Погружение поверхности в R3 — это представление, при котором касательная плоскость непрерывна и отсутствуют множества самопересечений. Сфера и тор могут быть погружены в R3.
Вложение поверхности в R3 также имеет непрерывную касательную плоскость, но присутствуют множества самопересечений. Примеры: поверхность Боя, бутылка Клейна.
Любое погружение можно всегда преобразовать в вложение. Возьмём сферу и приведём в контакт, внутри, два её точки, например, антиподальные («полюса»). В этом «нематериальном» мире вложений поверхности могут пересекать сами себя. При этом образуется кривая самопересечения (здесь — окружность).
Но обратное преобразование не всегда возможно. Плоскость проективная не может быть погружена в R3, она может быть только вложена. Классическая форма такого вложения — поверхность Боя, имеющая множество самопересечений в виде трёхвитковой спирали с тройной точкой (где пересекаются три листа). См. рис. 29a и 29b. То же самое относится к бутылке Клейна, минимальное самопересечение которой — замкнутая кривая. См. «Топологикон», стр. 46. Погружения можно рассматривать как частные случаи вложений, где множество самопересечений пусто. Представления, содержащие куспидальные точки, не являются вложениями, поскольку эти точки являются особыми с точки зрения непрерывности касательной плоскости. Назовём такие представления сдвигами объектов в R3. Сдвиг поверхности в R3 может представлять собой вложение «почти всюду», то есть с непрерывной касательной плоскостью, за исключением конечного числа точек. Однако это определение недостаточно точное, поскольку существует множество способов ввести разрыв касательной плоскости. Мы вернёмся к вопросу о разрывах позже.
Поверхности и, более общо, геометрические объекты — точка, прямая, замкнутая кривая, «кривая с краем» (отрезок или «шар b1»), диск и т.д. — подобны объектам языка. Мы широко использовали все эти элементы в «Топологиконе» (см. CD-Lanturlu), «слова» или «буквы», из которых можно строить слова, а затем предложения, в соответствии с синтаксисом. Такие объекты называются конструкциями.
Существуют преобразования, являющиеся настоящими геометрическими операторами. В статье описано действие создания-уничтожения куспидальных точек. Рассмотрим его подробнее.
Фундаментальный объект — то, что можно назвать «цилиндром гамма».
Он имеет линию самопересечения, из которой, сжимая трубчатый проход сверху, мы создадим две куспидальные точки.
Начинаем операцию сжатия: 
Сечение поверхности остаётся «гамма», но соответствует сужающемуся проходу. Анализ окрестности особой точки всегда сложен. Существует несколько возможных рисунков, соответствующих разным типам особенностей.
Точка G соответствует слиянию двух куспидальных точек. Англо-саксонцы называют все особенности «куспами». Перевод (из словаря): рог, вершина. Но вершина рога — это коническая точка. Ларусс: куспид — остроконечная и удлинённая вершина, от лат. cuspida — остриё. Особенность, возникающая при слиянии, может принимать и другие формы, например: 
Поперечное сечение остаётся тем же: «перевёрнутый V», но это уже не тот же объект и не та же особенность. В любом случае, можно перейти от одной из этих фигур к:
где имеются две куспидальные точки C1 и C2. Поперечное сечение изменилось (показано справа, выше рисунка — плоскость сечения).
Это изменение «C».
Деталь: 
Я объяснял другу по телефону, что такое куспидальная точка.
— Представь, что ты сидишь на лошади. Внезапно, ногами ты сжимаешь лошадь так, чтобы обе ноги-отрезки коснулись друг друга. Поверхность-лошадь меняется. Её правая задняя часть соединяется с левой плечевой, а левая задняя — с правой плечевой.
— Но где же куспидальная точка?
— Ты сидишь на ней.
Явление изменения соединения листов называется хирургией. Описанная ниже операция — создание куспидальной точки из параболического цилиндра («лошади» из предыдущего примера):
После «сжатия лошади»: 
Сверху — куспидальная точка.
Куспидальная точка, полученная сжатием поверхности вдоль отрезка и изменением соединения листов (хирургия), позволяет понять, как можно преобразовать сферу в кросс-кап (также называемый в французском языке «сферой с перекрещённым колпаком»), сжав сферу щипцами. 
Таким образом, щипцы становятся самым простым инструментом для преобразования сферы в одностороннюю поверхность.
Ниже представлена кросс-кап:
Небольшое отступление: как «сетовать» кросс-кап? Можно начать с одной из её полиэдрических представлений:
Отсюда мы можем вывести сетку в окрестности куспидальной точки:
Значит ли это, что один удар щипцами автоматически превращает двустороннюю поверхность в одностороннюю? Нет, см. рисунок ниже: 
Здесь мы сжали сферу между двумя линейками. Это остаётся двусторонняя поверхность. Раскрасьте её — вы увидите. Вы можете использовать две краски (для кросс-капа это невозможно, поскольку она односторонняя):
Другой взгляд: 
Такая сфера показывает половину своего внешнего и половину внутреннего пространства. Если вам трудно представить этот объект, вот его полиэдрическая форма:
Когда мы сталкиваемся с такими полиэдрическими представлениями, нам хочется применить разложение на «сжимаемые клетки» (см. «Топологикон», CD-Lanturlu), чтобы попытаться вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре. Полиэдрические представления сферы (простой куб) или тора позволяют вычислить их характеристику. Для первого — две, для второго — ноль. В альбоме, стр. 47, был представлен чертёж сборки «Куба Боя», где показаны рёбра. При этом можно собрать его из «профилей с квадратным сечением Рейнольдса», из лёгких сплавов, используемых для изготовления полок. Квадратные трубы нужно распилить пилой, как можно ближе...