4
.
Observăm în treacăt că sistemul propus copilului nu este fără defecte. El funcționează corect doar dacă obiectele puse la dispoziție sunt cele vândute împreună cu jocul. Se va observa că compartimentul „cilindri” permite introducerea cilindrilor cu același rază, dar cu lungimi diferite, precum și a cleștelor, a ciocanului, a unei chei de dulap etc.
Logic, copilul care trece prin acest învățare-grupuri va deduce că o cheie de dulap și un cilindru sunt obiecte de aceeași specie. Este adevărat, în sensul că aceste obiecte au proprietatea comună „care intră prin acea gaură”.
Fiica mea, când era mult mai mică, a făcut experimente foarte interesante privind grupurile, folosind ca fereastră de intrare, ca filtru, intrarea cititorului de pe calculatorul meu. A fost nevoie de un demontaj complet, după deconectarea sa, pentru a reconstitui raționamentul său, într-o manieră într-adevăr logică. Astăzi rămâne foarte atrăgătoare de grupuri. Dar nu sunt aceleași și aceste alegeri nu îmi plac deloc.
Să revenim la copilul de mai devreme. După câteva luni, veți introduce același copil în grupul lui Galilei, aruncând obiecte și îndemnându-l să le prindă. Atunci forma obiectelor nu mai contează, contează doar mișcările lor. Se schimbă grupul. Pentru bebeluș, obiectul (de dimensiune suficient de mică pentru a-l putea prinde) devine echivalent cu centrul său de greutate. Este un „punct-masă”, un „punct-material”. Grupul lui Galilei gestionează dinamica punctelor materiale.
Clasificarea se face atunci în funcție de tipurile de mișcare.
-
Acesta îl pot prinde.
-
Acesta nu îl pot prinde.
Evaluând în mod intuitiv condițiile inițiale – poziția și vectorul viteză – bebelușul trebuie să recunoască tipul de mișcare cu care se confruntă și să anticipeze.
Când va crește, poate că va juca tenis, întotdeauna punând în joc grupul lui Galilei, care, la fel ca grupul lui Euclid, este o matrice pătrată. Deoarece mingile de tenis se mișcă cu viteze evident mai mici decât viteza luminii, nu va fi nevoie să recurgă la grupul lui Poincaré (o altă matrice pătrată, care gestionează mișcările relativiste ale punctelor materiale).
Cu toate acestea, punctele materiale gestionate de grupul lui Galilei nu mai sunt punctele grupului lui Euclid; ele au atribut.
Specialistul în fizică matematică care manipulează grupul lui Galilei nu mai vorbește despre puncte materiale, ci despre mișcări. Ceea ce caută să clasifice sunt mișcările. Aici ne confruntăm cu un aspect esențial al fizicii particulelor elementare: căutăm să le asociem o descriere fenomenologică:
Spune-mi cum se mișcă, îți voi spune cine ești.
Nu mai căutăm „din ce este alcătuită o particulă”, ci cum se comportă. Astfel, particulele neutre nu se comportă la fel ca particulele încărcate electric. Ele aparțin unor specii diferite. Au atribute diferite.
Copilul de mai devreme, devenit fizician de înaltă energie, poate că va examina zilnic imagini din camera cu bule.
Imagini obținute cu ajutorul unei camere cu bule (Schem..)
Imaginea din stânga: un proton, un neutron și un electron au trecut prin câmpul camerei. Aceasta este supusă unui câmp magnetic perpendicular pe planul imaginii. Neutronul, lipsit de sarcină electrică, nu este afectat. Merge drept. Particulele încărcate au raze de rotație (raza Larmor) foarte diferite. Electronii ușori se rotesc mult mai repede într-un câmp magnetic perpendicular direcției traiectoriei decât protonii grei. În plus, amândouă se rotesc în sensuri opuse.
O mulțime de mișcări, într-un câmp magnetic, gestionată de...
Dar acest grup nu există încă. Dacă l-ai găsi, ai face mulți fericiți.
Totuși, omul nostru, examinând imaginile sale, detectează traiectorii aparținând unor mulțimi de mișcări diferite.
-
Acesta merge drept, este un neutron.
-
Acesta se rotește spre dreapta, lent, este un proton.
-
Acesta se rotește brusc spre stânga, este un electron.
Imaginea din dreapta: un electron și un antielectron care, născuți din același radiație (linie punctată), urmează traiectorii simetrice, semn că au sarcini electrice opuse.
Clasificarea speciilor în funcție de comportament, ca mulțimi de mișcări.
Momentul.
Acest obiect pur geometric poate fi considerat o mulțime de atribute. Să lăsăm deoparte particulele încărcate, vom reveni la ele mai târziu. Un „punct material relativist” are atribute grupate conform unui obiect numit de matematicianul Jean-Marie Souriau, lider în domeniul fizicii matematice, „moment legat de grupul lui Poincaré”.
Atributele punctului material relativist se numesc:
-
Energia E
-
Impulsul
p
- Turația
l (legată de spin)
- Trecerea
f
Astfel, „momentul” este: J = { E,
p
,
l
,
f }
Observație în treacăt:
De aici înainte, în tot ce urmează, vom folosi litere subțiri pentru mărimile scalare și litere groase pentru cele necalare (matrici pătrate, matrici-rând, matrici-coloană).
Precizare: putem efectua toate înmulțirile matriciale rând-colonă manipulând aceste litere subțiri sau groase, ceea ce este extrem de convenabil. Să dau un exemplu. Acțiunea elementului grupului Euclid 2d se scria:
Introducând:
vom obține o formă mai compactă:
g
ia forma unei matrici, ea însăși compusă din submatrici:
- a
este o matrice pătrată de dimensiune (2,2).
- c
este un vector-colonă (vectorul de translație) de dimensiune (2,1).
- 0
este un vector-rând de dimensiune (1,2):
În general, zerourile groase pot fi indiferent vectori-rând sau vectori-colonă.
Acțiunea se scrie atunci:
Având în vedere că
a r
înseamnă
a x r
(deși semnul înmulțirii matriciale este în cele din urmă neglijat).
Sfârșitul observației, revenire la tema momentului. Să revenim la expresia acestuia în cazul punctului material relativist. J = { E,
p
,
l
,
f }
E este un scalar (energia).
p
este vectorul impuls.
l
și
f
(litere groase) sunt alți vectori (lx, ly, lz) și (fx, fy, fz): „turația” și „trecerea”.
În urma unor lucrări personale pe care le vom prezenta în acest sub-site Geometrical Physics B (grupurile dinamice ale fizicii), problema va consta tocmai în a face să apară alte „atribute” ale particulelor elementare, ca componente ale unui moment mai bogat (încărcările: electrică, barionică, leptonică, tauonică și coeficientul gyromagnetic).
A fost Souriau, în anii '70, care a construit metoda care permite apariția componentelor momentului unui punct material, pornind de la grupul care îl gestionează (în cazul relativist, este grupul lui Poincaré). Vedeți lucrarea:
Structura sistemelor dinamice. Dunod 1973
Pentru recomandare: aspirină puternic recomandată.
Este dificil să mergem mai departe fără a utiliza un arsenal matematic destul de amplu, dacă nu chiar complicat. Poate vom face asta mai târziu, pe site, dacă sunt amatori, în stilul „Tot ce ați vrut să știți despre grupuri fără niciodată să vă îndrăzniți să întrebați”.
Revenire la subcuprinsul „grupuri și fizică”