Новая аксиоматика групп

Новая аксиоматика групп **

--- **

...Сурио живёт в квартире в старом Аже. Дверь, выходящая на улицу, великолепна. В прихожей стоит довольно необычный транспорт: носилки эпохи, принадлежащие хозяйке жилья — девушке, археологу, если я правильно помню. Носилки стоят у стены. Остаётся только найти двух носильщиков, вставить два длинных деревянных шеста в кольца и сесть, чтобы прокатиться. Открывания застеклены: боковые стёкла можно опустить не с помощью ручки, а с помощью кожаных ремней, как это было в вагонах поездов моего детства.

...Как всё это вызывает мечтания. Я понимаю, что никогда не ездил на носилках. Я уверен, что в эпоху безработицы люди могли бы зарабатывать на жизнь, создав первую регулярную линию носилок в старом Аже. Достаточно было бы построить транспорт, имитирующий древние носилки. Это, вероятно, не так уж сложно. Затем нужно было бы приобрести два вышитых костюма и две пары париков — и вперёд. Маршрут: Курс Мирабо. Этого было бы вполне достаточно. Потом осталось бы только мечтать, немного вообразить.

...Жан-Мари живёт один с кошкой Пиумом в своей большой квартире, полной золотых украшений и деревянных панелей. Пиум очарователен. Тем не менее, у меня нет особой склонности к кошкам. Но этот особенно приветлив и ласков.

Мы обычно работаем на кухне, на этаж выше. Это небольшая комната под крышей, чья теснота контрастирует с величием комнат внизу. Каждый раз Жан-Мари пытается заставить меня выпить его любимый напиток — Фернан-Бранка, на основе артишока, который мне кажется просто ужасным, но которому он приписывает все добродетели.

...Когда он гуляет по городу, он всегда берёт с собой GPS, который никогда его не покидает. Действительно, удивительно видеть, как тебя направляют спутники, находящиеся на расстоянии сорока тысяч километров от улицы, по которой ты идёшь. Чтобы получить лучший сигнал, Сурио склонен идти прямо по оси улицы, уставившись в экран с жидкокристаллическим дисплеем. Это эффективно, кажется, но всё же относительно опасно.

...Мне кажется, нам очень хорошо вместе. В один декабрьский вечер я зашёл к нему, и у нас состоялся следующий разговор.

• Я расскажу тебе о группах. Ты помнишь аксиомы?

• Да, их шесть. Это:

1 - Существуют элементы a, b, c... принадлежащие множеству E

2 - Существует внутренняя операция, обозначаемая o ("круг"), позволяющая комбинировать два элемента множества.

a принадлежит множеству E

b принадлежит множеству E

a o b принадлежит множеству E

3 - Эта операция ассоциативна:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Существует нейтральный элемент e, такой что:

a o e = e o a = a

5 - Каждый элемент a множества имеет обратный элемент, обозначаемый a-1, такой что:

a-1 o a = a o a-1 = e

Это пять?

• Ну, пять, четыре или один. В вопросе нумерации аксиом нет строгого правила. Можно также объединить аксиомы 1 и 2 в одну:

• Существуют элементы a, b, c и т.д., принадлежащие множеству E, с внутренней операцией композиции, удовлетворяющей:

a принадлежит множеству E

b принадлежит множеству E

a o b принадлежит множеству E

Это эквивалентно.

• Ладно, пять, четыре — неважно. К чему ты клонишь?

• Я уберу то, что ты называл аксиомами 4 и 5, определяющими нейтральный элемент и обратный элемент, заменив их аксиомой бутерброда. Всего аксиомы:

1 - Существуют элементы a, b, c... принадлежащие множеству E

2 - Существует внутренняя операция, обозначаемая o ("круг"), позволяющая комбинировать два элемента множества.

a принадлежит множеству E

b принадлежит множеству E

a o b принадлежит множеству E

3 - Эта операция ассоциативна:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Пусть три элемента a, b, c принадлежат множеству E.

Рассмотрим уравнение:

a o y o b = c

Оно имеет единственное решение.

Это то, что я называю аксиомой бутерброда, где "ветчина" y находится между элементами a и b, а c — это сам бутерброд. Аксиома означает:

Всегда можно извлечь ветчину из бутерброда.
*

И я утверждаю, что эти аксиомы определяют группы, они эквивалентны предыдущим.

• Это единственное решение y принадлежит множеству E, поскольку операция внутренняя и ассоциативна.

• Конечно, это очевидно.

• Но лучше всё же сказать это вслух. Не знаю, как ты собираешься восстановить два аксиомы, касающиеся нейтрального элемента и существования обратного, но я понимаю, что подтолкнуло тебя к этой идее.

• Я подумал: "А зачем это нужно?"

• Именно. Зачем нужен нейтральный элемент? По сути, это означает: "Если у меня есть множество E и нейтральный элемент, я могу комбинировать все элементы этого множества с ним и получать то же самое". Это мне не особо помогает. То же самое касается обратного элемента как такового. Когда мы производим вычисления в группах, на любом объекте, мы всегда обходимся, умножая справа или слева на элементы или их обратные, чтобы получить a o a-1 или a-1 o a, которые заменяются на e, а затем b o e или e o b, которые заменяются на b. Твоя аксиома бутерброда "функциональна".

• Если хочешь. Перейдём к теоремам, вытекающим из аксиомы бутерброда. Первая:

I - Существует нейтральный элемент, который при композиции с самим собой даёт себя:

e = e o e

II - Этот нейтральный элемент уникален.

Доказательство:

Исходя из аксиомы бутерброда, уравнение

a o y o b = c

имеет единственное решение y.

Это верно и при b = c = a, следовательно:

a o y o a = a

имеет единственное решение. Умножим справа на y:

a o y o a o y = a o y

Обозначим a o y = e

...Это элемент множества, поскольку a и y принадлежат множеству, а операция внутренняя. Следовательно, существует элемент множества такой, что:

e o e = e

...Теорема I доказана. Перейдём к единственности, теореме II. Если бы не было уникальности, существовал бы другой элемент множества, назовём его f, удовлетворяющий:

f o f = f

Имеем:

e o e = e

Умножим справа на f:

e o e o f = e o f

Снова умножим справа на e:

e o e o f o e = e o f o e

Используем ассоциативность:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Это два бутерброда. Обозначим их:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Согласно аксиоме бутерброда, можно "извлечь ветчину", то есть вычислить выражения ( e o f ) и f, которые будут равны, поскольку p = q. Следовательно:

( e o f ) = f

...Повторим, исходя из утверждения, относящегося ко второму элементу f:

f o f = f

...Умножим справа на e, дважды слева:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Используем ассоциативность:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Используя аксиому бутерброда во второй раз, получаем:

e o f = e

следовательно:

e = f

Теорема III: Если взять этот элемент e, "равный своему квадрату", он влечёт за собой:

a o e = a

Доказательство:

Мы используем аксиому бутерброда. Исходим из определения e:

e o e = e

Умножим справа последовательно на a и на e:

e o e o a o e = e o a o e

Применим ассоциативность:

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Следовательно:

e o a = a

Исходя из:

e o e = e

и умножая слева последовательно на a и на e:

e o a o e o e = e o a o e

Применим ассоциативность:

e o ( a o e ) o e = e o a o e

откуда:

a o e = a

Теорема III доказана.

Перейдём к теореме IV

(существование обратного элемента, обозначаемого a-1).

Формулировка: пусть задан элемент множества. Существует единственный элемент, являющийся решением уравнения:

a o y o a = a

Обозначим этот элемент a-1 и назовём его обратным к a. Этот элемент удовлетворяет свойствам:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Доказательство.

Существование и единственность этого элемента — простое следствие аксиомы бутерброда, когда она формулируется так:

Когда куски хлеба одинаковы между собой и одинаковы с бутербродом, ветчина является обратным куску хлеба (или бутерброду).

a o y o a = a

Мы можем применить ассоциативность двумя способами:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Теперь мы знаем, что:

e o a = a

a o e = a

Следовательно, решение y удовлетворяет:

a o y = e

y o a = e

Покажем, что это решение единственно. Если бы его не было, существовало бы другое:

a o z = e

z o a = e

Умножим первое уравнение слева на y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

но y o a = e, следовательно:

z = y

Это решение назовём a-1, решением единственного уравнения:

a o a-1 o a = a

Таким образом, новый набор аксиом приводит к тем же свойствам, которые классически определяют группы.

Следовательно, группы можно определить с помощью этого нового набора аксиом:

Определение группы.

1 - Существуют элементы a, b, c... принадлежащие множеству E

2 - Существует внутренняя операция, обозначаемая o ("круг"), позволяющая комбинировать два элемента множества.

a принадлежит множеству E

b принадлежит множеству E

a o b принадлежит множеству E

3 - Эта операция ассоциативна:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Пусть три элемента a, b, c принадлежат множеству E.

Рассмотрим уравнение:

a o y o b = c

Оно имеет единственное решение.

Если элементы множества E, снабжённые своей внутренней операцией композиции, удовлетворяют этим четырём аксиомам, я утверждаю, что они образуют группу.

Теорема: Нейтральный элемент является собственным обратным. Эта новая определение нейтрального элемента через одно уравнение порождает другой тип доказательства этой свойства.

e o e = e

Это определение особого элемента e. Однако аксиома бутерброда делает это уравнение идентичным свойству (а не определению) обратного элемента.

Другая теорема: обратный к обратному равен самому элементу:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a является обратным к a-1. Отсюда следует свойство.

Покажем, что:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

Вычислим:

a o b o b-1 o a-1 и b-1 o a-1 o a o b

Покажем, что эти две величины равны e.

a o (b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

То же самое для другой выражения.

• Это другой подход к понятию группы.

• Онтология групп.

• Если хочешь.

• Но что-то подсказывает мне, что это может оказаться плодотворным.

• Теперь забудь обо всём, включая аксиому бутерброда. Рассмотрим множество E с внутренней ассоциативной операцией o. Предположим, что в этом множестве существует элемент, который при композиции со всеми другими играет роль нейтрального элемента:

a o e = e o a = a — он уникален?

• Если он существует, он обязательно уникален, это можно доказать.

• Ах да, это правда.

• Я скажу, что два элемента a и b связаны отношением взаимности, если

a o b = b o a = e

Если задан a, то b — его обратный. Я утверждаю, что если ограничить множество подмножеством элементов, имеющих обратные, это подмножество образует группу. Это способ построения групп. Другими словами, мы выбираем из множества элементы, удовлетворяющие этому свойству, и утверждаю, что этого достаточно, чтобы утверждать, что это подмножество образует группу.

Нужно показать, что это свойство является внутренним.

• Что ты имеешь в виду?

• Пусть два элемента a и a' удовлетворяют этому свойству, то есть:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a имеет обратный элемент b

a' имеет обратный элемент b'. Следовательно, они находятся в рассматриваемом подмножестве. Нужно показать, что a o a' также имеет обратный элемент.

Уберём эти "круги", которые тяжелы.

a' o b' = e

Умножим слева на a и справа на b:

a a' b' b = a e b = a b = e

Следовательно:

(a a') (b' b) = e

Вернёмся к:

b o a = e

Умножим слева на b' и справа на a':

b' b o a o a' = b' e o a' = b' a' = e

( b' b)( a a') = e

Следовательно, элемент, полученный композицией a и a', которые имеют обратные, сам также имеет обратный.

• Остаётся показать, что это подмножество действительно образует группу.

• И для этого я покажу, что это подмножество удовлетворяет аксиоме бутерброда, то есть:

a y b = c

имеет единственное решение y.

• Я понимаю. Аксиоматически ты действуешь наоборот по сравнению с предыдущим. Раньше ты задал аксиому бутерброда и показал, что это влечёт существование обратных. Здесь ты предполагаешь, что все элементы множества имеют обратные, и будешь использовать это свойство, чтобы восстановить аксиому бутерброда.

• Самый лучший способ показать, что уравнение имеет единственное решение — построить его. Умножим вышеуказанное уравнение слева на a-1 и справа на b-1.

a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1

( a-1 a) y ( b b-1) = a-1 c b-1

y = a-1 c b-1

• Таким образом, y действительно является решением уравнения:

a y b = c

Введя построенное решение, получаем:

a ( a-1 c b-1) b = c

...При этом мы предполагаем, что можно манипулировать скобками, обобщая ассоциативность. Мы предположили (это один из аксиом) возможность изолировать два элемента в последовательности операций

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b) o ( c o d )

Нужно показать, что разрешено включать три элемента между двумя скобками. Но мы примем это без доказательства.

Применения:

...Рассмотрим множество действительных чисел с операцией умножения x как операцией композиции. Она внутренняя, но это не группа по новому набору аксиом. Действительно, уравнение, определяющее элемент e:

e o e = e

имеет два решения:

e = +1 и e = -1

...Рассмотрим предыдущее построение. Мы задаём множество (действительные числа), операцию композиции, ассоциативную (умножение). Это множество имеет нейтральный элемент 1, который не определяется как решение

e o e = e

а как элемент, который при композиции с любым другим элементом множества (включая самого себя) даёт тот же элемент, иначе говоря, классическое определение:

Для любого a, принадлежащего множеству E, верно:

e o a = a o e = a

Если исходить из классического определения обратного:

a o a-1 = a-1 o a = e

...Мы показали, что подмножество элементов, имеющих обратные, образует группу. Следовательно, действительные числа без нуля образуют группу.

Рассмотрим квадратные матрицы размера (n,n). У них есть нейтральный элемент:

с нулями вне главной диагонали, заполненной единицами.

Обратимые матрицы образуют группу, которую называют Линейной группой GL(n).

• Мне очень нравится всё это.

• Хм... Это всего лишь вариация классической аксиоматики. Я представил это на конференции по эпистемологии в Гренобле неделю назад.

Далее следует