новая космология вселенной близнецов
Предисловие к статье, опубликованной в 1994 году в журнале Nuovo Cimento
...Начало этого исследования относится к 1977 году. Две заметки в «Комптенд-рэндус» Парижской академии наук:
Ж.П. Пети: «Энантиоморфные вселенные с противоположными направлениями времени», CRAS от 8 мая 1977 года, т. 285, стр. 1217–1221
Ж.П. Пети: «Взаимодействие вселенной с её отражением в зеркале времени», CRAS от 6 июня 1977 года, т. 284, серия A, стр. 1413–1416
...В последующей статье мы пытались установить точечное соответствие (инволютивное отображение) между точками окрестности Земли (в космологическом масштабе) и сопряжёнными точками второго вселенной (которую мы называем «близнецовой вселенной»: twin universe, или «тенью вселенной»: shadow universe, или «призрачной вселенной»: ghost universe — термины, эквивалентные в нашем понимании), используя понятие антиподальности, что предполагало исходную гипотезу о топологии геометрического объекта. Позже мы осознали, что это не обязательно, поскольку локальную структуру (F, F*) можно определить как двулистное накрытие «скелетной многообразия». Структура тогда оказывается двулистным накрытием проективного пространства P3, эквивалентного трёхмерному проективному пространству P2, более известному двумерному, поэтому наиболее известным представлением является поверхность, найденная австрийцем Вернером Бой в 1902 году, см. рис. 184 (в принципе, анимация, когда сайт будет полностью готов).
...Бой был учеником великого математика Гильберта, который выразил глубокое удовлетворение изобретением своего ученика. По сюжету, после изобретения Бой покинул университет, и о нём больше не слышали. Все поиски историков, чтобы найти его след, оказались безуспешными. Неизвестно, умер ли он от тяжёлой простуды или провёл остаток жизни сантехником.
...Геометры знают, что все точки сферы S2 можно совместить с проективной плоскостью P2, как упоминалось на рис. 10 в приведённой ниже статье. Северный полюс таким образом совмещается с южным полюсом, а экватор наматывается на себя по псевдоэкватору поверхности Боя, также указанному. Двулистное накрытие показано на рис. 11 статьи. Отметим, по крайней мере в двух измерениях, что эта операция совмещает энантиоморфные объекты, зеркальные друг другу. Рис. 12 и 13 — наглядные иллюстрации, показывающие, как именно «скопления» будут располагаться в пустотах антиподальной области.
...Эта система двулистного накрытия может быть распространена на три и даже четыре измерения, с сферами S3 и S4, накрывающими соответственно проективные пространства P3 и P4.
Прежде чем двигаться дальше, можно познакомить читателя с геометрией этой странной поверхности Боя. Читатель также найдёт различные варианты объекта в «Топологиконе» (изд. Belin, 1984).
...Что, конечно, может удивить читателя, — это то, что эта поверхность пересекает сама себя по множеству самопересечений, представляющему собой трёхлистную кривую, напоминающую винтовую линию корабля:
...На этом рисунке слева сделано отверстие, чтобы показать тройную точку, где пересекаются три листа. Эта поверхность кажется особенно особенной. На самом деле этот объект — отличный пример, иллюстрирующий понятие пространства представления (3D), упомянутое выше.
...Тройная точка T и кривая самопересечения обусловлены лишь способом представления проективной плоскости P2 в R3. Сфера, тор могут быть погружены в R3, то есть представлены топологически эквивалентным образом, где поверхность не пересекает сама себя. Однако невозможно погрузить проективную плоскость P2 в R3. Можно лишь вложить её. Следовательно, изображение выше (поверхность Боя) является вложением проективной плоскости в R3. Вложение двумерного объекта — это способ представления в R3, при котором появляется линия двойных точек (кривая самопересечения), вдоль которой находятся два касательных плоских сечения, а также определённое количество тройных точек, где пересекаются три листа. Поверхность Боя — лишь один из бесконечного числа способов вложить проективную плоскость P2 в R3. Другие варианты можно найти в статье, которая будет включена в сайт, под названием «Разные лица проективной плоскости».
...Очень легко получить изображения поверхности Боя с помощью параметрического представления, которое мы изобрели и опубликовали.
---> Читатель найдёт в подсайте МАТЕМАТИКА, в том числе, воспроизведение заметки, опубликованной в 1981 году в Парижской академии наук вместе с Ж. Сурио (нет, это не знаменитый математик, а его сын, Жером, ставший позже информатиком), с ссылкой:
«Аналитическое представление поверхности Боя», Заметки в «Комптенд-рэндус» Парижской академии наук, т. 293 (5 октября 1981), серия 1, стр. 269–272
В ней показано, что поверхность обладает эллиптическими меридианами. Эта особенность позволяет легко её построить. Ниже — программа, указанная на обложке моего комикса «Топологикон». * *
Программа BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ВОТ ТРИ КООРДИНАТЫ
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ ВЫВОДА ТОЧЕК
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Для справки, именно открытие возможности представления этой поверхности с помощью эллиптических меридианов позволило позже математику Апери получить первое представление в виде неявной функции шестого порядка:
- f (x , y ,z) = 0*
которое мы не будем воспроизводить (оно, кстати, довольно сложное, и мы уверены, что существуют более простые, но это будет предметом другого документа, который будет включён в сайт МАТЕМАТИКА).
...Бутылка Клейна более известна читателям. Также невозможно погрузить её в R3. Она представляет собой, в своей классической форме, вложение с множеством пересечений, представляющим собой простую замкнутую кривую.
...Двулистное накрытие поверхности Клейна — это тор T2, так же как двулистное накрытие поверхности Боя (проективной плоскости P2) — это сфера S2. Читатель, заинтересованный в поверхности Боя, может найти трёхмерную модель в одной из залов Палац де ла Дековерте в Париже, модель, которую мы заказали у художника-пластико-вика Макса Созе, основываясь на более грубом образце, который мы сами изготовили.
...В этих операциях двулистного накрытия меридианы и параллели объектов «наматываются на самих себя». Например, можно показать, что происходит с «параллелями» тора (связанными также с изображением погружения):
...В этом погружении тора параллельные кривые, очевидно, не являются геодезическими поверхности (за исключением «горлового круга»). Аналогичная ситуация для меридианов тора, которые являются геодезическими его стандартного погружения:
Ниже — оба изображения, наложенные друг на друга:
...Мы вернёмся ко всем этим вопросам в тексте...