Вернёмся к этому классу гомотопий погружений тора в R3. Мы можем легко соединить два изображённых объекта с помощью преобразования "C". Возьмём тор и "пройдёмся" через него в какой-то точке, создав линию двойных точек, которая представляет собой окружность: 
Я использовал "две цвета": серый для внешней стороны тора, белый — для внутренней. Таким образом, "самопересечение" выше (приводящее к одному из бесконечного числа возможных погружений "стандартного тора") привело к появлению белой части поверхности.
Рассмотрим этот объект с точки, расположенной на оси тора:
Верхняя часть — внутренняя (белая) часть тора, появившаяся вследствие самопересечения. Затем мы можем применить "преобразование C" и создать два куска (cuspidaux) точки: 
В точке, указанной стрелкой, "сжимаем" проход. Эта операция порождает два куска C1 и C2:
которые можно переместить, как показано ниже:
Остается выполнить преобразование C⁻¹ (слияние двух кусков):
Мы получаем объект: 
Это погружение тора гомотопно стандартному тору.
Видно, что операции "C" и её обратная "C⁻¹", расширяющие пространство погружений до пространства сдвигов поверхностей в R3, позволяют делать интересные вещи. Можно построить множество сдвигов классических поверхностей (сфера, проективная плоскость, тор и бутылка Клейна). Сколько таких классов существует?
Мы уже видели, что сфера и проективная плоскость принадлежат одному классу (как и правая и левая поверхности Боя). Сколько существует классов сдвигов тора? Я думаю, если не ошибаюсь, что эта задача пока не решена. Можно ли с помощью операций C перейти от одного класса погружения тора к другому, или нельзя? Интуитивно я склоняюсь к ответу "нет", но это лишь гипотеза.
Построение не может доказать невозможность, но может продемонстрировать возможность. Если кто-то найдёт построения, позволяющие перейти от одного класса к другому, теорема будет фактически доказана, но то, что мы не находим таких построений, само по себе не является доказательством. Отсутствие доказательства — не доказательство отсутствия. Утверждение о существовании четырёх классов сдвигов тора в R3 или утверждение о существовании только одного класса — это гипотезы, простые убеждения, на данный момент.
Оказывается, Смейл доказал возможность переворота сферы до того, как Филлипс представил первое построение. Могло быть и наоборот. Но кто бы мог придумать подобную идею, противоречащую нашей геометрической интуиции?
Преобразование C позволяет превратить сферу в "крестовидную каплю", затем в поверхность Боя через поверхность Штейнера. См. статью. Может ли оно превратить тор в бутылку Клейна? Логически — да, но я не имею готового ответа на этот вопрос.
Во время этого разговора, почему говорят о "проективной плоскости"? Объекты (односторонние), показанные здесь, — конечные. Ответ Сурио:
- На плоскости есть "прямая бесконечности". Просто склеиваем плоскость по этой прямой бесконечности.
Которая, как и следует из контекста, является замкнутой кривой.
В "Топологиконе" есть небольшой анимированный рисунок — "листовка", показывающая, как лента Мёбиуса с тремя полутрансформациями может превратиться в поверхность Боя. Последний кадр показывает эту поверхность, за исключением одного диска. Достаточно добавить этот диск, чтобы завершить поверхность. Таким образом, поверхность Боя — это лента Мёбиуса плюс диск. Упражнение: используя инструменты "Топологикона", пересчитайте её характеристику Эйлера-Пуанкаре (она равна 1).
Обратно, можно начать с диска и увеличивать его, позволяя ему пересекать себя, пока он не склеится с лентой Мёбиуса с тремя полутрансформациями — это другой способ построения.
Я нашёл эти рисунки в моей 55-страничной презентации, представленной на конференции по психоанализу Лакана в Алье-ан-Провансе (4–5 апреля 1987 года), посвящённой теме "Пerversity", которая включена в отчёты, издаваемые организаторами. Я воспользуюсь этим текстом в будущем документе под названием "JPP у Лакана".
Первое изображение: диск, изгибающийся.
Далее — начало формирования множества самопересечений:
Следующая фигура: появление тройной точки:
Я перестаю использовать штриховку, поскольку поверхность уже становится односторонней.
Далее, поверхность готова к самосклейке вдоль своего края:
Здесь показана лента Мёбиуса с тремя полутрансформациями, завершающая поверхность:
Следующая фигура: та же лента:
Затем — полностью сформированная поверхность Боя. По сравнению с изображениями, представленными в "Топологиконе", нельзя сказать, что мы видим её "снизу", поскольку у поверхности Боя нет ни головы, ни хвоста. Скажем, в данном виде мы видим её тройную точку.
Далее — множество самопересечений: 
Таким образом, вы видели, как плоскость складывается на свою "прямую бесконечности". Отсюда и название: "проективная плоскость", довольно странный на первый взгляд термин. Возможно, это впервые, когда люди видят бесконечность так близко.
Эти изображения были созданы более двадцати лет назад, и теперь интернет-сайт или этот диск наконец предоставляют возможность их показать. Читатель может задаться вопросом, почему они не появились в журналах "Pour la Science" или "La Recherche". Я не раз отправлял статьи в эти издания, но редакции сочли тему недостаточно интересной.
Надеюсь, что с помощью этой "геометрической коробки инструментов" вы поспешите изобрести множество новых поверхностей. Вот одна, придуманная г-жой Иварс. Возьмите сферу и вдавите в двух диаметрально противоположных направлениях два отрезка одинаковой длины до соприкосновения, вообразив, что они скреплены с двумя стержнями, как показано здесь:
Когда отрезки соприкасаются, происходит "хирургия". Получается пересечение поверхностей вдоль отрезка, и два конических узла на концах. Ниже — эта поверхность в разрезе:
Та же поверхность в перспективе:
По радиусу инструмент...