космология с двойными вселенными Материя, теневая материя, астрофизика. 2: Сопряженные метрики со стационарным состоянием. Точные решения. (p4)
3)Сопряженные скалярные кривизны.
Из общей системы уравнений поля (1) + (2) мы получаем:
(58)
R* = - R
В двух сопряженных точках M и M*, принадлежащих соответственно складкам F и F*, скалярные кривизны R и R* противоположны. Мы будем называть такими геометриями сопряженными. Мы можем попытаться проиллюстрировать этот концепт с помощью дидактического изображения. Рассмотрим рисунок 1: вверху - "сглаженный позикон", внизу - "сглаженный негакон", расположенные друг напротив друга. Сглаженный позикон строится из усеченного конуса, соединенного по окружности с участком сферы (поверхность с постоянной плотностью угловой кривизны).
Рис. 1: Дидактическое изображение сопряженных геометрий (R = -R). Масса M находится в складке F. Складка F пуста.
Показано: пара сопряженных точек (M, M*).
Седло лошади является эквивалентом для отрицательной кривизны участка сферы (поверхность с постоянной плотностью угловой кривизны). Сфера содержит общую кривизну, равную 4π. Участок сферы содержит количество угловой кривизны q, заданное как:
(59)
Конус - это поверхность, содержащая точку концентрированной угловой кривизны S, соответствующую положительной угловой кривизне q > 0. Мы строим его согласно рисунку 2.
Рис. 2: Построение «позикона».
Определение угловой кривизны, содержащейся в вершине конуса: если нарисовать треугольник, состоящий из трех геодезических, то имеются два случая. Если он не содержит вершины, сумма углов равна евклидовой сумме π. Если он содержит вершину, эта сумма равна π плюс соответствующая точечная кривизна q. См. рисунок 3.
Рис. 3: Точечная положительная угловая кривизна
расположенная в вершине (пози)конуса.
Таким же образом мы можем построить «негакон», следующим образом:
Рис. 4: Построение «негакона» с точечной отрицательной угловой кривизной, расположенной в S.
Мы можем собрать набор маленьких позиконов, соответствующих элементарным кривизнам dqi, и приклеить их друг к другу. См. рисунок 5.
Рис. 5: Набор элементарных позиконов.
Угловая кривизна - это аддитивная величина. Если количество элементов стремится к бесконечности, а dqi стремятся к нулю, то глобальный объект стремится к ограниченной регулярной поверхности. На любом участке этой поверхности мы можем измерить угловую кривизну (сумму углов dqi). Мы также можем определить локальную плотность угловой кривизны следующим образом:
(60)
Таким образом, этот набор соединенных элементарных позиконов стремится к регулярной поверхности с касательной плоскостью. Если C(M) постоянно и положительно на поверхности, то это сфера или участок сферы. Интеграл плотности угловой кривизны по поверхности сферы дает ее общую кривизну, равную 4π. Если C(M) равен нулю, поверхность локально плоская (плоскость, стенка конуса, цилиндр и т. д.).
Оригинальная версия (английский)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p4)
3) Conjugated scalar curvatures.
From the general field equations system (1) + (2) we get :
(58)
R* = - R
In two conjugated points M and M*, which belong to the folds F ans F*, the scalar curvatures R and R* are opposite. We will call such geometries conjugated ones. We can try to illustrate this concept through a didactic image. Consider the figure1. Up is a smoothed "posicone", down a "smoothed negacone", face to face. A smoothed posicone is built with a truncated cone, linked along a circle to a portion of sphere (constant curvature density surface).
**Fig. 1 : Didactic image of conjugated geometries ( R * = - R ) The mass M is in the fold F . The fold F is empty.
Shown : a couple of conjufated points (M,M).
The horse saddle is the equivalent of a portion of sphere, for negative curvature (constant angular curvature density surface). A sphere contains a total curvature equal to 4p. A portion on a sphere contains an amount of angular curvature q which is (59)
A cone is a surface with contains an (angular) concentrated curvature point S , corresponding to a positive angular curvature q > 0. We build it according to the figure 2.
Fig. 2 :** Building a "posicone".**
Definition of the angular curvature contained in the summit of the cone : If one draws a triangle with three geodesics, we have two cases. If it does not contain the summit, the sum of the angles is the euclidean sum p. If it contains the summit this sum is p plus the corresponding punctual curvature q . See figure 3 .
**Fig. **3) : Punctual positive angular curvature
located at the summit of a (posi)cone.
Similarly we can build a "negacone", as follows :
. Fig.4 :** Building a "negacone"** with punctual negative curvature, located in S.
We can build a set of small posicones, corresponding to elementary curvature dqi and glue these objects together. See figure 5.
Fig. 5 : set of elementary posicones.
The angular curvature is an additive quantity. If the number of elements tends to infinite and the dqi tend to zero, the global object tends to a bounded regular surface. On any portion of the surface we can measure the angular curvature (the sum of the angles dqi ). We can also define a local angular curvature density as follows :
(60)
Then this set of joined elementary posicones tends to a regular surface, with tangent plan. If C(M) is constant and positive on a surface, its a sphere, or a portion of a sphere. The integrated angular curvature density, over the surface of the sphere, gives its total curvature 4p. If C(M) is zero, the surface is locally flat (plan, wall of a cone, cylinder, for example). .