat. Ne amintim că catastrofa de creare a „feliei de portocală” se producea prin tăierea unei „bucăți de lemn” cu două plane care formează un diedru. Fiecare dintre structurile cilindrice ale căror secțiuni sunt în „gamma” conține atât secțiunea rotundă, cât și diedrul. Uitați-vă cu atenție la figura i. În j, am desenat întregul ansamblu de auto-intersecție. Porțiunea cea mai mare a curbei închise provine din prima „catastrofă a cotului”, care a transformat sfera în „canot pneumatic”. După crearea celor două felii de portocală, obținem un ansamblu mai complex, ale cărui j este un subansamblu. În j", observăm că această structură poate fi comparată cu asamblarea a două „felii de portocală” pe două muchii ale unui tetraedru, care nu sunt adiacente.
Totul va deveni într-o zi mult mai ușor de înțeles atunci când voi putea produce animații. Nu am niciun fel de problemă tehnică în acest sens. Este doar o chestiune de timp. Puțini oameni pot nu doar să vadă în spațiu, adică să citească acest cod care folosește linii, puncte, culori, umbre și reflexii, ci și să-și îmbine în minte transformări, imaginând mișcarea sugerată. Sper că o să am vreodată timpul să fac toate aceste lucruri. Observăm în trecere că am putea folosi modele poliedrale, cum am făcut eu pentru a arăta cum se poate transforma o Crosscap în Suprafața de Boy. Aici este viitorul. Dar aceste modele trebuie inventate. Mai jos veți găsi versiunea optimizată poliedrală a modelului central al acestei transformări, imaginată de Bernard Morin (amintim că este orb!), împreună cu modul de construcție propriu.
De ce nu am mers mai departe cu aceste lucruri? Aș zice: din lipsă de „perspective”. Nu există reviste de matematică care să accepte publicarea unor astfel de lucrări. Am putut face asta între 1975 și 1978 prin câteva note în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, care probabil nu au fost citite de mulți. Dar a fost doar pentru că academicianul André Lichnérowicz se interesa personal de aceste lucrări. Acesta a decedat în prezent. Deoarece aceste lucrări erau complet finalizate încă din 1975, ar fi fost de dorit să producem un film de animație pornind de la desenele mele. Având lucrat în animație, eram în mod cert capabil să coordonez o astfel de întreprindere. Dar a fost imposibil să găsim finanțare la CNRS, iar în cele din urmă matematicianul american Nelson Max, inspirat de maște construite de colegul său Charles Pugh (aceeași versiune a răsturnării sferei), folosind un calculator puternic, a reușit să producă primul film. Dar nu este nici prima, nici ultima dată când francezii, neprimind niciun ecou pentru eforturile lor, au fost depăși de colegi străini mai bine organizate și mai bine sprijinite.
Trecem la a treia fază, cea mai dificil de înțeles.
Pregătirea a două catastrofe „de pantaloni”
În figura k, se disting clar cele două capete ale „pantalonilor”, iar detalii sunt prezentate într-un plan anterior k'. Săgeata albă indică trecerea „prin întreaga pantalon”. Această transformare este cu adevărat dificil de înțeles. Am adăugat desenul m pentru a încerca să fiu mai clar. În l, am reprezentat cu puncte curba de auto-intersecție, care este prezentă în ansamblu în l'. O trecere (cea urmată de săgeata albă) va fi închisă. Acest mișcare de închidere va fi însoțită de ridicarea unei părți a curbei de intersecție, în două locuri. Aceste porțiuni de curbă vor ajunge în contact, fiecare pe una dintre liniile aparținând „feliei de portocală”. Când contactul se va produce, va avea loc o „chirurgie”. Dificultatea vine din faptul că, după ce ai văzut cele patru catastrofe elementare, în pagina anterioară, trebuie să fii capabil să le transpui din toate unghiurile, chiar dacă trebuie să-ți întorci gâtul. În n, am reprezentat momentul critic în care are loc chirurgia („starea mediană” a transformării) și în care modul de conectare a capetelor curbei va fi modificat. Știm că această catastrofă „de pantaloni” închide o trecere și deschide alta. Trecerea inițială este indicată de săgeata albă. Dar există o altă trecere, pe care am putea-o vedea din