Проблемы геодезических Проблемы геодезических.
Вы можете проводить геодезические линии на поверхности, используя скотч. Вопрос: при каких условиях геодезическая, проведённая на конусе, может пересекать сама себя?
Возьмём точку на круговом конусе и начнём геодезическую линию в направлении, перпендикулярном одной из его образующих: 
Рассмотрим симметричную относительно оси вращения образующую этого конуса (любой конус можно всегда деформировать в круговой конус без изменения геодезических). В случае, изображённом выше, получим следующее, развернув наш конус:
Известно, что угол выреза соответствует величине угловой кривизны, сконцентрированной в вершине конуса. Геодезическая при этом превращается в прямую линию на плоскости, поскольку поверхность является развёртывающейся.
Видно, что для того, чтобы геодезическая могла пересечь сама себя, угол выреза должен быть больше 180°, то есть конус должен быть достаточно острым.
При восстановлении конуса получим:
Может ли геодезическая конуса «достичь вершины»?
Только образующие конуса могут это сделать. Какой бы ни была проведённая на конусе геодезическая, даже если она очень близка к вершине, она будет только отдаляться от неё, даже если кажется, что она «проводится так, чтобы приблизиться». Достаточно соединить вершину конуса с ближайшей точкой на геодезической. Образующая пересечёт геодезическую под прямым углом. Можно сделать разрез вдоль противоположной геодезической и развернуть поверхность.
Даже если конус будет очень острым, мы получим лишь последовательные пересечения.
Могут ли геодезические пересекаться бесконечно? При развертке конуса всё происходит так, как будто геодезическая «отскакивает» от образующей, соединяющей вершину с точкой пересечения.
Сверху, очевидно, «отскок» направляет обе части образующей в такие направления, что они больше не могут пересекаться. Для нескольких пересечений нужен очень острый конус.
Но при каждом «отскоке» угол раскрывается и в конечном итоге оказывается «заперт» в секторе 2π – q. Количество пересечений конечно.
Образующие конуса образуют особую семью. Но что такое конус?
Можно считать, что объект «конус» соответствует изображению слева. Тогда геодезические-образующие являются полупрямыми.
Но можно считать, что конус соответствует объекту справа. В этом случае, что такое геодезическая? Если это кратчайший путь, соединяющий две точки, то могут возникнуть ситуации, подобные этой:
Можно выбрать коническую структуру, где каждая образующая продолжается по второй образующей, расположенной на втором полуконусе, и только одной, образуя непрерывное множество. Можно представить конические точки в трёхмерном пространстве (см. статью 11 в «Геометрической физике А»).
Другие типы особенностей.
Конические точки — это особые точки. Можно выделить и другие. Например, «конические точки», где точки излома поверхности, «точки пучка».
Слева — сфера с конической точкой. Справа — с точкой пучка.
Коническую точку создают штифтом. Можно назвать эту модификацию «создание конической точки» P, а обратную — P⁻¹.
Аналогично создание точки пучка соответствует модификации H. На самом деле создание пучка следует за созданием конической точки. Это коническая точка, у которой угол в вершине стал нулевым. Следовательно, модификация, приводящая к локальному пучку поверхности, есть P H, а обратная — H⁻¹P⁻¹.
Существуют и другие способы модификации поверхности, например, создание двугранного угла. Создание двугранного угла — это модификация D. Она может быть реализована независимо от других, при условии, что она затрагивает замкнутый путь (на регулярной поверхности). Самый простой пример — сфера. Можно создать «сгиб» вдоль экватора, например. При этом сгиб будет содержать «линейную кривизну», тема, уже рассмотренная во введении «Геометрической физики А».
Если на регулярной поверхности такая модификация затрагивает отрезок, то каждая его конечная точка подвергается модификации P.
Возьмём сферу, «мягкую» сферу, деформируемую. Поместим внутрь отрезок, жёсткую линейку, и вдавим сферу. Две конечные точки линейки начинают соприкасаться с поверхностью. Эффект «штифта»: появляются две конические точки. Продолжаем давить. Отрезок касается сферы, но двугранный угол ещё не образовался. Если он касается сферы, это означает только, что на сфере существует прямолинейный путь AB. Но это не означает автоматически, что у сферы есть сгиб. Это можно сравнить с установкой палатки с двумя шестами. Устанавливаем шесты
Эффект двух модификаций P. Создание двух конических точек A и B.
затем натягиваем трос, соединяющий их. Но если внутренняя часть палатки находится в состоянии разрежения, ткань не будет провисать вдоль троса, не образуя складки.
Натяжение троса: поверхность приобретает прямолинейный отрезок AB. Но если ветер дует, и палатка находится в лёгком избыточном давлении, окрестность отрезка может сохранить непрерывность касательной плоскости вдоль отрезка, что видно по виду палатки под другим углом.
Если ветер прекращается, стенки палатки обрушатся под действием собственного веса. Как только движение начинается, непрерывность касательной плоскости нарушается. Появляется двугранный угол. Модификация D.
Зачем это нужно?
Прежде чем перейти к практическим применениям, нужно определить ещё одну модификацию. Представьте себе конус: у него есть коническая точка, в которой сконцентрирована «угловая кривизна». Если коническая точка не принадлежит «настоящему» конусу, у которого боковая поверхность не имеет кривизны, то поверхность вблизи конической точки аналогична конусу. Это означает, что в конической точке поверхности существует «касательный конус».
Но вернёмся к нашему конусу. Без труда можно расположить рядом две конические точки. Можно даже физически построить такую поверхность, используя два выреза в плоскости:
Линии, исходящие из точек A и B, — это просто «сгибы»...