двойная Вселенная астрофизика и космология Призрачная материя астрофизическая.6. Спиральная структура.(p3)
- Как определить начальные условия для численного моделирования в 2D.
Построение 2D-решения типа Эддингтона для системы уравнений Пуассона + Власова.
Нестационарные (эллиптические) решения уравнения Власова интенсивно изучались в течение длительного времени в 3D. В дальнейшем мы рассматриваем движения и положения в 2D, поэтому необходимо построить 2D-самосогласованное эллиптическое решение уравнения Власова.
Запишем уравнение Власова:
(1)
где:
(2)
f(x, y, u, v, t) — функция распределения скорости. Уравнение (1) записано в тензорной дяадической нотации, в терминах особой (остаточной или тепловой) скорости C = (u, v).
<V> — макроскопическая скорость. m — масса частицы.
**** — вектор положения (x, y).
..
Жирные буквы обозначают векторы. Последний член уравнения (2) представляет собой скалярное произведение двух дяадических тензоров (см. ссылку [20]). Теперь введём 2D-эллиптическое решение типа Эддингтона:
(3)
где C — остаточная, тепловая скорость. В условиях стационарного состояния уравнение Власова принимает вид:
(4)
Совмещая с решением Власова, получаем:
(5)
Это полином третьего порядка относительно компонент u и v тепловой скорости C. Получается решение:
(6)
Тогда:
(7)
Из членов третьего порядка имеем:
(8)
Из членов второго порядка (9)
Совмещая, получаем следующую систему:
(10)
Пусть:
(11)
Тогда:
(12)
Функция распределения принимает вид:
(13)
где C — радиальная компонента тепловой скорости C, а Cp — её азимутальная компонента. Тогда получаем:
(14)
В классическом (трёхмерном) решении Эддингтона у нас был эллипсоид скоростей, главная ось которого была направлена к центру системы. См. рисунок 6.
Рис. 6: Эллипсоид скоростей, соответствующий решению типа Эддингтона.
В настоящем 2D-эллиптическом решении типа Эддингтона мы получаем эллипс скоростей, главная ось которого постоянна и направлена к центру системы. В центре эллипс скоростей становится окружностью (двумерное распределение Максвелла — Больцмана скорости). Как будет показано далее, его главная ось (средняя радиальная тепловая скорость) остаётся постоянной относительно радиального расстояния v. Его поперечная ось
(средняя азимутальная тепловая скорость) стремится к нулю на бесконечности. См. рисунок 7.
Рис. 7: Эволюция эллипса скоростей в 2D-решении типа Эддингтона в зависимости от расстояния до центра системы.
