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Géométries
conjuguées.
...Nous
allons associer alors un posicône émoussé et un "négacône
émoussé", comportant les mêmes quantités de courbure,
mais de signe opposé : + q
et - q.
On peut les mettre face à face (en créant au passage une "application
point par point" : bi-univoque, injective ). Il y a alors deux nappes.
Appelons-les Fet F*. A tout point de Fcorrespond un point de F*.
...Débrouillons-nous
pour que les contours circulaires des "parties émoussées", porteuses
de courbure (positive dans une nappe, négative dans l'autre) se correspondent
point par point. On illustre ceci en projetant le tout sur un plan. On obtient
deux surfaces ayant des courbures conjuguées.
...Les
flanc côniques sont "non-courbes", ce sont des éléments
de surfaces euclidiens. On dira qu'en tout point de ces surfaces la courbure
locale est nulle. La calotte sphérique et la selle de cheval se correspondent
point par point. Leurs courbures sont opposées.
La Relativité
Générale.
...Le
point de départ est l'idée que la géométrie du
cosmos est déterminée par son contenu en "énergie-matière".
Notons qu'on emploie le vocable énergie-matière et non seulement
matière, ce qui montre bien que tout contenu cosmique a une influence
sur la géométrie, y compris le rayonnement, les photons (ou
les neutrinos). Nous avons vu plus haut qu'un photon créait une mini-courbure
positive dans l'espace.
...Nous
allons d'abord raisonner en stationnaire. Une surface plane, libre, est une
surface où la tension est nulle. On peut modifier sa géométrie
en y créant des tensions, positives ou négatives (le signe est
une question de conventions). Si je chauffe par exemple un film plastique
je pourrai y faire apparaître une cloque, c'est à dire une région
à courbure positive.
...Je
peux aussi mettre à la surface d'une feuille de papier un produit qui,
en sèchant, va se contracter. La tension fera apparaître une
région à courbure négative.
...Un
chaudronnier formeur sait jouer sur ces tensions pour déformer une
tôle. Prenons par exemple un tube de métal. Je chauffe d'un côté,
je refroidit de l'autre. Que va-t-il se passer ?
Le tube va se courber,
la partie chauffée se dilatant et la partie refroidie se contractant.
...Ce
faisant, nous avons créé des tensionsdans le
métal. C'est l'origine du mot tenseur, en mathématiques
et en géométrie. Le spécialiste de résistance
de matériaux parlera de tenseur des contraintes . Le géomètre
parlera de tenseur de courbure .
La petite expérience
ci-dessus illustre l'idée :
Contenu local en énergie ----->
géométrie locale
...En
Relativité Générale, on fait de même. La différence
est que ce contenu local en énergie-matière détermine
la géométrie d'une hypersurface à quatre dimensions et
non, comme ici, la géométrie d'une surface à deux dimensions.
Mais l'idée est similaire.
...Le
mathématicien utilisera alors une écriture tensorielle. On ne peut guère en dire plus ici pour un non-mathématicien.
Mais le tenseur d'Einstein S
(on utilisera des lettres grasses) correspond à l'aspect géométrie.
Dans l'équation d'Einstein on l'identifie à un autre tenseur
T, qui décrit
le contenu en énergie-matière, à une constante multiplicative
près, la "constante d'Einstein c
".
La célèbre
équation d'Einstein s'écrit donc :
S = c
T
...Dans
le tenseur T
interviennent la masse volumique r et
la pression p (en fait le tenseur T le
plus général est plus complexe, mais nous nous contenterons
de cette expression, usuelle, d'ailleurs). Dans une configuration stationnaire
on se donnera donc une certaine distribution de densité et de pression
r (x,y,z)
, p (x,y,z). Avec ceci on sait construire le tenseur T
qui contient ainsi toutes
les données du problème. La question est alors : "quelle est
la géométrie qui va avec ce tenseur T ,
satisfaisant l'équation ci-dessus ? ".
...Autrement
dit, le physicien, connaissant le contenu local de l'univers cherche à
déterminer la géométrie de l'hypersurface univers.
Qui dit géométrie
dit géodésiques. C'est ici qu'intervient la deuxième
hypothèse de la Relativité Générale :
On suppose que les objets qui cheminent
dans l'univers
suivent des géodésiques
de l'hypersurface espace-temps.
Par objet on entendra
particules (particules dites élémentaires, photons, neutrinos)
mais aussi planètes, étoiles, etc....
A ce stade, une remarque
: où sont les particules dans toute cette affaire-là ?
...Réponse
: le spécialiste de la Relativité Générale fait
dans le macroscopique. Les fonctions-entrées du problème, la
masse volumique r et
la pression p, correspondent à une description macroscopique du contenu
cosmique. Même chose pour la "sortie". Et le géomètre
d'ajouter :
- Vous m'avez donné
des fonctions r
(x,y,z)
et p (x,y,z), je vous ai construit l'hypersurface qui allait avec, avec ses
familles de géodésiques. Mais je ne peux pas faire plus. Je
suis en particulier incapable de vous fabriquer des particules, des atomes,
etc. Pour cela, voyez un autre service...
En clair : le pont entre
la Relativité Générale et la physique des particules
n'est pas encore bâti.
Mais l'astronome s'écrira
:
- Qu'importe. Cette hypothèse
selon laquelle les photons suivent certaines géodésiques de
cette hypersurface fonctionne. La preuve : je peux faire des observations.
Si je suppose que les planètes, assimilées à des masses
ponctuelles, suivent également des géodésiques de cette
hypersurface, je peux construire leurs trajectoires. Il y a aussi les effets
de lentille gravitationnelle....
Il a raison.
...Ces
effets de lentille gravitationnelle, disons-en quelques mots. Bien sûr,
cette image du cône émoussé n'est qu'une image didactique.
Une planète qui orbite circulairement autour d'une étoile suit
aussi une géodésique de l'espace temps. Or un cercle tracé
sur une cône émoussé n'est pas une géodésique
:
Cela montre simplement
les limites des images didactiques, fussent-elles géométriques.
...Les
photons suivent effectivement des géodésiques de l'hypersurface
espace-temps. On pourra se servir de cette image du cône émoussé
pour l'illustrer. Les rayons lumineux peuvent passer de part et d'autre d'un
objet massif, puis converger vers l'observateur. Si nous projetons ces géodésiques,
nous obtiendrons un effet de mirage : l'observateur aura l'impression qu'il
y a deux sources au lieu d'une :
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