8
(91)
Această acțiune coadjunctă poate fi scrisă sub formă matricială.
Matricea grupului Poincaré este:
(92)
transpusa sa este:
(93)
Considerăm matricea:
(94)
Adică vom pune momentul
(95)
Jp = {
M,
P }
sub formă matricială și formăm produsul:
(96)
(97)
(98)
pe care o pot identifica cu matricea:
(99)
Jp este deci momentul grupului Poincaré, scris sub formă matricială. Acțiunea coadjunctă se scrie atunci:
(100)
Ca exercițiu, cititorul poate verifica, bazându-se pe axiome, că aceasta este într-adevăr o
acțiune
.
Momentul grupului Poincaré poate fi explicitat astfel:
(101)
Această matrice este antisimetrică (ceea ce implică faptul că diagonala principală este formată din zerouri).
M este matricea:
(102)
O explicităm:
(103)
Este într-adevăr o matrice antisimetrică, ipoteză formulată de la început, care depinde de șase parametri:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Cele trei ultime ( fx , fy , fz) sunt componentele unui vector, vectorul-
deplasare f
:
(105)
Cele trei prime ( lx , ly , lz) sunt componentele independente ale unei matrice antisimetrice (3,3), rotirea l:
(106)
Astfel:
(107)
Vectorul
P este
quadri-vectorul impuls-energie
:
(108)
Putem atunci explicita momentul grupului Poincaré, în toată generalitatea sa:
(109)
Se verifică că este într-adevăr un obiect cu zece componente (număr egal cu cel al dimensiunilor grupului).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Întoarcere la subcuprinsul „grupuri și fizică”