f5101 Аналитическое представление поверхности Боя Ж.П. Пети и Ж. Сурио .
**...**Ниже приводится воспроизведение заметки, опубликованной в «Комптендю Ренду» Академии наук Парижа, подписанной Ж.П. Пети и Ж. Сурио, датированной 1981 годом.
**...**У этого труда есть история. До выхода моей книги «Топологикон» в издательстве «Бель» в серии «Приключения Ансельма Лантурлу» в 1985 году, изображения поверхности Боя в специализированных изданиях были редки. Здесь и там можно было найти фотографии моделей, выполненных из гипса или из куриного провода. Чарльз Пуг из математического отдела университета Беркли является неоспоримым мировым специалистом по куриному проводу. Именно с помощью этого материала он получил крупную финансовую премию, создав макеты, описывающие переворот сферы по Бернарду Морину, которые затем были цифровизированы Нельсоном Максом и превращены в фильм, распространённый по всем математическим кафедрам мира.
**...**Но мне кажется, что куриный провод — материал не слишком благородный, особенно для таких высоких научных тем. Знакомясь с художником-скульптором по имени Макс Со, я освоил технику работы с медным проводом, который одновременно гибкий и жёсткий, и который Макс аккуратно паял, стараясь не перегревать, чтобы в материале не возникали паразитные напряжения.
**...**Мой друг Жак Булие, известный как Васелин, в то время был профессором в Высшей школе изящных искусств в Ау в Провансе. Однажды он предложил мне заменить одного из своих преподавателей, уехавшего за границу, что я и сделал, работая на полставки вместе с Со. Пока я придумывал объекты, Макс их паял. Наши студенты, любопытно оглядываясь вокруг, старались копировать нас. В тот год это крыло школы изящных искусств в Ау превратилось в своего рода фабрику массового производства математических поверхностей.
**...**Если вы захотите заняться этим, это не сложно. Вам понадобится бухта медного провода диаметром, скажем, 1,5 мм, максимум 2 мм, и кусачки. С их помощью вы сможете изобразить две семейства кривых, составляющих любую поверхность.
**...**Проблема в том, чтобы правильно сформировать эти объекты. Для этого хорошо бы иметь возможность смещать точки соединения, где пересекаются «меридианы» и «параллели». Хорошее решение — просто связать два металлических провода швейной нитью. Это достаточно плотно, чтобы объект держал форму, но достаточно скользко, чтобы допускать деформации и подгонку.
**...**Только когда вы будете считать, что объект соответствует вашим математическим ожиданиям, вы можете передать его кому-то, кто с ловкостью владеет серебряной паяльной лампой и сумеет спаять без перегрева стержней, как это умел делать Макс с совершенным мастерством.
**...**Однажды я привёл прототип поверхности Боя, разгадав, как должны располагаться меридианы и параллели. Похоже, можно было добиться того, чтобы меридианы почти неотличимо напоминали семейство эллипсов.
**...**Макс аккуратно скопировал объект. Я отправился к Сурио. Его сын (который никогда не проявлял терпения закончить физическое образование) играл на Apple II отца. Я сказал ему:
— Жером, хочешь ли ты иметь публикацию чистой математики под своим именем?
— Ну, почему бы и нет? Кого нужно убить, чтобы это получить?
— Никого. Видишь этот объект. Возьми транспортир, измерь эти эллипсы и попробуй построить полуэмпирическое представление этой поверхности.
— Можно попробовать, дай...
**...**Через два дня всё было готово. Статья быстро была принята в «Комптендю Ренду» Академии наук Парижа и опубликована под нашими именами: Ж.П. Пети и Ж. Сурио.
**...**Но поскольку отец звался Жан-Мари, а сын Жером, все математики убеждены, что это работа, выполненную вместе — отец Сурио и я.
**...**Построение поверхности на компьютере с помощью небольшой программы BASIC из нескольких строк сильно удивило множество математиков, которые ожидали чего-то более сложного. Дело имело неприятные последствия. У математика Бернарда Морина был аспирант по диссертации — Апери, сын Апери-старшего, автора непередаваемой теоремы, согласно которой сумма кубов целых чисел — иррациональное число. Среди прочего...
**...**Я этого не знал. Наш прогресс сильно обеспокоил Морина, особенно потому, что я в тот момент наивно утверждал, что эта методика позволит описать поверхность с четырьмя ушами, которая сделала его знаменитым, ту самую, которую Пуг построил из куриного провода, затем цифровизировал Макс и т.д.
Морин нахмурился:
— Нет, это невозможно!
**...**Об этом позже. Я остаюсь убеждённым в обратном. Но эта фраза была параллелью знаменитой реплики, брошенной Архимедом римскому солдату, пришедшему помешать его размышлениям — Noli tangere circuleos meos!
По-французски: «Не трогай мои круги!»
Здесь было скорее: «Не трогай мои эллипсы!»
**...**Позже Апери использовал моё открытие, согласно которому поверхность Боя может быть наделена системой эллиптических меридианов, для построения первого неявного уравнения объекта:
f(x, y, z) = 0
**...**Морин, возмущённый тем, что я появился как бунтарь в его собственных математических работах, заставил Апери указать в диссертации, что именно Со нашёл идею с эллипсами. Макс не опроверг, но это неверно. Доказательство — в моём подвале: макет, который я привёз Максу, чтобы он его аккуратно сделал.
**...**В конце концов, всё это довольно смешно. Эта история служит лишь для того, чтобы показать, что математики не умнее физиков.
**...**Политехник Колонна, пионер в области синтетических изображений, использовал наши уравнения без упоминания их происхождения. Но есть забавный нюанс: если вы видите на экране изображения поверхности Боя, и это «наше», то обязательно будут три небольших «складки» около полюса. Это недостаток настройки уравнений. Жером, сын Сурио, сделал это спешно, и последний лёгкий удар паяльником вблизи полюса был бы уместен. Это, кстати, всё ещё возможно для тех, кто захочет.
**...**Эта история поверхности Боя не завершена. Для полноты упомянем одного персонажа: Карло Бономи, итальянского миллиардера. Я познакомился с ним во время экспедиции в Бермудский треугольник (но это совершенно другая история). Мы тогда быстро плыли на его роскошном яхте, ошеломляющей роскоши, в поисках погружённой пирамиды, упомянутой в одном из книг Чарльза Берлитца. Пирамиду мы не нашли, и едва не стали добычей множества акул, обитавших в этих местах. Если у вас есть атлас, то место, где, по утверждению, должна находиться эта проклятая «Атлантическая пирамида», расположено к юго-западу от рифа под названием Кей Сал Балк, в пятидесяти милях к югу от Кубы.
**...**Между двумя погружениями и двумя ужинами с икрой я предложил Бономи спонсировать массовое производство поверхностей Боя. Идея ему понравилась, и последовало продолжение. Скажем, поверхность Боя, украшающая математический зал Палаты Открытий в Париже, была оплачена Бономи и изготовлена Со. Финансист собирался устроить выставку, заказав изготовление объектов из массивного золота. Но дело не имело продолжения. Удивлённый его долгим молчанием, я позвонил в его офис в Милане. К сожалению, вовлечённый в скандал ложи P2, он был арестован, и его интерес к топологии пострадал навсегда.
**...**Двухлистное покрытие поверхности Боя, изображающей проективную плоскость P², — это сфера S² (см. «Топологикон»). Пуг построил это покрытие из двух слоёв куриного провода — объект, в любом случае замечательный, хотя, как я уже сказал, лично я предпочитаю медный провод и представление меридиан-параллель.
Но даже в чистой математике:
— De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Прежде чем представить заметку, последняя история. Итак, Пуг построил семь моделей из куриного провода, за что получил крупную премию, описывая последовательные этапы переворота сферы, о которых будет речь, когда я найду пять минут, чтобы разместить это на сайте, и которые были подвешены под потолком столовой математического отдела университета Беркли.
**...**Поэтому математики со всего мира приезжали паломниками, восхищаясь этой удивительной последовательностью. Но однажды ночью модели были украдены, и никто не знает, что с ними стало, хотя они были абсолютно непродаваемы. Кто бы согласился взять подобную сделку? Возможно, богатый любитель, одновременно и эстет, и математик, финансировал операцию, чтобы хранить их в защищённом подвале, наслаждаясь тем, что он единственный человек, способный видеть эту восьмую чудо света, даже если она сделана из куриного провода.
**...**Пуг, несмотря на мастерство работы с материалом, не нашёл мужества начать новую серию.
**...**Как мы уже сказали в начале сайта, сама жизнь Вернера Боя остаётся загадкой. После того как он изобрёл поверхность, названную его именем, он буквально исчез после отъезда из университета. Несмотря на поиски, Гильберт не смог найти его следов, и даже неизвестно, где он был похоронен.
**...**Вернёмся к математике. Ниже приведённая заметка относительно легко читается. Используя формулы 1–8, любой проснувшийся старшеклассник сможет построить красивые изображения и проверить, что сечения соответствуют рисунку 5.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 октября 1981) Série 1 - 269
ГЕОМЕТРИЯ. — Аналитическое представление поверхности Боя. Заметка Жан-Пьера Пети и Жерома Сурио, представленная Андре Личнеровичем.
Представлена аналитическая форма поверхности Боя, позволяющая её построить.
1. ВВЕДЕНИЕ.
**...**Поверхность, изобретённая в 1901 году математиком Вернером Бой, учеником Гильберта, хорошо известна математикам. Она может выступать как центральный этап переворота сферы (см. [1] и [2]).
**...**В 1979 году (Ж.П.П.) был построен макет из металлического провода, выявивший положения, которые должны занимать меридианы поверхности. Вторая работа, выполненная в 1980 году совместно со скульптором Максом Со, позволила воссоздать второй макет, где кривые находились в плоскостях и напоминали эллипсы. Из такого макета казалось возможным построить аналитическое представление поверхности, имеющей топологию поверхности Боя, и меридианы которой являются эллипсами, проходящими через один полюс.
2. КАК ПОСТРОИТЬ ПОВЕРХНОСТЬ БОЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПСОВ.
**...**Поместим полюс в начало координат. В этой точке поверхность будет касаться плоскости (XOY). Она будет иметь ось OZ как ось тройной симметрии (см. рис. 1). Меридианы — это эллипсы, расположенные в плоскостях Pm. Пусть OX1 — след плоскости Pm в плоскости XOY. Обозначим m угол (OX, OX1). В плоскости Pm поместим второй ось OZ1, перпендикулярную OX1. Обозначим a угол (OZ, OZ1).
Рис. 1 и Рис. 2
**...**Первым параметром этого аналитического представления будет угол m. Угол a будем рассматривать как функцию от m (будет определена позже). В плоскости Pm мы теперь построим эллипс, касающийся в точке O прямой OX1 (см. рис. 2). Возьмём оси этого эллипса параллельными биссектрисам X1OZ1. Обозначим A(m) и B(m) значения осей этого эллипса. Этот эллипс Em будет задан вторым свободным параметром q.
**...**В сжатом виде, мы получим координаты X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) текущей точки поверхности.
**...**В этом полуэмпирическом подходе измерения, проведённые (Ж.С.) на макете, позволили приблизительно определить функции a(m), A(m) и B(m). Поверхность была затем построена на компьютере «Apple-II», и были получены сечения при Z = const. Изучение этих сечений позволило установить топологическую идентичность с поверхностью Боя. Это удалось лишь после численного эксперимента (Ж.С.), позволившего устранить пары паразитных особенностей (появление пар касательных точек).
**...**Мы решили принять: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**В системе координат X1 O Z1 координаты центра эллипса Em: (4)
(5)
**...**В той же системе координат координаты текущей точки эллипса: (6)
(7)
а координаты x, y, z задаются формулами:
(8)
