29 februarie 2010

Document fără nume

Se poate gândi ca un crab?

27 februarie 2009

Noi ne exprimăm, printre altele, prin intermediul unui limbaj, iar acesta ar trebui să reflecte structura noastră logică. În limbajul nostru am creat o structură bivalență, cu DA și NU, ADEVĂRAT și FALS, care duc la „gândirea aristotelică”, potrivit căreia orice enunț (un logician ar spune „propoziție”) poate fi doar ADEVĂRAT sau FALS. Acest principiu se numește principiul terțului exclus.

Din păcate, experiența nu urmează teoria, iar exprimarea noastră este plină de propoziții indecidabile, care nu sunt nici adevărate, nici false, cum este:

Eu mint

De aproape un secol, logicienii și-au depus toată imaginația în încercarea de a construi logici non-bivalente. Să dăm un exemplu de logică trivalentă: logica fuzzy, ale cărei valori de adevăr sunt:

Adevărat Indeterminat Fals

O logică care și-a dovedit caracterul operațional în automatizări și controlul proceselor (în inginerie).

Au fost făcute și încercări de construire a unei logici tetravalente, cea mai clasică având valorile de adevăr:

O extensie care nu s-a dovedit fertilă.

În lucrarea sa:

Pentru a contacta direct autorul:

Erratum: Autorul ne semnalează că există un erratum în unul dintre tabelele prezentate în cartea sa. Este vorba despre cel de la pagina 29, iar varianta colorată se găsește la pagina 135. În primul rând, vă mulțumim pentru interesul acordat acestui lucru și pentru alegerea de a cumpăra volumul.

Așa se întâmplă uneori... A apărut o greșeală frumoasă! În linia și coloana a treia, în loc de 1 apare greșit 0. Corecția va fi transmisă tuturor în câteva zile.

În plus, semnele = și \ se găsesc pe diagonale: aceste duble bare, privite de-a lungul unei diagonale, dau semnul =, iar de-a lungul celeilalte diagonale dau \, pe care trebuie să-l înțelegem ca „diferit”, acolo unde apar.

Sperăm că aceste precizări vă vor permite să continuați lectura cu profit și vă reexprimăm încă o dată cele mai călduroase mulțumiri (și scuzele noastre!), rămânând la dispoziția dumneavoastră în cazul în care întâmpinați din nou o îndoielă... sau o nouă greșeală!

Figura 2.2, care trebuie înlocuită cu tabelul de mai sus

Denis Seco de Lucena ne invită la o explorare ciudată, din care cititorul s-ar putea să nu iasă nevătămat. Să începem cu o analiză a limbajului, ceea ce este metoda oricărui logician. Autorul propune introducerea a ceea ce numește transversalitate. În această viziune, orice propoziție ar putea fi exprimată în patru forme, simetrice două câte două, formate din „două perechi simetrice”. Există exemple foarte numeroase în limbaj, dar „a patra propoziție” este uneori dificil de formulat, sau chiar nu corespunde niciunui calificativ existent în limbaj.

Să dăm mai întâi exemple în care această transversalitate se exprimă clar. Să luăm, de exemplu, conceptul de mișcare. Există astfel patru modalități de „a se mișca”:

Se desenează imediat perechile, cu simetriile lor. Retrogradarea este opusul avansării și viceversa. Mișcarea este opusul stagnării și viceversa.

Dacă ne referim la topologie, vom introduce patru adverbe sau locuțiuni adverbiale:

29 februarie 2010: Prietenul meu Jacques Legalland sugerează că a patra propoziție ar fi mai bine formulată astfel:

Dacă ne referim la culori:

27 februarie 2010: Jie sugerează:

Jucându-ne cu timpul:

Adverbul niciodată este echivalentul temporal al locuțiunii adverbiale nicăieri (vezi mai sus).

Această viziune mi se pare asemănătoare cu textul ummit despre logică, care, dacă îmi amintesc bine, evocă patru valori de adevăr:

Dacă reluăm valorile de adevăr ale logicii tetravalente clasice:

27 februarie 2010: Ar trebui să reinterpretem a patra valoare ca „nu corespunde acestei categorii de clasificare”:

Să luăm numerele reale. Avem:

A patra propoziție ar putea fi:

Trecând la implicație:

Se desenează aici patru modalități de „a spune”, diferite de logica tetravalentă „clasică”, menționată mai sus. Simetria ultimelor două propoziții este diferită. Autorul propune să spunem că aceste perechi de propoziții, de calificative, sunt „transverse”.

Modul în care prezentăm lucrurile nu corespunde cu cel folosit de autor în cartea sa, pe care v-o recomandăm cu căldură. Totuși, de la început vă veți întreba: „Ce se ascunde în spatele acestor idei?”. Această întrebare vă va conduce departe... Autorul, oamen de știință, și-a găsit punctul de plecare în scrisoarea primită în 1992 de la corespondenți misterioși care se semnalează ca „Ummiți”, scrisoare trimisă din Ryad, Arabia Saudită. Pentru cei care nu cunosc această poveste, este bine să reamintim contextul. În masa de documente aduse din Spania începând cu anii ’70, autorii acestor texte insista mult asupra necesității de a renunța la logica aristotelică și de a trece la o logică tetravalentă.

Timp de ani m-am străduit, efectuând diverse încercări. În 1992 aveam un Macintosh de prima generație, cu procesor de 2 MHz, și, desigur, fără modem sau orice alt mijloc de comunicare cu exteriorul. În acest calculator am înregistrat reflecții pe care le-am avut, cunoscute doar de mine. Fiind impresionat de teorema lui Gödel, mi-am amintit că aceasta se bazează pe aritmetică (manipularea numerelor naturale), axiomatizată la sfârșitul secolului trecut de matematicianul Peano. Matematicianul Gauss a inventat ce se numesc astăzi numerele lui Gauss, adică numere complexe cu coeficienți întregi.

Am observat că, în mod clasic, aceste numere Gauss sunt considerate perechi de numere naturale (a, b), iar nicio axiomatizare nu a fost încercată pentru construirea lor, decât prin simpla decizie de a le „da două numere întregi”.

Câteva zile după ce am înregistrat aceste reflecții pe disc, am primit cu surpriză o scrisoare trimisă din Arabia Saudită, care menționa exact aceleași idei.

Conținutul acestei scrisori

Se pare că Denis, fiind oamen de știință, a găsit în această scrisoare ciudată punctul de plecare pentru o cercetare de zece ani, pe care l-a descris în cartea pe care tocmai a publicat-o. Din cauza caracterului exotice, dacă nu chiar sulfureu, al acestei surse, se înțelege de ce a decis să o publice sub un pseudonim.

Nu știu dacă vă amintiți de cartea lui Jules Verne Călătorie la centrul Pământului, unde eroii se joacă cu un mesaj misterios, lăsat de Aarne Saknudsen. Combinând aceste elemente, ajung să descopere calea către centrul Pământului. Așteptați-vă deci, în cartea lui Denis, la ceva similar.

El nu este primul care a încercat această aventură, dar până acum toate încercările s-au dovedit sterile, în ciuda unor aparențe uneori seducătoare. Gândesc la încercarea canadienului Norman Mohlant de pe site-ul ummo.science. Un matematician ar spune că „se pot crea algebre la infinit” și se poate juca cu ele, ca cu un set de Lego. Dar construirea elementelor unui nou set Lego este alta.

Unde se află „plusul” în munca lui Denis?

Acesta începe prin a reînțelege, în cadrul pistei desenate în scrisoarea din Ryad, calea care duce la obiectele matematice inventate în 1843 de matematicianul irlandez Hamilton: cuaternionii. Aceștia apar cel mai frecvent în cărți ca o fel de extensie a numerelor complexe:

Q = a + b i + c j + d k

cu

i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k
(i j)² = k j
i j = - j i (anticomutativitate)
j k = i
j k = - k j
k i = j
k i = - i k

Produsele sunt anticomutative.

Când Hamilton a inventat acești cuaternioni și a descoperit imensitatea proprietăților lor, a fost atât de fascinat de descoperirea sa încât a spus:

• Toate acestea trebuie să aibă aplicații în fizică, dar cum să știu care?

Desigur, nu putea imagina că această legătură va fi stabilită odată cu apariția Mecanicii Cuantice. Într-adevăr, de exemplu, matricele Pauli sunt cuaternioni.

Autorul arată cum considerații pur geometrice permit, plecând de la conținutul scrisorii, să se ajungă la o construcție geometrică a cuaternionilor (prin intermediul unui „plan complex cu două fețe ortogonale”). Cartea se numește Secretul scrisorii din Ryad. Acest secret este aici abordat. În această scrisoare se vorbește despre celebrul teoremă a lui Fermat, care spune că ecuația cu valori întregi

aⁿ = bⁿ + cⁿ

are soluții doar pentru n ≤ 2.

Matematicianul Lagrange este autorul unui teoremă similară, pe care Fermat o formulase anterior ca o conjectură, anume că orice număr întreg este suma a patru pătrate:

N (orice număr întreg) = a² + b² + c² + d²

Trebuie inclus și zero printre aceste numere, astfel încât:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

O demonstrație ulterioară celei a lui Lagrange folosește cuaternionii, cu un raționament prin inducție.

Aș dori ca Denis să ne arate demonstrația teoremei lui Lagrange, folosind cuaternioni, și să o publice pe site-ul său.

Fie un cuaternion:

Q = (a, b, c, d)

Se definește conjugatul său prin:

conjugatul lui Q = Q̅ (a, -b, -c, -d)

Denis enunță o conjectură potrivit căreia teorema lui Fermat, în forma enunțată de acesta, ar fi un subprodus al unei formulări quaternionice, astfel încât ecuația:

(Q₁Q̅₁)ⁿ = (Q₂Q̅₂)ⁿ + (Q₃Q̅₃)ⁿ

unde cuaternionii au componente întregi, ar avea soluții doar pentru n ≤ 2.

27 februarie 2010: Observ că cele două enunțuri sunt echivalente, deoarece modulul unui cuaternion (a, b, c, d) este a² + b² + c² + d², adică un număr întreg, în baza teoremei lui Lagrange.

Această paranteză ar putea deranja cititorul obișnuit. În schimb, întreaga carte rămâne foarte accesibilă. Exemplele multiple de transversalitate oferă un joc amuzant și stimulent cu limbajul, iar cititorul se poate distra găsind și alte exemple de acest fel. Schemele geometrice sunt, de asemenea, foarte clare.

Această carte pare a fi prima piatră de temelie a unei construcții mai vaste, o deschidere către o gândire diferită.

Pentru a comanda cartea (18 euro, transport inclus, 144 de pagini):

http://quadrilogie.com

2 martie 2009: Un cititor, domnul Christian Pedro, ne-a furnizat un fișier PDF cu demonstrația teoremei celor patru pătrate a lui Lagrange.

Teorema celor patru pătrate a lui Lagrange

Altă observație: Produsul modulelor a două cuaternioni este egal cu modulul produsului. Demonstratie datorată matematicianului Euler (1750):

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
= (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +

• (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

Aceasta înseamnă că modulul produsului a două cuaternioni:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

este modulul cuaternionului:

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄,
a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃,
a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃,
a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

Domnul Pedro este sceptic cu privire la posibilitatea ca o abordare bazată pe cuaternioni să ducă la o demonstrație relativ simplă (față de cea a lui Wiles, care ocupă sute de pagini!), chiar dacă miile de matematicieni s-au străduit fără succes asupra problemei.

Eu nu am o părere în această privință. Totuși, voi face două observații.

Știm că numerele naturale pot fi scrise în orice bază, iar numerele prime păstrează această proprietate, indiferent de baza în care sunt scrise. Deci putem alege cea mai simplă bază: baza doi, cu cele două elemente: 0 și 1.

Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858–1932) a dat cei cinci axiomi care stau la baza aritmeticii numerelor naturale.

Matematicianul italian Giuseppe Peano

1. Elementul numit zero și notat 0 este un număr natural.
2. Orice număr natural n are un unic succesor, notat s(n) sau S n.
3. Niciun număr natural nu are pe 0 ca succesor.
4. Două numere naturale care au același succesor sunt egale.
5. Dacă un set de numere naturale conține