9
Particule cu spin.
Grupul Poincaré descrie mișcarea relativistă a unui obiect punctiform. Similar, grupul Bargmann, a cărui expresie va fi dată mai târziu, descrie mișcarea ne-relativistă a unui obiect punctiform, numit în acest caz „masă punctiformă”.
Astfel, această tehnică, calculul acțiunii coadunate a grupului asupra spațiului momentelor, a permis apariția unor elemente ascunse, a unor proprietăți ale obiectului: componentele momentului.
Ceea ce este remarcabil este că această abordare, datorată lui Souriau, face să apară obiectele esențiale ale fizicianului ca fiind pur geometrice. Astfel, a realizat un lucru fără precedent: geometrizarea fizicii.
În afară de energie și impuls, alte componente, „rotația” și „trecerea”, îl dezorientă destul de mult pe fizician. Ce înseamnă asta?
Expresia componentelor momentului depinde evident de sistemul de coordonate ales.
Cel mai simplu ar fi să revenim scurt la cazul ne-relativist, adică la expresia acțiunii coadunate, așa cum ar fi rezultat din analiza grupului Bargmann.
(111)
Formulă misterioasă. La ce folosește? Cum funcționează?
În acest cadru, fizicianul va recunoaște câteva obiecte cunoscute:
(112)
nu sunt decât două expresii ale vectorului viteză { vx , vy , vz }, prima sub formă de matrice coloană, a doua sub formă de matrice linie. Produsul celor două matrici este un scalar:
(113)
ceva care începe să semene cu o energie cinetică.
m v este un impuls.
Fizicianul tradițional, în ceea ce privește dinamica unui punct material, cunoaște doar trei lucruri:
-
Masa m
-
Impulsul m v
-
Energia cinetică 1/2 mv²
Da, dar viteză față de ce?
Un grup este, de asemenea, un punct de vedere asupra lucrurilor. Putem considera fie că transportăm, cu ajutorul grupului, obiecte (așa cum am văzut cu grupul euclidian), față de un observator presupus fix, fie, dacă obiectul este fix, că îl observăm diferit.
Dacă alegem această mișcare, acest transport al obiectelor, în ceea ce privește grupurile dinamice, cele din fizică (în contrast cu grupul euclidian, unde timpul nu apare), trebuie să spunem că animăm obiectele, conferindu-le viteză v și energie E.
Dacă adoptăm punctul de vedere invers: considerăm că obiectul este fix și ne imaginăm că ne mișcăm, ce sens să dăm grupurilor?
Grupul euclidian ar însemna atunci: „Văzut din altă parte și dintr-un alt unghi”.
„Altă parte” este vectorul de translație:
(114)
„Văzut dintr-un alt unghi” este matricea de rotație a, o rotație în spațiu (pe care am putea-o explicita cu unghiurile Euler, lucru pe care nu-l vom face).
În ceea ce privește grupurile dinamice, acest punct de vedere, această privire asupra „lucrurilor”, trebuie îmbogățită. Rămânând în contextul grupului Bargmann, introducerea acestei viteze v înseamnă că, în plus, observatorul care observă această masă punctiformă din altă parte (vectorul-translație c), dintr-un alt unghi (matricea de rotație a), este, de asemenea, animat, față de această masă punctiformă presupusă fixă, cu o viteză v.
Și, pentru a fi complet, pentru a complica lucrurile, nu evoluează în același timp cu particula, cu masa punctiformă observată. Este deplasat față de ea cu un interval de timp Δt. Altfel spus: o observă din altă parte, dar este o altă parte spațio-temporală, corespunzătoare vectorului de translație spațio-temporală:
(115)
Având un astfel de „distanțare” față de această masă punctiformă, ce constat? În primul rând că: m' = m
Aceasta nu afectează masa sa.
Mă pot simplifica viața anulând rotația. E deja destul de complicat să observ o masă punctiformă din altă parte, văzută dintr-un alt moment, deplasată, așezată pe un skateboard care se mișcă cu viteza v. Mai este absolut necesar să-mi întorc capul?
Nu. Să luăm a = 1.
Dar de obicei se omit astfel de detalii în calcule. Acțiunea coadunată, în această formă particularizată, devine:
(117)
A considera trebuie înțeles aici în sensul său etimologic. Ce fac când consider o situație, cerul, un câmp de luptă, filmul luat de un avion-espion?
Un șerif va scrie:
- Considerând starea locului...
Vedere statică, corespunzătoare grupului euclidian. Șeriful observă obiectele la o distanță c, în același moment (Δt = 0), în mod obișnuit imobil (v = 0). În cazuri particulare, sub un anumit unghi.
Un general, plimbându-se într-un avion de recunoaștere, este o fel de șerif care se mișcă (v ≠ 0).
Dar un șef de Stat-Major care urmărește filmul luat de un avion-espion, un „drone”, se confruntă cu o situație deplasată în timp. Trebuie să-și spună:
- Considerăm ținta, văzută dintr-un anumit punct, în viraj înclinat, cu o anumită viteză, și mai ales așa cum arăta cu două ore în urmă...
Ținta nu are o viteză proprie particulară. Nu poate fi considerată fixă, chiar dacă este „o instalație fixă”. Chiar Pământul se mișcă, și Soarele, și galaxia, etc.
Revenire la subcapitolul „grupuri și fizică”