Evocare
a lucrării lui Jean-Marie Souriau
despre dinamica sistemului solar.
Această lucrare a fost prezentată de acest autor la un colocviu ținut la observatorul din Geneva, în 1989, al cărui temă era:
„Rezonanțe și non-rezonanțe în sistemul solar”
Punctul de plecare al lui Souriau este analiza perioadelor orbitelor diferitelor planete. El reține atunci cea a Pământului: 365 de zile și cea a Venusului: 225 de zile și calculează, atât în aval cât și în amonte, șirul Fibonacci corespunzător (sau de tip Fibonacci, unde fiecare termen este suma celor doi precedenți). Se știe că în aceste condiții raportul a două numere succesive din acest șir tinde spre numărul de aur.
Souriau obține atunci aceasta:
30
Soare
(29 de zile)
55 Nimic
85
Mercur
(88 de zile)
140 Nimic
225 Venus 365 Pământul
590 (1 an și șapte luni)
Marte
(1 an și 10 luni)
955 Nimic
1545 (4 ani și 3 luni)
Ceres-Pallas
(centura de asteroizi)
2500 Nimic
4045 (11 ani)
Jupiter
(11 ani și 10 luni)
6545 Nimic
10590 (29 de ani)
Saturn
(29 de ani și 5 luni)
17135 Nimic
27725 (76 de ani)
Uranus
(84 de ani)
44860 Nimic
72585 (199 de ani)
Neptun
(165 de ani), Pluton (248 de ani)
O coincidență destul de uimitoare, să recunoaștem. Souriau studiază apoi rezonanțele dintre planete. Pentru aceasta trebuie să dispună de un test care să măsoare dacă raportul x a două perioade, cuprins între zero și 1, este „aproape” de o fracție ireductibilă:
De mult timp un astfel de test a fost elaborat de matematicieni (Liouville, Hurwitz, Borel etc.). Este vorba de numărul:
q
( x , q) = (numitor)
2 x I
x - q
IDesemnând prin
q
(x) marginea sa inferioară când
q
parcurge mulțimea raționalelor,
q
este nul dacă x este rațional, mic dacă x este aproape de un rațional; el măsoară deci iraționalitatea lui x. Numerele „cele mai iraționale” sunt atunci numărul de aur:
și pătratul său:
w 2
= 1 -
w
= 0,3820...
Se poate constata pe diagrama care dă funcția
q
Fig.1: Diagrama funcției
q
cu cele două vârfuri ale sale, corespunzând numerelor „cel mai puțin rezonante”:
numărul de aur și pătratul său.
Această funcție
q
(care nu are nimic de-a face cu datele
de observație) este un pur „obiect matematic”, o proprietate izvorâtă din șirul numerelor reale. Acest șir continuu secretă atunci acest spectru straniu, populat cu fel de fel de lacune (acolo unde se situează rapoarte de numere întregi, numere raționale, unde
q
= 0).
În continuare perioadele de revoluție ale principalelor planete ale sistemului solar, în ani:
Mercur: 0,2408425
Venus: 0,6151866
Pământ: 1,0000000
Marte: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturn: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptun: 164,765
Pluton: 247,68
De notat că raportul dintre perioadele lui Pluton și Neptun este:
Raportul unuia dintre acești termeni față de următorul rămâne cuprins între 1/3 și 2/3. Cinci dintre aceste nouă rapoarte sunt cuprinse între 0,35 și 0,40. Souriau întreprinde atunci studierea rapoartelor dintre perioadele diferitelor planete. Două planete în stare de rezonanță perfectă ar conduce la un raport al perioadelor lor care ar fi un număr rațional, câtul a două numere întregi.
Souriau decide să analizeze diferitele rezonanțe, în sistemul solar, în starea actuală. Pentru aceasta el ia rapoartele perioadelor de rotație ale principalelor planete, două câte două, și aplică testul evocat mai sus.
Un calcul simplu îi permite să stabilească lista rezonanțelor dintre planetele mari (Ceres și Pallas sunt cele mai mari dintre „planetele mici” și perioadele lor diferă doar cu 3 zile și se situează în centura de asteroizi), al căror test
q
este inferior lui 0,1 (numitor ? 6). :
Neptun-Pluton: x = 2/3 x 0,9980
q
= 0,01
Uranus-Neptun: x = 1/2 x 1,0199 q
= 0,04
Uranus Pluton: x = 1/3 x 1,0176
q
= 0,05
Venus-Marte: x = 1/3 x 0,9812
q
= 0,06
Jupiter-Saturn: x = 2/5 x 1,0067 q
= 0,07
Acest tabel arată că cele mai îndepărtate două planete, Neptun și Pluton, prezintă rezonanțe deosebit de marcate. Ele formează deci un cuplu „aparte” față de celelalte și Souriau decide să le neglijeze în analiza care va urma, operând o analiză Fourier a perioadelor:
Pj fiind perioadele planetelor, de la Mercur la Uranus. Rapoartele succesive ale perioadelor sunt cuprinse între 1/3 și 2/3. Figura următoare evocă alura curbei IF(a)I pentru a variind între 1/3 și 2/3. Pentru mai multă lizibilitate Souriau a trecut pe grafic IF(a)I
4
.
Figura 2: Funcția F(a)
Două vârfuri semnificative apar pentru valorile 0,615 și 0,380 în coincidență precisă cu vârfurile din figura 1 (
w
= 0,618 și
w 2
= 0,380). Souriau suprapune atunci acest spectru cu funcția
q
:
Figura 3.
și el concluzionează la un efect global de non-rezonanță, cu excepția cuplului rezonant Neptun-Pluton. Defazajul lui F între cele două vârfuri poate fi interpretat prin transformata Fourier reciprocă: pornind de la un anumit număr de linii ak selectate în spectrul F se construiește funcția F:
Valorile lui Pj sunt atunci apropiate de anumite maxime ale părții reale a lui F. Souriau limitează atunci acest spectru la cele două linii a1 =
w
și a2 =
w 2
și obține curba din figura de mai jos, unde sunt de altfel trecute perioadele reale ale planetelor.
Figura 4: Poziționări probabile P
ale planetelor pornind de la un spectru construit
pornind de la cele două linii
w
și
w 2