Răsturnarea torului Klein

Răsturnarea torului

5 decembrie 2004

Pagina 6

Răsturnarea nebanală a torului
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. tome 293, séance du 5 octobre 1981, série 1, pp. 269-272

Mă voi limita să prezint succesiunea desenelor, fără a le comenta.

Răsturnarea nebanală a torului. Prima parte a transformării

Răsturnarea nebanală a torului. A doua parte a transformării

Când ajungem la figura v, observăm că este acum ușor să suprapunem structura gri cu structura roz, transformând astfel obiectul într-un acoperire cu două foi a sticlei Klein.

Răsturnarea are loc atunci prin schimbarea fețelor opuse. Mai jos, același desen cu codare cromatică.

Acoperire cu două foi a sticlei Klein, cu codare cromatică

(Acest desen nu face parte din raportul meu anual la CNRS. Îl veți găsi în Topologicon)

Diferitele familii de toruri.

Ceea ce a demonstrat Stephen Smale în 1957 a fost că există o singură familie de imersii ale sferei și că toate acestea pot fi legate între ele printr-o omotopie. Acestea forma un grup, în care elementul neutru constă în lăsarea obiectului neschimbat. Se pune întrebarea dacă ar fi valabil și pentru tor. Matematicienii Ioan James și Emery Thomas au arătat că imersiile torului se împart în patru continente între care nu se poate trece folosind o omotopie regulată.

Cele patru familii de toruri

Torul standard, desenat în centru, aparține aceleiași familii ca și obiectul reprezentat în b. Acest lucru l-am arătat în trecere în varianta de răsturnare a torului pe care am inventat-o în 1980. Familia menționată în a reprezintă un tor care a suferit o întoarcere de 360°. Are o asemănare cu torul standard, dar cele două se definesc prin sistemul lor de cartografie, folosind două familii de curbe. În torul standard se folosesc două mulțimi de cercuri, considerate meridiane și paralele. În torul a, ar trebui să completăm familia de cercuri lipite de el cu o a doua familie, care se întoarce în sens invers. Se poate arăta că este imposibil, prin intermediul unei omotopii regulate, să aducem rețeaua acestui tor a în coincidență cu rețeaua torului standard (cercuri meridiane plus cercuri paralele). În acest sens, acestea sunt obiecte diferite. Toate aceste obiecte pot fi evident configurate ca o acoperire cu două foi a sticlei Klein.

Puterea instrumentelor geometrului este de a prevedea ceea ce este posibil și ceea ce nu este posibil. Transformarea torului standard în torul din figura b: da. Trecerea de la c la d: nu.

Aceasta evită pierderea timpului în mod inutil și stimulează în mod special căutarea lucrurilor care nu sunt deloc evidente, cum ar fi răsturnarea unei sfere. Este valabil în toate științele. Uneori oamenii trec pe lângă metode productive timp de ani sau chiar secole, pur și simplu pentru că le consideră imposibil de realizat. Mi-am dedicat câțiva ani din viață construirii unei teorii privind eliminarea undelor de șoc în jurul unui obiect care se deplasează cu viteză supersonică într-un gaz, folosind un câmp de forțe Laplace, din "MHD". Un student a făcut chiar o teză de doctorat pe acest subiect sub conducerea mea, iar lucrările noastre au fost publicate în diverse reviste cu comitete de revizuire și conferințe științifice. Este un subiect care începe abia să apară, după treizeci de ani. Se presupune că americani ar deține avioane hipersonice capabile să zboare la Mach 10 fără a genera unde de șoc (și în special fără a suferi constrângerile termice enorme legate de recomprimarea aerului după aceste "bangs". Este cunoscutul mit al aparatului Aurora, care zboară la altitudinea unde apar aurora boreală, între 80 și 150 km. Aurora este, de asemenea, o prefigurare a viitoarelor rachete spațiale care, folosind aerul, vor fi mult mai economice decât rachetele CNES. În Franța a fost imposibil să inițiem astfel de cercetări (am avut aceste idei în 1975), pentru că oamenii, în special la CNRS, le considerau complet irealiste. Rezultatul este un întârziere de treizeci de ani față de Statele Unite, care, după părerea mea, nu poate fi recuperată.


Blagul cu tutun

Pentru a fi complet, trebuie menționate și versiunile răsturnării sferei care au ca obiect central un blag cu tutun. Era un obiect comun când eram tânăr, dar astăzi nu mai este întâlnit prea des. Primul care a desenat aceste secvențe a fost Georges Francis. De câțiva ani lucrez la o variantă poliedrică a acestor desene, care a dat deja un model central destul de frumos. Dar, pentru a vă arăta, va trebui să reușesc să-l găsesc din nou. Sper că în curând, pentru că este unul dintre obiectele cele mai fascinante pe care le-am creat vreodată.

Pagina anterioară Pagina următoare

Înapoi la ghid Înapoi la pagina principală

Numărul de vizualizări ale acestei pagini de la 8 decembrie 2004: