f5101 Аналитическое представление поверхности Боя Ж.П. Пети и Ж. Сурья .
**...**Ниже приводится воспроизведение заметки, опубликованной в «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris», подписанной Ж.П. Пети и Ж. Сурья, датированной 1981 годом.
**...**У этого труда есть история. До выхода моей книги «Топологикон» в издательстве «Бель» в серии «Приключения Ансельма Лантюру» в 1985 году, изображения поверхности Боя в научной литературе были редкостью. Здесь и там можно было найти фотографии моделей, выполненных из гипса или из куриного провода. Чарльз Пуг, из отдела математики университета Беркли, является неоспоримым мировым специалистом по куриному проводу. Именно с использованием этого материала он получил значительную финансовую премию, создав макеты, описывающие инверсию сферы по Бернарду Морину, которые позже были цифровизированы Нельсоном Маком, чтобы превратить их в фильм, распространённый по всем математическим кафедрам мира.
**...**Но мне кажется, что куриный провод — материал не слишком благородный, особенно для таких высоких научных тем. Знакомясь с художником-пластиком по имени Макс Соуз, я освоил технику работы с медным проводом, который одновременно гибкий и жёсткий, и который Макс аккуратно паял, стараясь не перегревать, чтобы в материале не возникали паразитные напряжения.
**...**Мой друг Жак Булие, известный как Васелин, в то время был профессором в Высшей школе изящных искусств Ау в Провансе. Однажды он предложил мне заменить одного из своих преподавателей, уехавшего за границу, что я и сделал, работая на полставки вместе с Соузом. Пока я придумывал объекты, Макс их паял. Наши студенты, любопытно кружа вокруг нас, старались копировать нас наилучшим образом. В тот год это крыло школы изящных искусств в Ау превратилось в своего рода фабрику серийного производства математических поверхностей.
**...**Если вы захотите заняться этим, ничего сложного нет. Вам понадобится катушка медного провода диаметром, скажем, 1,5 мм, максимум 2 мм, и кусачки. С их помощью вы сможете изобразить две семейства кривых, составляющих любую поверхность.
**...**Проблема в том, чтобы правильно сформировать эти объекты. Для этого полезно иметь возможность смещать точки соединения, где пересекаются «меридианы» и «параллели». Хорошее решение — просто связать два металлических провода ниткой для шитья. Это достаточно плотно, чтобы объект держал форму, но достаточно скользко, чтобы можно было вносить деформации и корректировки.
**...**Только когда вы посчитаете, что объект математически соответствует вашим ожиданиям, вы можете передать его кому-то, кто искусно пользуется серебряной паяльной лампой и умеет паять, не перегревая стержни, как это умел делать Макс с совершенным мастерством.
**...**Однажды я привёл прототип поверхности Боя, после того как узнал, как должны располагаться меридианы и параллели. Похоже, можно было добиться того, чтобы меридианы выглядели почти как семейство эллипсов.
**...**Макс аккуратно скопировал объект. Тогда я пришёл к Сурья. Его сын (который никогда не имел терпения закончить физическое отделение) играл на Apple II, который у отца. Я спросил его:
— Жером, хочешь ли ты иметь публикацию чистой математики под своим именем?
— Ну, почему бы и нет? Кого нужно убить для этого?
— Никого. Видишь этот объект. Возьми транспортир, измерь эти эллипсы и попробуй построить полуэмпирическое представление этой поверхности.
— Можно попробовать, дай...
**...**Через два дня всё было готово. Статья быстро была принята в «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris» и опубликована под нашими именами: Ж.П. Пети и Ж. Сурья.
**...**Но поскольку отец звали Жан-Мари, а сына — Жером, все математики убеждены, что это работа, выполненную вместе — отец Сурья и я.
**...**Построение поверхности на компьютере с помощью небольшой программы BASIC из нескольких строк сильно удивило множество математиков, которые ожидали чего-то более сложного. Это имело неприятные последствия. У математика Бернарда Морина был аспирант, Апери, сын Апери-старшего, автора непередаваемой теоремы о том, что сумма кубов целых чисел — иррациональное число. Среди прочего...
**...**Я этого не знал. Наш прогресс сильно обеспокоил Морина, особенно потому, что я в тот момент наивно утверждал, что эта методика позволит описать поверхность с четырьмя ушами, которая сделала его знаменитым, поверхность, построенная с помощью куриного провода Пугом, затем цифровизированная Максом и т.д.
Морин нахмурился:
— Нет, это невозможно!
**...**Об этом позже. Я остаюсь убеждённым в обратном. Но эта фраза была параллелью знаменитой реплики, которую Архимед произнёс римскому солдату, пришедшему помешать его размышлениям — Noli tangere circuleos meos!
По-французски «не трогай мои круги!».
Здесь было скорее «не трогай мои эллипсы!»
**...**Позже Апери использовал моё открытие — возможность наделить поверхность Боя системой эллиптических меридианов — для построения первого неявного уравнения объекта:
f(x, y, z) = 0
**...**Морин, разгневанный тем, что я появился как бунтарь в его собственных математических работах, заставил Апери указать в диссертации, что именно Соуз придумал идею с эллипсами. Макс не опроверг, но это неверно. Доказательство — в моём подвале: макет, который я привёз Максу, чтобы он его аккуратно оформил.
**...**В конце концов, всё это довольно смешно. Эта история служит лишь для того, чтобы показать, что математики не умнее физиков.
**...**Политехник Колонна, пионер в области синтетических изображений, использовал наши уравнения без упоминания их происхождения. Но есть любопытный нюанс: если вы видите на экране изображения поверхности Боя, и это «наше», то обязательно будут три небольших «складки» около полюса. Это ошибка в настройке уравнений. Жером, сын Сурья, сделал это спешно, и последний лёгкий удар паяльником около полюса был бы не лишним. Это, кстати, всё ещё возможно для тех, кто захочет.
**...**Сага поверхности Боя не завершена. Для полноты упомянем одного персонажа: Карло Бономи, итальянского миллиардера. Я познакомился с ним во время экспедиции в Бермудский треугольник (но это совсем другая история). Мы тогда быстро плыли на его роскошном яхте, впечатляющем по красоте, в поисках погружённой пирамиды, упомянутой в одном из книг Чарльза Берлитца. Мы не нашли пирамиду, и чуть не стали добычей множества акул, бродивших в этих местах. Если у вас есть атлас, то место, где, как утверждалось, должна находиться эта проклятая «Атлантическая пирамида», находится к юго-западу от рифа под названием Кей Сал Балк, на 50 миль южнее Кубы.
**...**Между двумя погружениями и двумя ужинами с икрой я предложил Бономи спонсировать массовое производство поверхностей Боя. Идея ему понравилась, и последовало продолжение. Скажем, поверхность Боя, украшающая зал математики в Палате Открытий в Париже, была оплачена Бономи и изготовлена Соузом. Финансист планировал организовать выставку, изготовив объекты из массивного золотого провода. Но дело не пошло дальше. Удивлённый его долгим молчанием, я позвонил в его офис в Милане. К сожалению, вовлечённый в скандал ложи P2, он был арестован, и его интерес к топологии пострадал навсегда.
**...**Двухлистное покрытие поверхности Боя, изображающее проективную плоскость P², — это сфера S² (см. «Топологикон»). Пуг построил это покрытие из двух слоёв куриного провода — объект, по всем параметрам замечательный, хотя, как я уже сказал, лично я предпочитаю медный провод и представление по меридианам-параллелям. Но даже в чистой математике:
— De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Прежде чем представить заметку, последняя история. Пуг построил семь моделей из куриного провода, что принесло ему значительную премию, описывая последовательные этапы инверсии сферы, о которой будет речь, когда я найду пять минут, чтобы разместить это на сайте, и которые были подвешены под потолком столовой математического факультета университета Беркли.
**...**Таким образом, математики со всего мира приезжали в паломничество, восхищаясь этой удивительной последовательностью. Но однажды ночью модели были украдены, и никто не знает, что с ними стало, поскольку, впрочем, эти объекты были абсолютно непродаваемы. Кто бы согласился взять на себя такую сделку? Возможно, богатый любитель, одновременно и эстет, и математик, финансировал операцию, чтобы хранить их в бронированной подвале, наслаждаясь тем, что он единственный человек, способный любоваться восьмым чудом света, даже если оно изготовлено из куриного провода.
**...**Пуг, несмотря на мастерство работы с материалом, не нашёл мужества начать новую серию.
**...**Как уже говорилось в начале сайта, сама жизнь Вернера Боя остаётся загадкой. После того как он изобрёл поверхность, к которой привязал своё имя, он буквально исчез после ухода из университета. Несмотря на поиски, Гильберт не смог найти его следов, и даже неизвестно, где он был похоронен.
**...**Вернёмся к математике. Ниже приводится заметка, которая относительно легко читается. Используя формулы 1–8, любой проснувшийся старшеклассник сможет построить прекрасные изображения и проверить, что сечения соответствуют рисунку 5.
C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 октября 1981) Série 1 - 269
ГЕОМЕТРИЯ. — Аналитическое представление поверхности Боя. Заметка Жан-Пьера Пети и Жерома Сурья, представленная Андре Лихнеровичем.
Представлена аналитическая форма поверхности Боя, позволяющая её изобразить.
1. ВВЕДЕНИЕ.
**...**Поверхность, изобретённая в 1901 году математиком Вернером Бой, учеником Гильберта, хорошо известна математикам. Она может выступать как центральный этап инверсии сферы (см. [1] и [2]).
**...**В 1979 году (Ж.П.П.) был построен макет из металлического провода, демонстрирующий положения, которые должны занимать меридианы поверхности. Вторая работа, проведённая в 1980 году совместно со скульптором Максом Соузом, позволила воссоздать второй макет, где кривые располагались в плоскостях и напоминали эллипсы. На основании такого макета казалось возможным построить аналитическое представление поверхности с топологией поверхности Боя, у которой меридианы — эллипсы, проходящие через один полюс.
2. КАК ПОСТРОИТЬ ПОВЕРХНОСТЬ БОЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПСОВ.
**...**Поместим полюс в начало координат. В этой точке поверхность будет касаться плоскости (XOY). Следовательно, ось OZ будет осью тройной симметрии (см. рис. 1). Меридианы — это эллипсы, расположенные в плоскостях Pm. Пусть OX1 — след плоскости Pm в плоскости XOY. Обозначим m угол (OX, OX1). В плоскости Pm поместим второй ось OZ1, перпендикулярную OX1. Обозначим a угол (OZ, OZ1).
Рис.1 и Рис.2
**...**Первым параметром этой аналитической формы будет угол m. Угол a будем рассматривать как функцию от m (будет определена позже). В плоскости Pm теперь построим эллипс, касающийся в точке O прямой OX1 (см. рис. 2). Возьмём оси этого эллипса параллельными биссектрисам X1OZ1. Обозначим A(m) и B(m) значения осей этого эллипса. Этот эллипс Em будет задан вторым свободным параметром q.
**...**В кратком изложении, мы получим координаты X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) текущей точки поверхности.
**...**В этом полуэмпирическом подходе измерения, выполненные (Ж.С.) на макете, позволили приблизительно определить функции a(m), A(m) и B(m). Поверхность была затем построена на компьютере «Apple-II», и были получены сечения при Z = const. Анализ этих сечений позволил установить топологическую идентичность с поверхностью Боя. Это было достигнуто только после численного эксперимента (Ж.С.), позволившего устранить пары паразитных особенностей (появление пар касательных точек).
**...**Мы приняли следующие выражения: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**В системе координат X1 O Z1 координаты центра эллипса Em: (4)
(5)
**...**В той же системе координат координаты текущей точки эллипса: (6)
(7)
а координаты x, y, z задаются формулами: (8)
