a206 Космологическая модель: двойной взрыв. (с.6) Рассмотрим теперь бесконечное пространство, заполненное материалом с постоянной плотностью. Каков гравитационное поле вблизи заданной точки O? Сразу думаем:
- Возьмем уравнение Пуассона:
(165)
DY = 4 p G r
где Y - гравитационное поле, а r - плотность массы. Первое замечание: постоянная плотность r не подходит для постоянного потенциала. Хорошо... решим задачу в условиях сферической симметрии. (166)
Гравитационное поле: (167)
Решение: (168)
Ненулевое (радиальное) гравитационное поле становится: (169)
которое стремится к бесконечности на бесконечности (...). Каково гравитационное поле? По сути, это сила, действующая на пробную массу m = + 1. (169 bis)
...O - произвольная точка. M - другая произвольная точка. Я нахожу, что пробная масса m = +1, находящаяся в точке M, притягивается радиально к O. Это позволяет вычислить гравитационное поле в сферической полости. Мы можем использовать следующую схему. (170)
...Мы можем вычислить поле, вызванное сферой справа, заполненной материалом с постоянной плотностью. Затем мы получаем предыдущий результат: гравитационное поле равно нулю в сферической полости.
Мы говорим, что это неверно.
- В первом случае мы предположили, что закон Ньютона действителен на бесконечных расстояниях.
- Во втором случае мы предположили, что уравнение Пуассона действует в однородной среде.
...В упомянутой выше статье мы возвращаемся к исходному уравнению Пуассона и закону Ньютона. Это соответствует ньютоновскому приближению: строго говоря, слабое поле и малые скорости по сравнению со скоростью света. Как указано в статье, классический анализ основан на стационарных метриках (нулевой член и член возмущения выбираются независимыми от времени). Нулевой член метрики идентифицируется с пространством Минковского, которое подходит для стационарного состояния (так как это пустое пространство).
...Но это уже не подходит, если есть ненулевое распределение массы с постоянной плотностью и стационарные условия. Такого решения просто не существует. Если присутствует материя, мы получаем модели Фридмана, а не модель стационарного состояния.
...Заключение: классический анализ не может быть распространен на распределения массы с постоянной плотностью, где становится невозможно определить любой гравитационный потенциал. В заключение: Гравитационная сила в неограниченном распределении массы с постоянной плотностью равна нулю везде.
...Следствие: Гравитационное поле внутри сферической полости не равно нулю.
То же самое, если полость имеет форму плоского эллипсоида: (171)
...Физически, граница не такая резкая. Есть градиент плотности материи и градиент давления. Если галактика убрана, такой градиент давления устранит полость. В статье: J.P. Petit и P. Midy: Отталкивающая темная материя. Геометрическая физика A, 3, 1998. Рисунок 4.
мы использовали такое распределение массы без резких границ.
Оригинальная версия (английский)
a206 A cosmological model : The twin bang. (p.6) Consider now an infinite space, filled by constant density material. How is the gravitational field in the vicinity of a given point O ? Immediatly, we think :
- Let us take the Poisson equation :
(165)
DY = 4 p G r
where Y is the gravitational field and r the mass-density. First remark : a constant density r does not fit a constant potential. Well.. let us solve the problem in spherically symmetric conditions. (166)
The gravitational field is : (167)
The solution is : (168)
The non-zero ( radial ) gravitational field becomes : (169)
which tends to infinite at the infinite (...). What is the gravitational field ? In principle it is the force acting on a reference mass m = + 1 . (169 bis)
...O is an arbitrary point. M another arbitrary point. I find that a test-mass m = +1, located in M, is radially attracted by O. This makes possible to compute the gravitational field in a spherical hole. We can use the following schema. (170)
...We can compute the field due to the sphere on the right, filled by constant density material. Then we refind the preceeding result : the gravitational field is zero in the spherical hole.
We say it's false.
- In the first case we have assumed that the Newton's law is valid for infinite distances.
- In the second one we assume that the Poisson equation is valid for a uniform medium.
...In the afore-mentioned paper we return to the origin of the Poisson equation and Newton's law. It corresponds to Newtonian approximation : strictly talking : weak field and small velocities with respect to light velocity. As pointed out in the paper, the classical analysis is based on steady state metrics (zeroth order term and perturbation term are chosen time-independent). The zeroth order term on the metric is identified to Minkowski space, which fits steady state condition (for it is an *empty *space).
...But it does not fit any longer, non-zero uniform mass distribution plus steady conditions. *Such a solution simply does not exist. *If any matter is present we get Friedmann models, not steady state model.
...Conclusion : The classical analysis cannot be extended to constant density mass distributions where it becomes impossible to define any gravitational potential. As a conclusion : The gravitational force in an unbounded constant density mass distribution is zero everywhere.
...Corollary : The gravitational field inside a spherical hole is non-zero.
Same thing if the hole looks like a flat ellipsoid : (171)
...Physically, the frontier is not so abrupt. There is a matter density gradient, and a pressure density gradient. If the galaxy is removed, such pressure gradient would make the hole disappear. In the paper : J.P.Petit and P.Midy : Repulsive dark matter. Geometrical Physics A , 3, 1998. Figure 4.
we have used such non-abrupt mass distribution.