Răsturnarea sferei, catastrofă matematică
Răsturnarea sferei
8 decembrie 2004
Pagina 4
Versiunea lui Bernard Morin
Pentru a descărca versiunea PDF a articolului din 1979 al lui B. Morin și J.P. Petit, publicat în Pour la Science
Răsturnarea sferei ( 2,8 MB )
Pornim de la o sferă care are fața gri spre exterior și fața roz în interior. În b și c aducem polii în contact. Apoi părțile se intersectează după o „catastrofă a cotului”. Se creează o curbă închisă de auto-intersecție. În partea de jos și dreapta, trei jumătăți de secțiuni permit o înțelegere mai clară a configurației obținute. În acest stadiu, sfera seamănă cu un fel de „canot pneumatic” circular, cu un „băț” și un „pod” cu dublă perete.
Prima etapă: o „catastrofă a cotului”. Crearea unei curbe închise de auto-intersecție
A doua operațiune: o nouă catastrofă a cotului, crearea unei a doua curbe închise.
A doua creare a unei curbe închise de auto-intersecție.
Pentru aceasta, „canotul pneumatic” s-a îndoit, cu un mișcare de învârtire, ceea ce a permis aducerea în contact a a două părți diametral opuse ale „bățului”. Imaginea următoare este rezultatul a două catastrofe care au dus la crearea „felii de portocală”.
După crearea a două „felii de portocală”
La stânga s-au făcut tăieturi în model. În centru, modul în care cei doi cilindri, ale căror secțiuni, local, afectează forma literei grecești „gamma”, s-au interpătruns. Ne amintim că catastrofa de creare a „feliei de portocală” se realiza prin tăierea unei „bucăți de lemn” cu două plane care formează un diedru. Fiecare dintre structurile cilindrice ale căror secțiuni sunt în „gamma” conține atât secțiunea rotundă, cât și diedrul. Uitați-vă cu atenție la figura i. În j am desenat întregul ansamblu de auto-intersecție. Porțiunea cea mai mare a curbei închise provine din prima „catastrofă a cotului” care a transformat sfera în „canot pneumatic”. După crearea celor două felii de portocală obținem un ansamblu mai complex, ale cărui j este un subansamblu. În j" observăm că această structură poate fi comparată cu asamblarea a două „felii de portocală” pe două muchii ale unui tetraedru, care nu sunt adiacente.
Totul va deveni o zi mai ușor de înțeles când voi putea produce animații. Nu am nicio problemă tehnică în principiu. Este doar o chestiune de timp. Puțini oameni pot nu doar să vadă în spațiu, adică să citească acest cod care folosește linii, puncte, culori, umbre și reflexii, ci și să-și înșiruie în minte transformări imaginând mișcarea sugerată. Sper că o să am vreodată timpul să fac toate aceste lucruri. Observăm în trecere că am putea folosi modele poliedrice, așa cum am făcut eu pentru a arăta cum se poate transforma o Crosscap în Suprafața de Boy. Aici este viitorul. Dar aceste modele trebuie inventate. Mai jos veți găsi versiunea poliedrică optimizată a modelului central al acestei transformări imaginată de Bernard Morin (amintim că este orb!), împreună cu modul de construcție a acestuia dintr-o tăietură.
De ce nu am dus aceste lucruri mai departe? Aș zice: din lipsă de „perspective”. Nu există reviste de matematică care să accepte publicarea unor astfel de lucrări. Am putut face asta între 1975 și 1978 prin câteva note în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, care probabil nu au fost citite de mulți. Dar a fost doar pentru că academicianul André Lichnérowicz se interesa personal de aceste lucrări. Acesta a decedat în prezent. Deoarece aceste lucrări au fost complet finalizate deja în 1975, ar fi fost de dorit să producem un film de animație pornind de la desenele mele. Având lucrat în animație, eram în mod cert capabil să coordonez o astfel de întreprindere. Dar a fost imposibil să găsim finanțare la CNRS și în cele din urmă matematicianul american Nelson Max, inspirându-se de maște construite de colegul său Charles Pugh (aceeași versiune a răsturnării sferei), și folosind un calculator puternic, a reușit să producă primul film. Dar nu este nici prima, nici ultima dată când francezi, care nu primesc niciun ecou pentru eforturile lor, sunt depășiți de colegi străini mai bine organizati și mai bine susținuți.
Trecem la a treia fază, cea mai dificil de înțeles.
Pregătirea a două catastrofe „de pantaloni”
În figura k se disting clar cele două capete de „pantaloni”, ale căror detalii sunt prezentate într-un plan anterior k'. Săgeata albă indică trecerea „prin întreaga parte a pantalonilor”. Această transformare este cu adevărat dificil de înțeles. Am adăugat desenul m pentru a încerca să fiu mai clar. În l am reprezentat cu puncte curba de auto-intersecție, care apare în întregime în l'. O trecere (cea urmată de săgeata albă) va se închide. Acest mișcare de închidere va fi însoțită de ridicarea unei părți a curbei de intersecție, în două locuri. Aceste porțiuni de curbă vor ajunge în contact, fiecare pe una dintre liniile aparținând „feliei de portocală”. Când contactul se va realiza, chirurgia va avea loc. Dificultatea vine din faptul că după ce ai văzut cele patru catastrofe elementare, în pagina anterioară, trebuie să fii capabil să le transpui sub toate unghiurile, chiar dacă trebuie să-ți rotești gâtul. În n am reprezentat momentul critic în care chirurgia are loc („situația mediană” a transformării) și în care modul de conectare a capetelor curbei va fi modificat. Știm că această catastrofă „de pantaloni” închide o trecere și deschide alta. Trecerea inițială este indicată de săgeata albă. Dar există o altă trecere pe care o vezi din același unghi dacă rotești modelul cu 180° în jurul unui ax vertical. Aceste săgeți formează o singură. Înainte ca aceste catastrofe să aibă loc, încă se poate circula în acest „canot pneumatic îndoit”. Când aceste catastrofe vor avea efectul lor, această trecere nu va mai fi posibilă. În schimb, vor fi create două alte treceri. Dar unde, care părți ale spațiului sunt implicate? Aceste treceri vor pune interiorul „feliei de portocală” în comunicare cu exteriorul. În l', vezi aceste „felii de portocală”. Trecem la etapa următoare.
Închiderea trecerii. Către o situație critică dublă
În o am reprezentat cele două catastrofe „de pantaloni” la două stadii diferite. Unul dintre treceri este complet închis. Suntem în situație critică, imediat înainte ca arcele de curbă să-și schimbe modul de conectare. La dreapta (detaliu în figura o') trecerea este doar în curs de închidere. Astfel, aspectul curbei de auto-intersecție o" este diferit la stânga și la dreapta. Pe figurile p, p' și p" criticitatea (situația „mediană” a transformării) este atinsă pe ambele părți. Pe plana următoare, chirurgiile au avut efectul lor. Tuburile pe care le vedeam începând în figura p", care pun în comunicare „felii de portocală” cu exteriorul, sunt acum formate:
Cele două „catastrofe de pantaloni” au avut efectul lor. Trecerile (săgeți albe) sunt deschise.
Acum lucrurile vor continua lucrând pe partea inferioară a modelului, ale cărei detalii sunt indicate în r. Urmărim această porțiune a suprafeței cu atenție. Vedem două porțiuni de cilindri parabolici care se intersectează, fiind orientate după două direcții ortogonale. Există o trecere în partea inferioară a r, care face față cititorului. Vom considera posibilitatea de a face să alunece acești doi cilindri unul față de celălalt. Acest lucru ar avea ca efect închiderea acestei treceri și deschiderea unei altele care ar trece în direcția perpendiculară („de la dreapta la stânga”). Recunoaștem aici o nouă „catastrofă de pantaloni”. Dacă acest alunecare verticală a acestor porțiuni de cilindri parabolici are loc, vom ajunge din nou la o situație critică, cu schimbarea modului de conectare a părților. Dar în realitate, din simplul motiv de economie, vom opri „procesul” la criticitate, în „situația mediană”, când trecerea către cititor se va închide și trecerea situată în direcția perpendiculară nu va fi încă deschisă. Să facem asta.
O nouă catastrofă de pantaloni, începută în L, oprită la dreapta, la criticitate.
Vom aplica în L o „presiune” asupra cilindrului care are culoarea roz spre exterior și îl vom face să urce. În c' vedem impactul acestui mișcare asupra ansamblului de auto-intersecție: arcele de curbă încep să se apropie. Când va fi atinsă criticitatea, această parte a ansamblului va arăta ca „un băț pentru bătut ouă”, reprezentat pe figură. Figurile din dreapta, t, t', t": criticitatea este atinsă, adică „momentul median al catastrofei”. În t" aspectul ansamblului de auto-intersecție are o parte inferioară care se identifică cu a bățului pentru bătut ouă. Figura t' reprezintă volumul tetraedric mic. În t''' am reprezentat încrucișarea celor patru părți.
Du-te să iei o aspirină.
În această versiune a răsturnării sferei, toate transformările, toate catastrofele ar trebui aduse la capăt. Dar vom bloca această catastrofă pe care tocmai am menționat-o în configurația sa mediană, „critică”. Apoi vom începe o catastrofă pe care nu am folosit-o încă: cea care inversează un tetraedru. Dar din nou vom opri la situația „mediană”, când tetraedrul este redus la un punct. Hai să facem asta!
Ultima catastrofă, blocată la stadiul său median: când tetraedrul este redus la un punct patru Q
În t''' o evocare a configurației celor patru părți, ale căror ansamblu de auto-intersecție conține un volum care are forma unui tetraedru. În u" acest tetraedru a fost redus la un punct (patru, deoarece există patru părți care se intersectează). La stânga este format „modelul cu patru urechi al lui Morin”. În planul anterior, ansamblul de auto-intersecție cu, în jos, „bățul pentru bătut ouă” și în sus patru „gheare” care evocă „urechi de iepure”. Deformând ușor suprafața, fără a efectua noi catastrofe, ajungem la dreapta la modelul central cu patru urechi al lui Morin. Acesta are o simetrie de ordin patru. Dacă am face o rotație de 90° în jurul axei sale de simetrie verticale, am obține același desen, dar cu culorile schimbate. Griul devine roz și invers. Astfel putem spune că lucrul este terminat. Într-adevăr, dacă am dori să desenăm omotopia completă, ar fi suficient, folosind o animație, să rotești de 90° acest model central. Apoi am putea repeta toate desenele pe care le-am făcut, în sens invers, cu culorile schimbate. În final am obține o imersie a sferei unde aceasta are culoarea roz spre exterior. Dar matematica este o școală de lenevă, sau de economie, în funcție de cum privești lucrurile. În măsura în care lucrul ne-a adus la un obiect care are această simetrie de ordin patru, putem rămâne aici și spunem că operațiunea a fost realizată cu succes.
În plana următoare m-am străduit să descriu modelul central deschis al lui Morin cu cel mai mare detaliu posibil. Există un model cu „urechi închise”, pe care l-am descris într-o altă notă la Academie, dar vă voi face o favoare.
Descriere detaliată a modelului central al lui Morin, cu patru urechi
Ulterior am găsit o reprezentare poliedrică a modelului central cu patru urechi. De fapt, un astfel de model nu are „sus” sau „jos”. Pentru conveniența desenului și a animației (am obținut aceste imagini cu un software de proiectare asistată de calculator pe care l-am dezvoltat, înainte de anii '80), următorul GIF animat arată acest model prezentând punctul dublu spre sus. Punctul patru este, de asemenea, vizibil:
Versiunea mea poliedrică a modelului cu patru urechi
Cum să construiești acest model folosind o tăietură
Elementele tăieturii (de tipărit, apoi copiat pe patru pagini de hârtie groasă, în două culori)
În animația inițială obiectul era „în oglindă” față de vizualizarea de mai sus. Astfel, „văzut de sus”, avea forma unei cruci grecești, ansamblul putând evoca o anumită „casă a culturii pentru partidul neo-nazist”. Am preferat să inversez obiectul pentru a nu da idei rele unor arhitecți de extremă dreaptă. Click aici pentru a avea toate explicațiile despre cum să construiești singur acest obiect. Pentru a încheia, câteva vederi ale acestui obiect.
Voi încheia această evocare a răsturnării sferei cu o anecdotă uimitoare, dar perfect autentică. În perioada în care aceste transformări erau cunoscute doar de un număr infim de inițiați, un măcălău a oferit un premiu de un milion de dolari persoanei care ar fi reușit să construiască modele suficient de explicite. La Berkeley, matematicianul Charles Pugh s-a ocupat de această sarcină și a reușit. Cu banii a putut cumpăra o casă. Aceste modele, realizate cu sârmă de găină și măsurând fiecare un metru bun în diametru (Pugh reușea, cu o dexteritate uimitoare, să taie și să lipească ochiurile structurilor sale, permițând auto-traversarea), au înfrumusețat timp de ani plafonul cafenelei departamentului de matematică de la Berkeley. Apoi, într-o noapte, au fost furate și nu au mai fost găsite niciodată. Nu s-a aflat niciodată cine a făcut-o. Comercial, ar fi fost mai greu de vândut decât Mona Lisa de la Louvre. Poate un amator le deține într-o pivniță secretă, zâmbind în fiecare seară când coboară acolo, spunându-și: „Sunt singurul care le poate privi.”
Există o altă anecdotă care se referă acum la suprafața de Boy, pe care eu am fost primul care a localizat curbele meridiane, identificându-le cu o familie de elipse. Această lucrare