космология двойной Вселенной материя-призрачная материя астрофизика. 2: Сопряжённые метрики стационарного состояния. Точные решения. (с.5)
Эта операция может быть расширена до соединённых негаконов (отрицательная плотность угловой кривизны). Для евклидовой поверхности C(M) = 0 везде. Используя элементарные негаконы и малые участки плоскости, можно построить любую регулярную поверхность, где плотность угловой кривизны C(M), положительная, отрицательная или нулевая, является непрерывной функцией точки M. Мы можем теперь построить усечённый позакон и соединить его с участком сферы. Непрерывность касательной плоскости обеспечивается, если угловые кривизны q равны. См. рис. 6.
Рис .6 : Построение "сглаженного позакона".
Поверхность с постоянной отрицательной угловой кривизной называется седлом для лошади. См. рис. 7. На такой поверхности можно провести кривую, центрированную вокруг точки P.
Рис .7 :** Построение "сглаженного негакона".**
Мы можем разместить сглаженный позакон и сглаженный негакон друг против друга, как показано на рис. 1. Сопряжённые точки M и M* имеют противоположные плотности кривизны:
(61)
C(M*) = - C(M)
На евклидовых участках двух сопряжённых поверхностей эти кривизны равны нулю:
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Мы получаем пример 2D сопряжённых геометрий. Очевидно, как и в наших 4D складках, изображение геодезической складки не является геодезической другой. См. рис. 8 и 9.
Рис .8 : Изображение (состоящее из сопряжённых точек) геодезической позакона F не является геодезической негакона F.*
** ** Рис .9 : Изображение (состоящее из сопряжённых точек) геодезической негакона F не является геодезической негакона F.* ** **
Это просто учебное изображение, но оно иллюстрирует основной концепт сопряжённых геометрий. В общей теории относительности мы имеем дело с 4D гиперповерхностями, метрики которых обладают гиперболическими геометриями, со знаками (+ - - -).
** 
**
Оригинальная версия (английский)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig .7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig .8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig .9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
** **