ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ
Полиэдрическое представление куспидального точки, вычисление её концентрированной кривизны.
Полиэдрические представления различных поверхностей.
Перестановка куспидальных точек Cross Cap.
Преобразование "прямой" поверхности Боя в "левую" поверхность Боя через поверхность Штейнера.
"Право-левое" инвертирование поверхности Боя.
Жан-Пьер Пети
Директор исследований в CNRS
1988–1999
Аннотация:
Представлены некоторые элементы, позволяющие представлять точки концентрированной кривизны: "позиконы", "негаконы" и их полиэдрические эквиваленты — "позикоины" и "негакоины", которые позволяют строить полиэдрические представления различных поверхностей и восстанавливать их полную кривизну. Таким образом, полиэдрическое представление поверхности Штейнера состоит из четырёх соприкасающихся кубов по их рёбрам, что делает её более понятной. Полиэдрическое представление поверхности Боя уже было дано в "Топологиконе", 1985, издательство Belin, стр. 48–49, в виде разреза, подлежащего сборке. На стр. 46 также приведены полиэдрические представления тора и бутылки Клейна. Представлены полиэдрические представления Cross-Cap. Полная кривизна различных погружений проективной плоскости в R³: поверхность Боя, Cross-Cap, поверхность Штейнера равна 2π. Полиэдрическое представление куспидальных точек, рассматриваемых как точки концентрированной кривизны, позволяет очень просто вычислить её. Cross-Cap, поверхность Штейнера, поверхность Боя выступают как "разные лица" одного и того же объекта — проективной плоскости. Поскольку это не очевидно на первый взгляд, строятся геометрические преобразования, позволяющие переходить от одного к другому. Исходя из Cross-Cap, её преобразуют в поверхность Штейнера, добавляя два дополнительных куспидальных точки (то есть применяя в этом направлении генерическую модификацию "создание-уничтожение куспидальных точек"), затем поверхность Штейнера преобразуется в поверхность Боя путём слияния пар куспидальных точек. Дополнительно, используя тот факт, что стандартное погружение сферы может быть преобразовано в её антиподальное погружение (переворот сферы), показано, что две куспидальные точки Cross-Cap могут быть обменены последовательностью погружений, что иллюстрирует эквивалентность этих двух точек.
ПРЕАМБУЛА:
Читатель найдёт здесь общие сведения, которые также содержатся во введении к "Геометрической физике А" (определение позиконов, негаконов и т.д.). Если он хочет пропустить этот раздел, ему нужно лишь [нажать здесь](#ПОЗИКОНЫ И НЕГАКОНЫ).
Если на плоскости начертить треугольник из прямолинейных отрезков, сумма углов в вершинах будет равна π. Эти прямые на плоскости можно получить иначе: приклеивая на поверхность полоски любого скотча без складок. Такие линии на плоскости называются геодезическими. С помощью этого метода можно начертить геодезические кривые на любой поверхности, например, на крыле автомобиля или на капоте.
Рисунок 1: Треугольник, рассматриваемый как совокупность трёх геодезических плоскости
ПОЗИКОНЫ И НЕГАКОНЫ
Выполним разрез на плоскости и склеим два края, затем начертим треугольник с помощью скотча, состоящего из трёх геодезических этого конуса.
Рисунок 2: Построение позикона.
Раздвинув две стороны поверхности вдоль предыдущего разреза (рис. 3), с помощью транспортира легко убедиться, что сумма углов A, B и C равна π плюс угол разреза α. Отклонение от евклидовой суммы мы назовём кривизной и скажем, что треугольник "содержит" определённое количество угловой кривизны α. Это отклонение будет одинаковым для любого треугольника, если он содержит вершину конуса. Если он не содержит её, сумма будет равна π. Мы скажем, что кривизна сконцентрирована в вершине M конуса, которая является "точкой концентрированной кривизны". Поскольку сумма углов больше евклидовой суммы, мы скажем, что эта кривизна положительна. Таким образом, в этой интерпретации плоскость — это поверхность с нулевой кривизной.
Рисунок 3: Позикон, разложенный на плоскость.
Эта кривизна аддитивна. Если вы склеите вместе несколько таких конусов, соответствующих углам α, β, γ, вы сможете начертить любые треугольники, состоящие из геодезических дуг. Если треугольник охватывает три точки, соответствующие концентрированным кривизнам α, β, γ, то сумма его углов в вершинах будет равна: π + α + β + γ.
Поверхность с положительной кривизной можно рассматривать как сферу, состоящую из бесконечного числа "позиконов". Вместо того чтобы иметь кривизну, сконцентрированную в отдельных точках, мы будем иметь равномерно распределённую кривизну по всей поверхности. Мы скажем, что сфера — это поверхность с "постоянной кривизной" (или с "постоянной плотностью угловой кривизны").
Рис. 4: Треугольник, состоящий из трёх геодезических дуг.
На сфере геодезические — это "большие круги". Экватор и меридианы — это большие круги, то есть геодезические дуги сферы. Однако вы не сможете создать параллель с помощью скотча. Параллели не являются геодезическими сферы. Сумма углов треугольника, начерченного на сфере, зависит от отношения площади треугольника к площади сферы. Сумма углов очень маленького треугольника будет близка к π.
Треугольник, площадь которого составляет одну восьмую площади сферы, будет иметь сумму углов
A + B + C = 2π
Большой круг сферы можно рассматривать как "треугольник", при условии, что три вершины размещены... в любом месте на этом круге. Сумма A + B + C будет равна 3π. Он содержит половину площади сферы.
Каково максимальное отклонение? Нельзя сказать "увеличим" треугольник, выходя за пределы этого большого круга, поскольку за ним длина геодезических дуг, составляющих его стороны, начнёт уменьшаться и даже стремиться к нулю.
Когда мы охватим всю поверхность сферы, получим
A + B + C = 5π = π + 4π
Мы скажем, что полная кривизна сферы равна 4π.
Рис. 5: Сумма углов. Треугольник, состоящий из геодезических дуг сферы.
Количество кривизны, содержащееся в треугольнике, соответствует простой пропорции:
Теперь мы создадим "негакон", вставив в плоскость сектор угла α, как показано на рис. 6.
Рис. 6: "Негакон"
Когда мы удаляем сектор угла, получаем следующее:
Рис. 7: Негакон, разложенный на плоскость.
Сумма углов треугольника равна A + B + C = π - α
Мы скажем, что эта поверхность — негакон, обладающий точкой концентрированной отрицательной кривизны. Эта кривизна также аддитивна. Составляя поверхность из наложения мини-позиконов и мини-негаконов...